Методы факторного анализа финансовых показателей. Взаимосвязь экономических явлений. Представление о факторном анализе. Типы факторного анализа, его основные задачи. Детерминированный факторный анализ

Экономическая наука кроме своих специфических методов использует также и некоторые общенаучные методы - синтез, анализ, сравнения, абстракции и много другое. Одним из видов экономического анализа является факторный анализ, который представляет собой мощный инструмент, позволяющий не только разложить то или иное на составляющие, но и определить, какая составляющая оказывает то или иное влияние на процесс в целом. Более детально данный вид анализа рассмотрим в данной статье.

По определению, факторный анализ - это вид математического нескольких переменных, который позволяет определить, какое влияние на функцию оказывает та или иная переменная. Почему так важен именно в экономике? Все потому, что ни один не является зависимым лишь от одного фактора. Так, цена зависит от спроса и предложения, заработная плата - от трудоспособности сотрудника и отработанного времени, прибыль предприятия - от совокупности всех показателей деятельности фирмы вместе взятых. Но как определить, какой из факторов оказывает ключевое влияние на тот или иной показатель? Именно здесь нам пригодится факторный анализ.

Начнем с простого примера. Попробуем произвести факторный анализ себестоимости. На себестоимость продукции оказывают влияние такие факторы, как стоимость сырья, заработная плата рабочих, амортизация оборудования в расчете на единицу продукции.Выходит, что себестоимость является функцией от всех этих факторов, и, по сути, является суммой стоимостей всех затрат. Таким образом, возрастание каждого из этих видов затрат приведет к росту себестоимости единицы продукции. Логично предположить, что стоимость сырья в большинстве случаев занимает наибольшую долю в себестоимости продукции. Можем сделать вывод, что именно она оказывает наибольшее влияние на себестоимость, и значит, именно на поиске более дешевого сырья необходимо сконцентрироваться поиске резервов снижения себестоимости.

Попробуем произвести факторный Тут все несколько сложнее, ведь есть факторы, способствующие как росту, так и снижению производительности. Среди факторов, способствующих росту - качество и надежность оборудования, квалификация персонала, удобство работы персонала, соотношение рабочего времени и перерывов в работе. Среди факторов, снижающих производительность - количество случаев выхода оборудования из строя, наличие «узких мест» - участков производства с недостаточной производственной мощностью, отвлекающие факторы - шумы, вибрации и прочие внешние раздражители. Конечно же, все вышеуказанные факторы будут иметь в функции различные коэффициенты, и именно с их помощью будет выражаться степень влияния того или иного фактора на производительность труда, однако общий принцип понятен: действие факторов, повышающих производительность, необходимо усиливать, а факторов, понижающих эффективность труда - минимизировать.

Проведя факторный анализ того или иного явления в экономике, можно составить некий план действий, согласно которому можно будет с минимальными затратами времени и ресурсов максимизировать или минимизировать некоторые показатели деятельности фирмы. Это поможет в кратчайшие сроки сделать так, чтобы фирма работала максимально эффективно и прибыльно. Широко применяется факторный анализ и в макроэкономике - анализируется объем ВВП, соотношение экспорта и импорта, вычисляется необходимое количество в обращении и многие другие показатели эффективности функционирования экономики страны.

Гальтоном Ф. (1822-1911), внесшим также большой вклад в исследование индивидуальных различий. Но в разработку Факторного анализа внесли вклад многие ученые. Разработкой и внедрением факторного анализа в психологию занимались такие ученые как Спирмен Ч. (1904, 1927, 1946), Терстоун Л. (1935, 1947, 1951) и Кеттел Р. (1946, 1947, 1951). Также нельзя не упомянуть английского математика и философа Пирсона К., в значительной степени развившего идеи Ф. Гальтона, американского математика Хотеллинга Г. , разработавшего современный вариант метода главных компонент . Внимания заслуживает и английский психолог Айзенк Г. , широко использовавший Факторный анализ для разработки психологической теории личности. Математически факторный анализ разрабатывался Хотеллингом, Харманом, Кайзером, Терстоуном, Такером и др. Сегодня факторный анализ включён во все пакеты статистической обработки данных - , SAS , SPSS , Statistica и т. д.

Задачи и возможности факторного анализа

Факторный анализ позволяет решить две важные проблемы исследователя: описать объект измерения всесторонне и в то же время компактно . С помощью факторного анализа возможно выявление скрытых переменных факторов, отвечающих за наличие линейных статистических связей корреляций между наблюдаемыми переменными.

Таким образом можно выделить 2 цели Факторного анализа:

При анализе в один фактор объединяются сильно коррелирующие между собой переменные, как следствие происходит перераспределение дисперсии между компонентами и получается максимально простая и наглядная структура факторов. После объединения коррелированность компонент внутри каждого фактора между собой будет выше, чем их коррелированность с компонентами из других факторов. Эта процедура также позволяет выделить латентные переменные, что бывает особенно важно при анализе социальных представлений и ценностей. Например, анализируя оценки, полученные по нескольким шкалам, исследователь замечает, что они сходны между собой и имеют высокий коэффициент корреляции, он может предположить, что существует некоторая латентная переменная, с помощью которой можно объяснить наблюдаемое сходство полученных оценок. Такую латентную переменную называют фактором . Данный фактор влияет на многочисленные показатели других переменных, что приводит нас к возможности и необходимости выделить его как наиболее общий, более высокого порядка. Для выявления наиболее значимых факторов и, как следствие, факторной структуры, наиболее оправданно применять метод главных компонентов (МГК). Суть данного метода состоит в замене коррелированных компонентов некоррелированными факторами. Другой важной характеристикой метода является возможность ограничиться наиболее информативными главными компонентами и исключить остальные из анализа, что упрощает интерпретацию результатов. Достоинство МГК также в том, что он - единственный математически обоснованный метод факторного анализа .

