Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить: поток вызовов на телефонной станции; поток заказных писем, поступающих в почтовое отделение, и т.п. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными. Если события различаются только моментами появления, то поток событий называется однородным .
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай.
Поток событий называется стационарным , если вероятность попадания того или иного числа событий на промежуток времени зависит только от длительности промежутка и не зависит от того, где именно на оси времени расположен этот промежуток.
На практике часто встречаются потоки заявок, вероятностные характеристики которого не зависит от времени. Например, поток вызовов на городской телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же в течение
Поток событий называется потоком без последействия , если для любых непересекающихся участков времени число событий, обладающих на одно из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.
Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия. Поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой.
Выходной поток (или поток обслуженных заявок), покидающий систему массового обслуживания, обычно имеет последействие, даже если входной поток его не имеет. Рассмотрим, например, одноканальную систему массового обслуживания, для которой
время обслуживания любой заявки имеет одну и ту же величину t об . Тогда в потоке обслуженных заявок минимальный интервал времени между заявками, покидающими
систему, будет равен t об . Нетрудно убедиться, что наличие такого минимального интервала неизбежно приводит к последействию. Действительно, пусть известно, что в какой-то момент t 1 систему покинула обслуженная заявка. Тогда можно утверждать с достоверностью, что на любом интервале времени, лежащем в пределах (t 1 , t 1 + t об ) ,
ни одна заявка не покинет систему. Значит, будет иметь место зависимость между числами событий на непересекающихся участках.
Поток событий называется ординарным ,если вероятность появления двух и более событий за малый промежуток времени имеет более высокий порядок малости по сравнению с вероятностью появления за этот промежуток одного события. Для ординарного потока событий вероятность одновременного появления более чем одного события равна нулю.
Условие ординарности означает, что заявки приходят по одиночке, а не парами, тройками и т.д.
Пуассоновским (простейшим ) потоком называют поток, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности. Название “пуассоновский” связано с тем, что для этого потока число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона.
Пуассоновский поток играет среди потоков событий особую роль, до некоторой степени аналогичную роли нормального закона среди других законов распределения. Можно доказать, что аналогично тому как при суммировании большого числа независимых случайных величин, подчиненных практически любым законам распределения, получается величина, приближенно распределенная по нормальному закону, при суммировании (взаимном наложении) большого числа ординарных, стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к пуассоновскому. Условия, которые должны для этого соблюдаться, аналогичны условиям центральной теоремы, а именно – складываемые потоки должны оказывать на сумму приблизительно равномерное влияние.
Информатика, кибернетика и программирование
Определение Пуассоновского потока. Пуассоновский поток это ординарный поток без последействия. Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский простейший поток. Он характеризуется набором вероятностей Pk поступления k сообщений за временной интервал t: где k=01 число сообщений; λ интенсивность потока.
1. Определение Пуассоновского потока. Свойства.
Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.
Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский (простейший) поток. Он характеризуется набором вероятностей P(k) поступления k сообщений за временной интервал t:
где k=0,1,… - число сообщений; λ - интенсивность потока.
Заметим, что интервал времени измерения количества сообщений t и интенсивность потока λ являются постоянными величинами.
Семейство Пуассоновских распределений P(k) в зависимости от λ изображено на рис.1. Большее значение λ соответствует более широкому и симметричному графику плотности вероятности.
Рис. 1. Пуассоновские распределения. Плотности вероятностей.
Математическое ожидание (среднее) и дисперсия Пуассоновского потока равны λ t .
Зная вероятность поступления данных за период, можно получить распределение интервала τ между соседними событиями:
Отсюда вывод: пуассоновский поток характеризуется экспоненциальным распределением интервалов между событиями.
Основным свойством пуассоновского потока , обусловливающим его широкое применение при моделировании, является аддитивность: результирующий поток суммы пуассоновских потоков тоже является пуассоновским с суммарной интенсивностью:
При моделировании Пуассоновский поток можно получить мультиплексированием совокупности ON/OFF источников, которые называются Марковскими процессами (рис.2.).