Факторный анализ может быть:

разведочным - он осуществляется при исследовании скрытой факторной структуры без предположения о числе факторов и их нагрузках;
конфирматорным , предназначенным для проверки гипотез о числе факторов и их нагрузках (примечание 2).

Условия применения факторного анализа

Практическое выполнение факторного анализа начинается с проверки его условий. В обязательные условия факторного анализа входят:

Основные понятия факторного анализа

Фактор - скрытая переменная
Нагрузка - корреляция между исходной переменной и фактором

Процедура вращения. Выделение и интерпретация факторов

Сущностью факторного анализа является процедура вращения факторов, то есть перераспределения дисперсии по определённому методу. Цель ортогональных вращений - определение простой структуры факторных нагрузок, целью большинства косоугольных вращений является определение простой структуры вторичных факторов, то есть косоугольное вращение следует использовать в частных случаях. Поэтому ортогональное вращение предпочтительнее. Согласно определению Мюльека простая структура соответствует требованиям:

в каждой строке матрицы вторичной структуры V должен быть хотя бы один нулевой элемент;
Для каждого столбца k матрицы вторичной структуры V должно существовать подмножество из r линейно-независимых наблюдаемых переменных, корреляции которых с k-м вторичным фактором - нулевые. Данный критерий сводится к тому, что каждый столбец матрицы должен содержать не менее r нулей.
У одного из столбцов каждой пары столбцов матрицы V должно быть несколько нулевых коэффициентов (нагрузок) в тех позициях, где для другого столбца они ненулевые. Это предположение гарантирует различимость вторичных осей и соответствующих им подпространств размерности r-1 в пространстве общих факторов.
При числе общих факторов больше четырех в каждой паре столбцов должно быть некоторое количество нулевых нагрузок в одних и тех же строках. Данное предположение дает возможность разделить наблюдаемые переменные на отдельные скопления.
Для каждой пары столбцов матрицы V должно быть как можно меньше значительных по величине нагрузок, соответствующих одним и тем же строкам. Это требование обеспечивает минимизацию сложности переменных.

(В определении Мьюлейка через r обозначено число общих факторов, а V - матрица вторичной структуры, образованная координатами (нагрузками) вторичных факторов, получаемых в результате вращения.) Вращение бывает:

ортогональным
косоугольным .

При первом виде вращения каждый последующий фактор определяется так, чтобы максимизировать изменчивость, оставшуюся от предыдущих, поэтому факторы оказываются независимыми, некоррелированными друг от друга (к этому типу относится МГК). Второй вид - это преобразование, при котором факторы коррелируют друг с другом. Преимущество косоугольного вращения состоит в следующем: когда в результате его выполнения получаются ортогональные факторы, можно быть уверенным, что эта ортогональность действительно им свойственна, а не привнесена искусственно. Существует около 13 методов вращения в обоих видах, в статистической программе SPSS 10 доступны пять: три ортогональных, один косоугольный и один комбинированный, однако из всех наиболее употребителен ортогональный метод «варимакс ». Метод «варимакс» максимизирует разброс квадратов нагрузок для каждого фактора, что приводит к увеличению больших и уменьшению малых значений факторных нагрузок. В результате простая структура получается для каждого фактора в отдельности .

Главной проблемой факторного анализа является выделение и интерпретация главных факторов. При отборе компонент исследователь обычно сталкивается с существенными трудностями, так как не существует однозначного критерия выделения факторов, и потому здесь неизбежен субъективизм интерпретаций результатов. Существует несколько часто употребляемых критериев определения числа факторов. Некоторые из них являются альтернативными по отношению к другим, а часть этих критериев можно использовать вместе, чтобы один дополнял другой:

Практика показывает, что если вращение не произвело существенных изменений в структуре факторного пространства, это свидетельствует о его устойчивости и стабильности данных. Возможны ещё два варианта: 1). сильное перераспределение дисперсии - результат выявления латентного фактора; 2). очень незначительное изменение (десятые, сотые или тысячные доли нагрузки) или его отсутствие вообще, при этом сильные корреляции может иметь только один фактор, - однофакторное распределение. Последнее возможно, например, когда на предмет наличия определённого свойства проверяются несколько социальных групп, однако искомое свойство есть только у одной из них.

Факторы имеют две характеристики: объём объясняемой дисперсии и нагрузки. Если рассматривать их с точки зрения геометрической аналогии, то касательно первой отметим, что фактор, лежащий вдоль оси ОХ, может максимально объяснять 70 % дисперсии (первый главный фактор), фактор, лежащий вдоль оси ОУ, способен детерминировать не более 30 % (второй главный фактор). То есть в идеальной ситуации вся дисперсия может быть объяснена двумя главными факторами с указанными долями . В обычной ситуации может наблюдаться два или более главных факторов, а также остаётся часть неинтерпретируемой дисперсии (геометрические искажения), исключаемая из анализа по причине незначимости. Нагрузки, опять же с точки зрения геометрии, есть проекции от точек на оси ОХ и ОУ (при трёх- и более факторной структуре также на ось ОZ). Проекции - это коэффициенты корреляции, точки - наблюдения, таким образом, факторные нагрузки являются мерами связи. Так как сильной считается корреляция с коэффициентом Пирсона R ≥ 0,7, то в нагрузках нужно уделять внимание только сильным связям. Факторные нагрузки могут обладать свойством биполярности - наличием положительных и отрицательных показателей в одном факторе. Если биполярность присутствует, то показатели, входящие в состав фактора, дихотомичны и находятся в противоположных координатах .

Методы факторного анализа:

Примечания

Литература

Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ. - М .: Мир, 1982. - С. 488.
Колин Купер. Индивидуальные различия. - М.: Аспект Пресс, 2000. - 527 с.
Гусев А. Н., Измайлов Ч. А., Михалевская М. Б. Измерение в психологии. - М.: Смысл, 1997. - 287 с.
Митина О. В., Михайловская И. Б. Факторный анализ для психологов. - М.: Учебно-методический коллектор Психология, 2001. - 169 с.
Факторный, дискриминантный и кластерный анализ / сборник работ под ред. Енюкова И. С. - М.: Финансы и статистика, 1989. - 215 с.
Пациорковский В. В., Пациорковская В. В. SPSS для социологов. - М.: Учебное пособие ИСЭПН РАН, 2005. - 433 с.
Бююль А., Цёфель П. SPSS: Искусство обработки информации. Анализ статистических данных и восстановление скрытых закономерностей. - СПб.: ООО «ДиаСофтЮП», 2002. - 603 с.
Факторный, дискриминантныи и кластерный анализ: Пер.

Ф18 с англ./Дж.-О. Ким, Ч. У. Мьюллер, У. Р. Клекка и др.; Под ред. И. С. Енюкова. - М.: Финансы и статистика, 1989.- 215 с:

Ссылки

Электронный учебник StatSoft. Главные компоненты и факторный анализ
Нелинейный метод главных компонент (сайт-библиотека)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Факторный анализ" в других словарях:

факторный анализ - — факторный анализ Область математической статистики (один из разделов многомерного статистического анализа), объединяющая вычислительные методы, которые в ряде случаев позволяют … Справочник технического переводчика

Статистический метод проверки гипотез о влиянии разл. факторов на изучаемую случайную величину. Разработана и общепринята модель, при которой влияние фактора представлено в линейном виде. Процедура анализа сводится к оценочным операциям с помощью … Геологическая энциклопедия

факторный анализ - (от лат. factor действующий, производящий и греч. analysis разложение, расчленение) метод многомерной математической статистики (см. статистические методы в психологии), применяемый при исследовании статистически связанных признаков с целью… … Большая психологическая энциклопедия

Метод исследования экономики и производства, в основе которого лежит анализ воздействия разнообразных факторов на результаты экономической деятельности, ее эффективность. Райзберг Б.А., Лозовский Л.Ш., Стародубцева Е.Б.. Современный экономический … Экономический словарь

Факторный анализ - область математической статистики (один из разделов многомерного статистического анализа), объединяющая вычислительные методы, которые в ряде случаев позволяют получить компактное описание исследуемых явлений на основе… … Экономико-математический словарь

ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ, в статистике и психометрии математический метод, при помощи которого большое количество измерений и исследований сводится к малому числу «факторов», полностью объясняющих полученные результаты исследований, а также их… … Научно-технический энциклопедический словарь

Раздел статистического анализа многомерного (См. Статистический анализ многомерный),. объединяющий методы оценки размерности множества наблюдаемых переменных посредством исследования структуры ковариационных или корреляционных матриц.… … Большая советская энциклопедия

Для того, чтобы выяснить, насколько прибыльным или убыточным является предприятие, недостаточно просто считать деньги. Чтобы понять это наверняка, а главное, способствовать увеличению прибыли, нужно регулярно проводить и в целом работы предприятия. А для этого нужно обладать некоторыми умениями в бухгалтерской сфере и определенными сведениями. Стоит учесть, что фирма работала и в момент инфляции, и во время кризиса. Цены менялись постоянно. Теперь понимаете, почему банальный подсчет денег не дает возможности объективно оценить ситуацию с прибылью или затратами? Ведь нужно учитывать и ценовой фактор.

Итак, многие затрудняются сделать Пример нашего анализа, надеемся, поможет им сделать свой - по аналогии данный вид диагностики составляется крайне быстро. Оформляется он в форме таблицы. Для начала сделаем шапку нашего факторного анализа. Чертим таблицу в 5 столбцов и 9 строк. Первый столбец делайте шире - в нем будут названия статей предприятия, а не цифры. Он будет называться - "Показатели", что вы и должны записать в первой строке столбца. В нем заполняете все строки соответственно образцу: 1 - название, 2 - ставите цифру 1 - нумерация столбцов, в 3 строке запишите - "Выручка с продаж", 4 - "Себестоимость". В пятую строку первого столбца поставьте пункт - "Коммерческие расходы". В 6 напишите - "Расходы на управление процессом". Седьмая строчка называется - а 8 - "Индекс изменения цен", и последняя, 9 строчка - "Продажа в сопоставимых ценах".