Рис. 2. Получение Пуассоновского распределения
2. СМО с отказами (классическая система Эрланга)
Здесь мы рассмотрим одну из первых по времени, «классических» задач теории массового обслуживания; эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в 1909 г. датским инженером-математиком А.К. Эрлангом. Задача ставится так: имеется n каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний каждого канала имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S 0 , S 1 ,…, S n , где S k состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.
Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения (рис. 3).
Рис. 3. Граф состояний СМО
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ. Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S 2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S 1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживаний будет 2μ . Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S 3 (три канала заняты) в S 2 , будет иметь интенсивность 3μ , т.е. может освободиться любой из трех каналов, и т.д.
В формуле (1) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния:
(1)
где члены разложения
- коэффициенты при p
0
в выражениях для предельных вероятностей p
1
, p
2
,..., p
n
.
Заметим, что в формулу (1) интенсивности λ и μ входят не по отдельности, а только в виде отношения μ/λ. Обозначим: μ/λ = p , и будем называть величину ρ приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулу (1) в виде:
(2)
При этом:
(3)
Формулы (2) и (3) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.
Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.
Отсюда находим относительную пропускную способность вероятность того, что заявка будет обслужена:
Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок λ на Q:
(4)
Осталось только найти среднее число занятых каналов k. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями 0,1,..., n и вероятностями этих значений p 0 , p 1 , …, p n :
Подставляя сюда выражения (3) для p k и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы формулу для k. Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность A системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов:
или, учитывая (4):
А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать |
|||
| 21477. | ОРГАНИЗАЦИЯ И МЕТОДИКА НАУЧНОЙ, ИЗОБРЕТАТЕЛЬСКОЙ И РАЦИОНАЛИЗАТОРСКОЙ РАБОТЫ | 72.5 KB | |
| В настоящее время сформирована система научной медицинской и медикотехнической информации: ВИНИТИ Всероссийский институт научной и технической информации; ГЦНМБ Государственная центральная медицинская библиотека; МРЖ Медицинский реферативный журнал издаваемый ВНИИМИ с 1957 года. ВНТИЦ Всероссийский научнотехнический информационный центр Министерства науки и технической политики РФ издает сборники рефератов научноисследовательских и опытноконструкторских работ НИР и ОКР в нем публикуются рефераты отчетов о... | |||
| 21478. | ОРГАНИЗАЦИЯ РАБОТЫ ОТДЕЛЕНИЯ (КАБИНЕТА) ГБО | 79.5 KB | |
| Требования безопасности Организация работы отделений ГБО в лечебных учреждениях ВС России основывается на требованиях трех руководящих документов: методических указаний Организация и проведение гипербарической оксигенации в военных госпиталях отдельных медицинс ких батальонах 1989 года Отраслевых медицинских указаний Отделения гипербарической оксигенации правила эксплуатации и ремонта ОМУ 42212688 1991 года Отраслевых медицинских указаний Аппараты гипербарической оксигенации правила эксплуатации и ремонта ОМУ... | |||
| 21479. | ОРГАНИЗАЦИЯ СЛУЖБЫ ПЕРЕЛИВАНИЯ КРОВИ В МИРНОЕ И ВОЕННОЕ ВРЕМЯ | 23.5 KB | |
| ПЛАН СЕМИНАРА по теме N29 ОРГАНИЗАЦИЯ СЛУЖБЫ ПЕРЕЛИВАНИЯ КРОВИ В МИРНОЕ И ВОЕННОЕ ВРЕМЯ 1. Основные этапы развития учения о переливании крови. Структура службы крови МЗ России. Организация службы крови и ее задачи в ВС России в мирное время Станция переливания крови военного округа. | |||
| 21480. | ОСЛОЖНЕНИЯ ПРИ ПЕРЕЛИВАНИИ КРОВИ И КРОВЕЗАМЕНИТЕЛЕЙ | 168.5 KB | |