Далее переходим к оформлению 2 столбца: в 1 строке пишем - "Предыдущий период, тыс.руб." (можете написать и другие денежные единицы - евро, доллар и т.д. - зависит от того, в какой валюте вы будете проводить вычисления), а во второй строке пишем цифру - 2. Переходим к 3 столбцу - в нем 1 строка имеет название - "Отчетный период", тыс. руб. А вторая заполняется цифрой 3. Далее оформляем наш факторный анализ выручки и переходим к столбцу 4. В первую строку вписываем - "Абсолютное изменение, тыс.руб.", а во второй строке содержится небольшая формула: 4=3-2. Это значит, что показатели, которые вы будете писать в последующих строках, будут результатом вычитания показателей второго столбца из показателей третьего. Переходим к оформлению последнего - 5 столбца. В нем в 1 строке нужно написать: "Относительные изменения%", что означает, что в этом столбце все данные будут записаны в процентном соотношении. Во второй строке формула: 5=(4/2)*100%. Все, шапку мы оформили, осталось только заполнить каждый пункт таблицы соответствующими данными. Проводим факторный анализ, пример которого мы вам даем. Первым делом вычисляем индекс изменения цен - это едва ли не самая важная цифра в наших рассчетах. Записываем цифры разных периодов в соответствующие столбцы. В 4 и 5 столбиках проводим необходимые вычисления. Факторный анализ, пример которого вы сможете просмотреть, предполагает точность в цифрах. Поэтому писать в 3 строки каждого столбика нужно только достоверную информацию. В 4 и 5 опять же проводим вычисления. Как вы понимаете, факторный главным образом осуществляется в строках 5 и 6: постарайтесь дописать туда максимально реальные, не заниженные, цифры. В 4 и 5 столбике этих строк снова проводите вычисления по формулам. Далее осуществляем факторный анализ выручки в столбце 7 - прибыль. Записываем достоверные цифры во 2 и 3 столбик, а в 4 и 5 снова считаем все по формулам. И остается последний столбец: пишем данные, вычисляем. Итог: факторный анализ, пример которого мы вам даем, показывает, каково влияние каждого из факторов, описанных в статьях, на прибыль или затраты производства. Теперь вы видите слабые места и сможете исправить ситуацию, чтобы получать как можно большую прибыль.

Вы сделали все вычисления, чтобы провести факторный анализ, однако они не помогут вам ничем, если вы не проанализируете полученные данные досконально.

Введение в факторный анализ

В течение последних лет факторный анализ нашел свое применение среди широкого круга исследователей в основном благодаря развитию высокоскоростных компьютеров и пакетов статистических программ (например, DATATEXT, BMD, OSIRIS, SAS и SPSS). Это также коснулось большой группы пользователей, не имеющих соответствующей математической подготовки, но, тем не менее, заинтересованных в использовании потенциальных возможностей факторного анализа в своих исследованиях (Harman, 1976; Horst, 1965; Lawley и Maxswel, 1971; Mulaik, 1972).

Факторный анализ предполагает, что изучаемые переменные представляют собой линейную комбинацию некоторых скрытых (латентных) ненаблюдаемых факторов. Иными словами, существует система факторов и система изучаемых переменных. Определенная зависимость между этими двумя системами позволяет посредством факторного анализа с учетом имеющейся зависимости получать выводы по изучаемым переменным (факторам). Логическая сущность этой зависимости состоит в том, что каузальная система факторов (система независимых и зависимых переменных) всегда имеет уникальную корреляционную систему изучаемых переменных, а не наоборот. Только при жестко ограниченных условиях, налагаемых на факторный анализ, возможна недвусмысленная интерпретация каузальных структур по факторам на наличие корреляции между изучаемыми переменными. Кроме этого, существуют проблемы и другой природы. Например, при сборе эмпирических данных возможно допущение разного рода ошибок и неточностей, что в свою очередь затрудняет работу по выделению скрытых ненаблюдаемых параметров и их дальнейшего исследования.

Что же такое факторный анализ? Факторный анализ относится к множеству статистических техник, основная задача которых состоит в представлении множества изучаемых признаков в виде сокращенной системы гипотетических переменных. Факторный анализ - исследовательский эмпирический метод, который преимущественно находит свое применение в социальных и психологических дисциплинах.

В качестве примера использования факторного анализа можно рассмотреть изучение свойств личности с помощью психологических тестов. Свойства личности не поддаются прямому измерению, о них можно судить только на основании поведения человека, ответов на те или иные вопросы и т.д. Для объяснения собранных эмпирических данных их результаты подвергаются факторному анализу, который и позволяет выявить те личностные свойства, которые оказывали влияние на поведение испытуемых в проведенных опытах.

Первым этапом факторного анализа, как правило, является выбор новых признаков, которые являются линейными комбинациями прежних и «вбирают» в себя большую часть общей изменчивости наблюдаемых данных, а поэтому передают большую часть информации, заключенной в первоначальных наблюдениях. Обычно это осуществляют с помощью метода главных компонент, хотя иногда используют и другие приемы (например, метод главных факторов, метод максимального правдоподобия).