| Осложнения переливания крови: несовместимость крови донора и реципиента по антигенам эритроцитов клинические проявления гемолитические реакции гемотрансфузионный шок общие принципы терапии бактериальная загрязненность крови причины инфекционнотоксический шок клинические проявления общие принципы терапии недоброкачественность перелитой крови ее компонентов и препаратов погрешности в методике трансфузии: воздушная эмболия тромбоэмболия острые циркуляторные нарушения кардиоваскулярная недостаточность калиевая и цитратная... | |||
| 21482. | ОСОБЕННОСТИ АНЕСТЕЗИИ И ИНТЕНСИВНОЙ ТЕРАПИИ У ДЕТЕЙ | 93.5 KB | |
| Насыщенная кислородом ковь потупает от плаценты через пупочную вену и венозные протоки в короткую нижнюю полую вену где получает небольшую примесь крови оттекающей от нижних конечностей и органов брюшной полости.; отличительной особенностью терминального сосудистого русла у детей младшего возраста является недостаточное развитие мышечных элементов в артериолах и прекапиллярных сфинктерах артериовенозные анастомозы являются регуляторами кровообращения в ситрессовых ситуациях у детей чаще наступает централизация кровообращения; ... | |||
| 21483. | Острые нарушения кровообращения. Интенсивное наблюдение и лечение острого инфаркта миокарда | 298 KB | |
| Интенсивное наблюдение и лечение острого инфаркта миокарда Исполнитель: доцент кафедры анестезиологии и реаниматологии ВМедА Полковник м с А. При осмотре пациента на месте развития угрожающего состояния дома на рабочем месте на улице в поврежденном в результате аварии транспортном средстве На догоспитальном этапе мед. Таблица 1 Бальная оценка циркуляторной недостаточности при возникновении угрожающего состояния Баллы 0 1 2 3 4 Показатели Глубина Обычная дыхания Поверх ностное Наполнение Быстрое капилляров 2... | |||
| 21484. | Операционный риск в соответствии с соматическим состоянием больного и тяжестью оперативного вмешательства | 47 KB | |
| В отношении общехирургических больных в большинстве хирургических учреждений нашей страны и за рубежом принят рутинный комплекс предоперационного обследования позволяющий выявить нераспознанные заболевания способные осложнить течение общей анестезии операции и послеоперационного периода: общий анализ крови мочи биохимический анализ крови содержание глюкозы общего белка мочевины креатинина билирубина определение группы крови и резусфактора ЭКГ и рентгенография органов грудной клетки. Обязательным элементом предоперационной... | |||
| 21485. | ПОКАЗАНИЯ К НЕОТЛОЖНОЙ ПОМОЩИ У ОБОЖЖЕННЫХ | 187 KB | |
| положительных высевов из крови вторичных септических очагов что подтверждает примат метаболических нарушений в патогенезе развития осложнений при тяжелом ожоговом поражении.ЛЕЧЕНИЕ ОЖОГОВОГО ШОКА Принципиальным направлением в лечении гиповолемического ожогового шока в первые часы является двуединая задача: восполнение объема циркулирующей крови с одновременной регидратацией интерстициального пространства что достигается интенсивным введением глюкозосолевых растворов. На фоне проводимой инфузионной терапии должна выполняться базовая... | |||
Этот поток занимает центральное место среди всего многообразия потоков, так же как случайные величины с нормальным законом распределения в прикладной теории вероятностей. Такое положение объясняется тем обстоятельством, что в теории потоков, так же как и в теории случайных величин, имеется предельная теорема , согласно которой сумма большого числа независимых потоков с любым законом распределения приближается к простейшему потоку с ростом числа слагаемых потоков.
Стационарным пуассоновским (простейшим) называется поток, обладающий тремя свойствами:ординарностью ,отсутствием последействия истационарностью .
Распределение событий на малом интервале времени
По определению,
интенсивностью потока
называется предел
,
так как простейший поток стационарен,
то для него
.
Стационарность потока
и отсутствие последействия исключают
зависимость вероятности появления
событий на интервале
как от расположения этого интервала на
оси времени, так и от событий ему
предшествующих. Поэтому
.
Для любого промежутка
времени имеем
.