Метод главных компонент– статистический прием, позволяющий преобразовывать исходные переменные в их линейную комбинацию (GeorgH.Dunteman). Цель метода – получить сокращенную систему исходных данных, которая намного проще для понимания и дальнейшей статистической обработки. Этот подход был предложен Пирсоном (1901) и независимо от него получил свое дальнейшее развитие у Хотеллинга (1933). Автор пытался минимизировать использование матричной алгебры при работе с данным методом.

Основная цель метода главных компонент – выделение первичных факторов и определение минимального числа общих факторов, которые удовлетворительно воспроизводят корреляции между изучаемыми переменными. Результат данного шага – матрица коэффициентов факторных нагрузок, представляющих собой в ортогональном случае коэффициенты корреляции между переменными и факторами. При определении числа выделяемых факторов используется следующий критерий: выделяются только факторы с собственными значениями больше указанной константы (как правило, единицы).

Однако обычно факторы, полученные методом главных компонент, не поддаются достаточно наглядной интерпретации. Поэтому следующим шагом факторного анализа является преобразование (вращение) факторов таким образом, чтобы облегчить их интерпретацию. Вращение факторов состоит в нахождении наиболее простой факторной структуры, то есть такого варианта оценки факторных нагрузок и остаточных дисперсий, который и дает возможность содержательно интерпретировать общие факторы и нагрузки.

Наиболее часто исследователями в качестве метода вращения используется метод варимакс. Это метод, позволяющий, с одной стороны, за счет минимизации разброса квадратов нагрузок для каждого фактора, получить упрощенную факторную структуру за счет увеличения больших и уменьшения малых факторных нагрузок, с другой стороны.

Итак, основные цели факторного анализа:

сокращение числа переменных (редукция данных);

определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных .

Поэтому факторный анализ используется или как метод сокращения данных или как метод классификации.

Практические примеры и советы по применению факторного анализа можно, найти в книге Стивенса (Stevens, 1986); более подробное описание приводят Кули и Лонес (Cooley, Lohnes, 1971); Харман (Harman, 1976); Ким и Мюллер (Kim, Mueller, 1978a, 1978b); Лоули и Максвелл (Lawley, Maxwell, 1971); Линдеман, Меренда и Голд (Lindeman, Merenda, Gold, 1980); Моррисон (Morrison, 1967) и Мулэйк (Mulaik, 1972). Интерпретация вторичных факторов в иерархическом факторном анализе, как альтернатива традиционному вращению факторов, дана Верри (Wherry, 1984).

Вопросы подготовки данных для применения

факторного анализа

Рассмотрим ряд вопросов и кратких ответов в рамках использования факторного анализа.

Какой уровень измерений требует факторный анализ или, иными словами, в каких шкалах измерений должны представляться данные для факторного анализа?

Факторный анализ требует, чтобы переменные были представлены в интервальной шкале (Stevens, 1946) и отвечали нормальному распределению. Это требование предполагает также, что в качестве входных данных используются ковариационные или корреляционные матрицы.

Должен ли исследователь избегать использования факторного анализа, когда метрическая основа переменных определена неточно, т.е. данные представлены в порядковой шкале?

Нет необходимости. Многие переменные, представляющие, например, измерения мнений испытуемых по большому количеству тестов, не имеют точно установленной метрической базы. Однако, в общем, предполагается, что многие «порядковые переменные» могут содержать числовые значения, не искажающие и даже сохраняющие основные свойства изучаемого признака. Задачи исследователя: а) правильно определить число рефлексивно выделяемых порядков (уровней); б) учесть, что сумма допущенных искажений будет включена в корреляционную матрицу, являющуюся основой входных данных факторного анализа; в) коэффициенты корреляции закрепляются в качестве «порядковых» искажений в измерениях (Labovitz, 1967, 1970;Kim, 1975).

Долгое время считалось, что искажения назначаются числовым значениям именно порядковых категорий. Однако это необоснованно, поскольку и для метрических величин возможны искажения, пусть даже минимальные, в процессе проведения эксперимента. В факторном анализе результаты зависят от возможного допущения ошибок, получаемых в процессе измерения, а не их происхождения и соотнесения к данным определенного типа шкал.

Можно ли использовать факторный анализ для номинальных (дихотомических) переменных?

Многие исследователи утверждают, что использовать факторный анализ для номинальных переменных очень удобно. Во-первых, дихотомические значения (значения, равные «0» и «1») исключают выбор каких-либо иных, отличных от них. Во-вторых, как результат, коэффициент связи является эквивалентом коэффициента корреляции Пирсона, который и выступает в качестве числового значения переменной для факторного анализа.

Однако однозначно положительного ответа на данный вопрос нет. Дихотомические переменные сложно выразить в рамках аналитической факторной модели: каждая переменная имеет значение весовой нагрузки, по крайней мере, двух основных факторов - общего и частного (Kim,Muller). Даже если эти факторы имеют два значения (что довольно редко встречается в реальных факторных моделях), то итоговые результаты в наблюдаемых переменных должны содержать, как минимум, четыре различных значения, которые, в свою очередь, и оправдывают противоречивость использования номинальных переменных. Поэтому факторный анализ для таких переменных используется с целью получения ряда эвристических критериев.

Сколько должно быть переменных для каждого гипотетически построенного фактора?

Предполагается, что для каждого фактора должно быть, по крайней мере, три переменные. Но это требование опускается, если факторный анализ используется для подтверждения какой-либо гипотезы. В общем, исследователи едины в том, что необходимо иметь, по крайней мере, вдвое больше переменных, чем факторов.