При устремлении
всеми членами правой части этой формулы,
за исключением первого, можно пренебречь,
т.к. в силу ординарности потока событий
эти величины пренебрежимо малы по
сравнению с
:
.
С учетом изложенного преобразуем исходное выражение для интенсивности потока:
.
Отсюда имеем равенство
,
т.е. вероятность появления одного события
на малом интервале времени пропорциональна
этому интервалу с коэффициентом
.
Очевидно, что
.
Следовательно,
,
откуда имеем
- вероятность непоявления ни одного
события на малом интервале времени
.
Распределение событий в пуассоновском потоке
Найдем выражение
,
где
- вероятность того, что на интервале
произойдет
событий. Это событие произойдет в одном
из двух взаимоисключающих случаях:
По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем вероятность наступления ситуации 1 или 2:
Откуда
.
Устремив
,
получим
.
Определим аналогичное
соотношение для
.
Чтобы событие на интервале
не наступило ни одного раза, необходимо
и достаточно, чтобы оно наступило0
раз в интервале
и0
раз - в
.
Вероятность этого события равна.
Откуда аналогично получим
.
Таким образом, пуассоновский поток событий описывается системой линейных дифференциальных уравнений
,
с очевидными начальными условиями .
Из первого уравнения
получаем
,
из начальных условий имеем
,
откудас
= 1
. Окончательно
.
Таким образом, для
пуассоновского потока вероятность
отсутствия
событий на любом интервале
длиной
определяется экспоненциальной
зависимостью. Для решения полной системы
уравнений используем преобразование
Лапласа. Имеем,
откуда
;
и далее
;
;
...
.
Взяв обратное
преобразование Лапласа, с помощью таблиц
получим
,
т.е. распределение Пуассона.
Таким образом, простейший
поток подчиняется закону распределения
Пуассона, для которого математическое
ожидание и дисперсия соответственно
равны
.
Распределение интервалов между событиями
Найдем закон распределения
интервалов времени между событиями для
простейшего потока. Рассмотрим случайную
величину
- промежуток времени между двумя
произвольными соседними событиями в
простейшем потоке. Требуется найти
функцию распределения
.
Рассмотрим противоположное
событие
.
Это вероятность того, что, начиная с
некоторого момента
появления события, за время
не
появится больше ни одного события. Так
как поток без последействия, то тот
факт, что событие появилось в момент
,
не должен оказать никакого влияния на
поведение потока в дальнейшем. Поэтому
вероятность
,
откуда
и плотность распределения вероятности
.
Такой закон распределения
называется показательным
(экспоненциальным) с параметром.
Найдем математическое ожидание
и дисперсию
этого процесса:
;
Показательный закон
обладает замечательным свойством: если
промежуток времени, распределенный по
показательному закону, уже длился
некоторое время
,
то это никак не влияет на закон
распределения оставшейся части промежутка
(он будет таким же, как закон распределения
промежутка
).
Докажем это свойство.
Пусть
- вероятность того, что обслуживание,
продолжавшееся
(с), еще продлится не менее
(с): т.е. на интервале времениa
+
t
не произойдет ни одного события. При
показательном законе распределения
времени обслуживания
.
По теореме о произведении
вероятностей событий
.
При показательном законе;
и, следовательно,
,
т.е. при показательном законе времени
обслуживания закон распределения
оставшейся части времени обслуживания
не зависит от того, сколько времени уже
длилось обслуживание. Можно доказать,
что показательный закон единственный
,
для которого справедливо это свойство.
Рассмотренное свойство , по существу, представляет другую формулировку свойстваотсутствия последействия .
На практике чаще всего ограничиваются рассмотрением простейшего (пуассоновского) потока заявок.
Определение. Поток событий, обладающий свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последействия , называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком . Для простейшего потока событий вероятность того, что на участке времени длины t наступит ровно k событий, имеет распределение Пуассона и определяется по формуле:
Р{X(t,t) = k} = a k e -a /k! (k=0, 1, 2,…),
где а = lt , l – интенсивность потока.
Физический смысл интенсивности потока событий – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени (число заявок в единицу времени), размерность – 1/время.