Еще один момент касательно данного вопроса. Чем больше размер выборки, тем достовернее значение критерия ХИ -квадрат. Результаты считаются статистически значимыми, если выборка включает как минимум 51 наблюдение. Таким образом:

N-n-150,(3.33)

где N – размер выборки (число измерений),

n – количество переменных (Lawley, Maxwell, 1971).

Это, конечно, только общее правило.

Какой смысл имеет знак факторной нагрузки?

Сам знак не имеет существенного значения и не существует пути для оценки значимости связи между переменной и фактором. Однако знаки переменных, входящих в фактор, имеют специфическое значение относительно знаков других переменных. Различные знаки просто означают, что переменные связаны с фактором в противоположных направлениях.

Например, по результатам факторного анализа было получено, что для пары качеств открытый-замкнутый (многофакторный опросник Кетелла) имеют место соответственно положительная и отрицательная весовые нагрузки. Тогда говорят, что доля качестваоткрытый, в выделенном факторе больше, чем доля качествазамкнутый.

Главные компоненты и факторный анализ

Факторный анализ как метод редукции данных

Предположим, что проводится (до некоторой степени "глупое") исследование, в котором измеряется рост ста людей в метрах и сантиметрах. Таким образом, имеются две переменные. Если далее исследовать, например, влияние разных пищевых добавок на рост, будет ли целесообразным использовать обе переменные? Вероятно, нет, т.к. рост является одной характеристикой человека, независимо от того, в каких единицах он измеряется.

Предположим, что измеряется удовлетворенность людей жизнью с помощью опросника, содержащего различные пункты. Задаются, например, вопросы: удовлетворены ли люди своим хобби (пункт 1) и как интенсивно они им занимаются (пункт 2). Результаты преобразуются так, что средние по уровню ответы (например, для удовлетворенности) соответствуют значению 100, в то время как ниже и выше средних ответов расположены меньшие и большие значения, соответственно. Две переменные (ответы на два разных пункта) коррелированы между собой. Из высокой коррелированности двух этих переменных можно сделать вывод об избыточности двух пунктов опросника. Это, в свою очередь, позволяет осуществить объединение двух переменных в один фактор.

Новая переменная (фактор) будет включать в себя наиболее существенные черты обеих переменных. Итак, фактически, выполнено сокращение исходного числа переменных и осуществлена замена двух переменных одной. Отметим, что новый фактор (переменная) в действительности является линейной комбинацией двух исходных переменных.

Пример, в котором две коррелированные переменные объединены в один фактор, показывает главную идею факторного анализа или, более точно, анализа главных компонент. Если же пример с двумя переменными распространить на большее число переменных, то вычисления становятся сложнее, однако основной принцип представления двух или более зависимых переменных одним фактором остается в силе.

Метод главных компонент

Анализ главных компонент является методом сокращения или редукции данных, т.е. методом сокращения числа переменных. Возникает естественный вопрос: сколько факторов следует выделять? Отметим, что в процессе последовательного выделения факторов они включают в себя все меньше и меньше изменчивости. Решение о том, когда следует остановить процедуру выделения факторов, главным образом зависит от точки зрения на то, что считать малой "случайной" изменчивостью. Это решение достаточно произвольно, однако имеются некоторые рекомендации, позволяющие рационально выбрать число факторов (см. раздел Собственные значения и число выделяемых факторов ).

В случае, когда имеются более двух переменных, можно считать, что они определяют трехмерное "пространство" точно так же, как две переменные определяют плоскость. Если имеется три переменные, то можно построить трехмерную диаграмму рассеяния (см. рис. 3.10).

Рис. 3.10. Трехмерная диаграмма рассеяния признака

Для случая более трех переменных, становится невозможным представить точки на диаграмме рассеяния, однако логика вращения осей с целью максимизации дисперсии нового фактора остается прежней.

После того, как найдена линия, для которой дисперсия максимальна, вокруг нее остается некоторый разброс данных и процедуру естественно повторить. В анализе главных компонент именно так и делается: после того, как первый фактор выделен , то есть, после того, как первая линия проведена, определяется следующая линия, максимизирующая остаточную вариацию (разброс данных вокруг первой прямой), и т.д. Таким образом, факторы последовательно выделяются один за другим. Так как каждый последующий фактор определяется так, чтобы максимизировать изменчивость, оставшуюся от предыдущих, то факторы оказываются независимыми друг от друга (некоррелированными или ортогональными ).

Собственные значения и число выделяемых факторов

Рассмотрим некоторые стандартные результаты анализа главных компонент. При повторных вычислениях выделяются факторы с все меньшей и меньшей дисперсией. Для простоты изложения считают, что обычно работа начинается с матрицы, в которой дисперсии всех переменных равны 1,0. Поэтому общая дисперсия равна числу переменных. Например, если имеется 10 переменных и дисперсия каждой из них равна 1, то наибольшая изменчивость, которая потенциально может быть выделена, равна 10 раз по 1.