Простейшим этот поток назван потому, что исследование систем, находящихся под воздействием простейших потоков, проводится самым простым образом.
Распределение интервалов между заявками для простейшего потока будет экспоненциальным (показательным) с функцией распределения и плотностью 
, где – интенсивность поступления заявок в СМО.
Рассмотрим основные свойства простейшего потока:
Стационарность;
Ординарность;
Отсутствие последействия.
Стационарность . Свойство стационарности проявляется в том, что вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени зависит только от длины участка и не зависит от его расположения на оси . Другими словами, стационарность означает неизменность вероятностного режима потока событий во времени. Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным . Для стационарного потока среднее число событий, воздействующих на систему в течение единицы времени, остаётся постоянным. Реальные потоки событий в экономике предприятия являются в действительности стационарными лишь на ограниченных участках времени.
Ординарность. Свойство ординарности потока присутствует, если вероятность попадания на элементарный участок времени двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с длиной этого участка. Свойство ординарности означает, что за малый промежуток времени практически невозможно появление более одного события. Поток, обладающий свойством ординарности, называют ординарным. Реальные потоки событий в различных экономических системах либо являются ординарными, либо могут быть достаточно просто приведены к ординарным.
Отсутствие последействия . Данное свойство потока состоит в том, что для любых непересекающихся участков времени количество событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другие участки времени. Поток, обладающий свойством отсутствия последействия, называют потоком без последействия .
Поток событий, одновременно обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия, называется простейшим потоком событий.
2.6. Компоненты и классификация
моделей систем массового обслуживания (СМО)
Первые задачи теории систем массового обслуживания (ТСМО) были рассмотрены сотрудниками Копенгагенской телефонной компании, датским учёным А. К. Эрлангом (1878–1929 гг.) в период между 1908 и 1922 гг. Эти задачи были вызваны к жизни стремлением упорядочить работу телефонной сети и разработать методы, позволяющие заранее повысить качество обслуживания потребителей в зависимости от числа используемых устройств. Оказалось, что ситуации, возникающие на телефонных станциях, являются типичными не только для телефонной связи. Работа аэродромов, работа морских и речных портов, магазинов, терминальных классов, радиолокационных комплексов, радиолокационных станций и т. д. и т. п. может быть описана в рамках ТСМО.
Системы массового обслуживания – это такие системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.
С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.
Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.
Примерами систем массового обслуживания могут служить посты технического обслуживания автомобилей; любое предприятие сферы сервиса; персональные компьютеры, обслуживающие поступающие заявки или требования на решение тех или иных задач; аудиторские фирмы; отделы налоговых инспекций, занимающиеся приёмкой и проверкой текущей отчётности предприятий; телефонные станции и т. д.
Реальные системы, с которыми приходится иметь дело на практике, как правило, очень сложны и включают в себя ряд этапов (стадий) обслуживания. Причём на каждом этапе может существовать вероятность отказа в выполнении или существует ситуация приоритетного обслуживания по отношению к другим требованиям. При этом отдельные звенья обслуживания могут прекратить свою работу (для ремонта, наладки и т. д.) или могут быть подключены дополнительные средства. Могут быть такие обстоятельства, когда требования, получившие отказ, вновь возвращаются в систему (подобное может происходить в информационных системах).
Основными компонентами системы массового обслуживания любого вида являются:
Входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
Дисциплина очереди;
Механизм обслуживания.
Входной поток требований . Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идёт о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.
Дисциплина очереди – это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:
– первым пришёл – первый обслуживаешься (FIFO);
– пришёл последним – обслуживаешься первым (LIFO);
– случайный отбор заявок (RANDOM);
– отбор заявок по критерию приоритетности (PR);
– ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания или количеством мест, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»).
Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента, и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.
Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Cистема обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько – система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае, если все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание – многоканальная система.
Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно.
Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно утверждать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:
Вероятностное распределение моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
Вероятностное распределение времени продолжительности обслуживания;
Конфигурация обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
Количество и производительность обслуживающих каналов;
Дисциплина очереди;
Мощность источника требований.
В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться длина очереди, время пребывания в очереди.
В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоявшая в очереди, ждёт обслуживание неограниченно долго, т. е. пока не подойдёт очередь.
Приведённая классификация СМО является условной. На практике чаще всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определённого момента, после чего система начинает работать как система с отказами.
Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью её функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.
В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:
Вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
Вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
Относительная и абсолютная пропускная способность системы;
Средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
Среднее время ожидания в очереди;
Средняя длина очереди;
Средний доход от функционирования системы в единицу времени.
Случайный характер потока заявок и длительности обслуживания приводит к тому, что в системе массового обслуживания происходит случайный процесс. По характеру случайного процесса, происходящего в системе массового обслуживания (СМО), различают марковские и немарковские. Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:
· системы с отказами, в которых заявка, поступившая в систему в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает очередь;
· системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.
Для указания типа СМО используются общепринятые обозначения Кендалла – Баша: X/Y/Z/m ,
где X –
вид закона распределения интервалов поступления заявок;
Y –
вид закона распределения времени обслуживания заявок;
Z –
число каналов;
m – число мест в очереди.
В обозначениях вида закона распределения буква M соответствует экспоненциальному распределению (от слова Марковиан ), буква E – распределению Эрланга, R – равномерному распределению и D – детерминированной величине.
Например, запись M/M/1 означаетодноканальную систему с экспоненциальными распределениями времени поступления и обслуживания заявок (М – марковская) без очереди.
2.7. Расчёт основных характеристик СМО
на основе использования их аналитических моделей
Рассмотрим такие СМО, в которых возможные состояния системы образуют цепь и каждое состояние, кроме исходного и последнего, связано прямой и обратной связью с двумя соседними состояниями. Такая схема процесса, протекающего в системе, называется схемой «гибели и размножения». Термин ведёт начало от биологических задач, процесс описывает изменение численности популяции.
Если в такой системе все потоки, переводящие систему из состояния в состояние пуассоновские, то процесс называется марковским случайным процессом «гибели и размножения».
Заметим, что в таких системах все состояния являются существенными, а значит, существуют финальные вероятности состояний, которые можно найти из линейной системы уравнений Эрланга.
На практике значительная часть систем (СМО) может описываться в рамках процесса «гибели и размножения».
Рассмотрим некоторые типы таких систем:
а) одноканальные с отказами (без очереди);
б) одноканальные с ограниченной очередью;
в) многоканальные с отказами (без очереди);
г) многоканальные с ограниченной очередью.
Рассмотрим некоторую физическую систему S с дискретными состояниями которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то случайных событий, например, вызовы на телефонной станции, выходы строя (отказы) элементов аппаратуры, выстрелы, направленные по цели и т. д.
Будем себе это представлять так, будто события, переводящие систему из состояния в состояние, представляют собой какие-то потоки событий (потоки вызовов, потоки отказов, потоки выстрелов и т. д.).
Пусть система S с графом состояний, показанным на рис. 4.27, в момент t находится в состоянии S; и может перейти из него в состояние под влиянием какого-то пуассоновского потока событий с интенсивностью как только появляется первое событие этого потока, система мгновенно переходит (перескакивает) из S в Как мы знаем, вероятность этого перехода за элементарный промежуток времени (элемент вероятности перехода) равна . Таким образом, плотность вероятности перехода в непрерывной цепи Маркова представляет собой не что иное, как интенсивность потока событий, переводящего систему по соответствующей стрелке.
Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние, пуассоновские (стационарные или нестационарные - безразлично), то процесс, протекающий в системе, будет марковским. Действительно, пуассоновский поток обладает отсутствием последействия, поэтому, при заданном состоянии системы в данный момент, ее переходы в другие состояния в будущем обусловлены только появлением каких-то событий в пуассоновских потоках, а вероятности появления этих событий не зависят от «предыстории» процесса.