Предположим, что при изучении степени удовлетворенности жизнью включено 10 пунктов для измерения различных аспектов удовлетворенности домашней жизнью и работой. Дисперсия, объясненная последовательными факторами, представлена в таблице 3.14:

Таблица 3. 14

Таблица собственных значений

STATISTICA ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ	Собственные значения (factor.sta) Выделение: Главные компоненты
Значение	Собственные значения	% общей дисперсии	Кумулят. собств. знач.	Кумулят. %

Во втором столбце таблицы 3. 14. (Собственные значения) представлена дисперсия нового, только что выделенного фактора. В третьем столбце для каждого фактора приводится процент от общей дисперсии (в данном примере она равна 10) для каждого фактора. Как видно, первый фактор (значение 1) объясняет 61 процент общей дисперсии, фактор 2 (значение 2) – 18 процентов, и т.д. Четвертый столбец содержит накопленную (кумулятивную) дисперсию.

Итак, дисперсии, выделяемые факторами, названы собственными значениями . Это название происходит из использованного способа вычисления.

Как только получена информация о том, сколько дисперсии выделил каждый фактор, можно возвратиться к вопросу о том, сколько факторов следует оставить. Как говорилось выше, по своей природе это решение произвольно. Однако имеются некоторые общеупотребительные рекомендации, и на практике следование им дает наилучшие результаты.

Критерии выделения факторов

Критерий Кайзера. Сначала отбираются только те факторы, собственные значения которых больше 1. По существу, это означает, что если фактор не выделяет дисперсию, эквивалентную, по крайней мере, дисперсии одной переменной, то он опускается. Этот критерий предложен Кайзером (Kaiser, 1960), и является наиболее широко используемым. В приведенном выше примере (см. табл. 3.14) на основе этого критерия следует сохранить только 2 фактора (две главные компоненты).

Критерий каменистой осыпи является графическим методом, впервые предложенным Кэттелем (Cattell, 1966). Он позволяет изобразить собственные значения в виде простого графика:

Рис. 3. 11. Критерий каменистой осыпи

Оба критерия были изучены подробно Брауном (Browne, 1968), Кэттелем и Джасперсом (Cattell, Jaspers, 1967), Хакстианом, Рожерсом и Кэттелем (Hakstian, Rogers, Cattell, 1982), Линном (Linn, 1968), Тюкером, Купманом и Линном (Tucker, Koopman, Linn, 1969). Кэттель предложил найти такое место на графике, где убывание собственных значений слева направо максимально замедляется. Предполагается, что справа от этой точки находится только «факториальная осыпь» («осыпь» – геологический термин, обозначающий обломки горных пород, скапливающиеся в нижней части скалистого склона). В соответствии с этим критерием можно оставить в рассмотренном примере 2 или 3 фактора.

Какому критерию все-таки следует отдавать предпочтение на практике?Теоретически, можно вычислить характеристики путем генерации случайных данных для конкретного числа факторов. Тогда можно увидеть, обнаружено с помощью используемого критерия достаточно точное число существенных факторов или нет. С использованием этого общего метода первый критерий (критерий Кайзера ) иногда сохраняет слишком много факторов, в то время как второй критерий (критерий каменистой осыпи ) иногда сохраняет слишком мало факторов; однако оба критерия вполне хороши при нормальных условиях, когда имеется относительно небольшое число факторов и много переменных.

На практике возникает важный дополнительный вопрос, а именно: когда полученное решение может быть содержательно интерпретировано. Поэтому обычно исследуется несколько решений с большим или меньшим числом факторов, и затем выбирается одно наиболее "осмысленное". Этот вопрос далее будет рассматриваться в рамках вращений факторов.

Общности

На языке факторного анализа доля дисперсии отдельной переменной, принадлежащая общим факторам (и разделяемая с другими переменными) называется общностью . Поэтому дополнительной работой, стоящей перед исследователем при применении этой модели, является оценка общностей для каждой переменной, т.е. доли дисперсии, которая является общей для всех пунктов. Тогда доля дисперсии , за которую отвечает каждый пункт, равна суммарной дисперсии, соответствующей всем переменным, минус общность (Harman, Jones, 1966).

Главные факторы и главные компоненты

Термин факторный анализ включает как анализ главных компонент, так и анализ главных факторов. Предполагается, что, в целом, известно сколько факторов следует выделить. Можно узнать (1) значимость факторов, (2) можно ли интерпретировать их разумным образом и (3) как это сделать. Чтобы проиллюстрировать, каким образом это может быть сделано, производятся действия "в обратном порядке", то есть, начинают с некоторой осмысленной структуры, а затем смотрят, как она отражается на результатах.

Основное различие двух моделей факторного анализа состоит в том, что в анализе главных компонент предполагается, что должна быть использована вся изменчивость переменных, тогда как в анализе главных факторов используется только изменчивость переменной, общая и для других переменных.

В большинстве случаев эти два метода приводят к весьма близким результатам. Однако анализ главных компонент часто более предпочтителен как метод сокращения данных, в то время как анализ главных факторов лучше применять с целью определения структуры данных.

Факторный анализ как метод классификации данных

Корреляционная матрица

Первый этап факторного анализа предусматривает вычисление корреляционной матрицы (в случае нормального выборочного распределения). Вернемся к примеру об удовлетворенности и рассмотрим корреляционную матрицу для переменных, относящихся к удовлетворенности на работе и дома.

Под факторным анализом понимается методика комплексного и системного изучения и измерения факторов на величину результативных показателей.

Различают следующие типы факторного анализа: детерминированный (функциональный)

стохастический (вероятностный)

Детерминированный факторный анализ – это методика оценки влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер, т.е. результативный показатель может быть представлен в виде произведения, частного или алгебраической суммы факторов.

Методы детерминированного факторного анализа:

метод цепных подстановок

индексный

интегральный

абсолютных разниц

относительных разниц и др.

Стохастический анализ – методика исследования факторов, связь которых с результативным показателем в отличие от функциональной является неполной, вероятностной.

Методы стохастического факторного анализа:

корреляционный анализ

регрессионный анализ

дисперсионный

компонентный

современный многомерный факторный анализ

дискриминантный

Основные методы детерминированного факторного анализа

МЕТОД ЦЕПНЫХ ПОДСТАНОВОК является наиболее универсальным, используется для расчета влияния факторов во всех типах факторных моделей: сложения, умножения, деления и смешанных.

Этот метод позволяет определить влияние отдельных факторов на изменение величины результативного показателя путем замены базисной величины каждого факторного показателя на фактическую в отчетном периоде. С этой целью определяют ряд условных величин результативного показателя, которые учитывают изменение одного, затем двух, трех и т.д. факторов, допуская, что остальные не меняются.

Сравнение величины результативного показателя до и после изменения уровня того или другого фактора позволяет исключить влияние всех факторов, кроме одного, и определить его воздействие на прирост результативного показателя.

Алгебраическая сумма влияния факторов обязательно должна быть равна общему приросту результативного показателя. Отсутствие такого равенства свидетельствует о допущенных ошибках.

ИНДЕКСНЫЙ МЕТОД основан на относительных показателях динамики, пространственных сравнений, выполнения плана (индексах), которые определяются как отношение уровня анализируемого показателя в отчетном периоде к его уровню в базисном периоде (или к плановому или по другому объекту).

С помощью индексов можно выявить влияние различных факторов на изменение результативных показателей в моделях умножения и деления.

ИНТЕГРАЛЬНЫЙ МЕТОД является дальнейшим логическим развитием рассмотренных методов, который имеют существенный недостаток: при их использовании исходят из того, что факторы изменяются независимо друг от друга. На самом же деле они изменяются совместно, взаимосвязано и от этого взаимодействия получается дополнительный прирост результативного показателя, который присоединяется к одному из факторов, как правило к последнему. В связи с этим величина влияния факторов на изменение результативного показателя меняется в зависимости от места, на которое поставлен тот или иной фактор в исследуемой модели.

При использовании ИНТЕГРАЛЬНОГО метода ошибка расчета влияния факторов распределяется между ними поровну, при этом очередность подстановки не играет роли. Распределение ошибки осуществляется с помощью специальных моделей.

Типы конечных факторных систем, наиболее часто встречающиеся в анализе хозяйственной деятельности:

аддитивные модели

мультипликативные модели

;

кратные модели

;
;
;,

где y – результативный показатель (исходная факторная система);

x i – факторы (факторные показатели).

Применительно к классу детерминированных факторных систем различают следующие основные приемы моделирования.

т.е. мультипликативную модель вида
.

3. Метод сокращения факторной системы. Исходная факторная система
. Если и числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, то получим новую факторную систему (при этом, естественно, должны быть соблюдены правила выделения факторов):

В данном случае имеем конечную факторную систему вида
.

Таким образом, сложный процесс формирования уровня изучаемого показателя хозяйственной деятельности может быть разложен с помощью различных приемов на его составляющие (факторы) и представлен в виде модели детерминированной факторной системы.

Моделирование показателя рентабельности капитала предприятия обеспечивает создание пятифакторной модели рентабельности, включающей в себя все показатели интенсификации использования производственных ресурсов.

Анализ рентабельности проведем, используя данные таблицы.

РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПО ПРЕДПРИЯТИЮ ЗА ДВА ГОДА

Показатели	Условные обозначе-ния	Первый (базовый) год (0)	Второй (отчетный) год (1)	Откло-нение, %
1. Продукция (продажа в отпускных ценах без косвенных налогов), тыс.руб.
2. а) Производственный персонал, человек
б) Оплата труда с начислениями, тыс.руб.
3. Материальные затраты, тыс.руб.
4. Амортизация, тыс.руб.
5. Основные производственные фонды, тыс.руб.
6. Оборотные средства в товарно-материальных ценностях, тыс.руб.	E 3
7. а) Производительность труда (стр.1:стр.2а), руб.	λ R
б) Продукция на 1 руб. оплаты труда (стр.1:стр.2б), руб.	λ U
8. Материалоотдача (стр. 1: стр. 3), руб.	λ M
9. Амортизациеотдача (стр. 1: стр. 4), руб.	λ A
10. Фондоотдача (стр. 1: стр. 5), руб.	λ F
11. Оборачиваемость оборотных средств (стр.1:стр.6), число оборотов	λ E
12. Себестоимость продаж (стр.2б+стр.3+стр.4), тыс.руб.	S П
13. Прибыль от продаж (стр. 1 + стр. 12), тыс.руб.	P П

На основе базовых показателей рассчитаем показатели интенсификации производственных ресурсов (руб.)

Показатели	Условные обозначения	Первый (базовый) год (0)	Второй (отчетный) год (1)
1. Оплатоемкость (трудоемкость) продукции
2. Материалоемкость продукции
3 Амортизациеемкость продукции
4. Фондоемкость продукции
5. Коэффициент закрепления оборотных средств