В дальнейшем, рассматривая марковские процессы в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывные марковские цепи), нам удобно будет во всех случаях рассматривать переходы системы из состояния в состояние как происходящие под влиянием каких-то потоков событий, хотя бы в действительности эти события были единичными. Например, работающее техническое устройство мы будем рассматривать как находящееся под действием потока отказов, хотя фактически оно может отказать только один раз. Действительно, если устройство отказывает в тот момент, когда приходит первое событие потока, то совершенно все равно - продолжается после этого поток отказов или же прекращается: судьба устройства от этого уже не зависит. Для нас же будет удобнее иметь дело именно с потоками событий.
Итак, рассматривается система S, в которой переходы из состояния в состояние происходят под действием пуассоновских потоков событий с определенными интенсивностями. Проставим эти интенсивности (плотности вероятностей переходов) на графе состояний системы у соответствующих стрелок.
Получим размеченный граф состояний (рис. 4.27); по которому, пользуясь правилом, сформулированным в § 3, можно сразу записать дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.
Пример 1. Техническая система S состоит из двух узлов: I и II; каждый из них независимо от другого может отказывать (выходить из строя). Поток отказов первого узла - пуассоновский, с интенсивностью второго - также пуассоновский, с интенсивностью Каждый узел сразу после отказа начинает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток восстановлений (окончаний ремонта ремонтируемого узла) для обоих узлов - пуассоновский с интенсивностью К.
Составить граф состояний системы и написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Определить, при каких начальных условиях нужно решать эти уравнения, если в начальный момент система работает исправно.
Решение. Состояния системы:
Оба узла неправды,
Первый узел ремонтируется, второй исправен,
Первый узел исправен, второй ремонтируется,
Оба узла ремонтируются.
Размеченный граф состояний системы показан на рис. 4.28.
Интенсивности потоков событий на рис. 4.28 проставлены из следующих соображений. Если система S находится в состоянии то на нее действуют два потока событий: поток неисправностей узла I с интенсивностью X, переводящий ее в состояние и поток неисправностей узла II с интенсивностью переводящий ее в Пусть теперь система находится в состоянии (узел I ремонтируется, узел II - исправен). Из этого состояния система может, во-первых, вернуться в (это происходит под действием потока восстановлений с интенсивностью ); во-вторых, - перейти в состояние (когда ремонт узла I еще не закончен, а узел II тем временем вышел из строя); этот переход происходит под действием потока отказов узла II с интенсивностью Интенсивности потоков у остальных стрелок проставляются аналогично.
Обозначая вероятности состояний и пользуясь правилом, сформулированным в § 3, запишем уравнения Колмогорова для вероятностей состояний:
Начальные условия, при которых нужно решать эту систему: при
Заметим, что, пользуясь условием
можно было бы уменьшить число уравнений на одно. Действительно, любую из вероятностей можно выразить через остальные и подставить в уравнения (6.1), а уравнение, содержащее в левой части производную чтой вероятности - отбросить.
Заметим, кроме того, что уравнения (6.1) справедливы как для постоянных интенсивностей пуассоновских потоков X, так и для переменных:
Пример 2. Группа в составе пяти самолетов в строю «колонна» (рис. 4.29) совершает налет на территорию противника. Передний самолет (ведущий) является постановщиком помех; до тех пор, пока он не сбит, идущие за ним самолеты не могут быть обнаружены и атакованы средствами ПВО противника. Атакам подвергается только постановщик помех. Поток атак - пуассоновский, с интенсивностью X (атак/час). В результате атаки постановщик помех поражается с вероятностью р.
Если постановщик помех поражен (сбит), то следующие за ним самолеты обнаруживаются и подвергаются атакам ПВО; на каждый из них (до тех пор, пока он не поражен) направляется пуассоновский поток атак с интенсивностью X; каждой атакой самолет поражается с вероятностью р. Когда самолет поражен, атаки по нему прекращаются, но на другие самолеты не переносятся.
Написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы и указать начальные условия.
Решение. Будем нумеровать состояния системы соответственно числу сохранившихся самолетов в группе:
Все самолеты целы;
Постановщик помех сбит, остальные самолеты целы;
Постановщик помех и один бомбардировщик сбиты, остальные самолеты целы;
Постановщик помех и два бомбардировщика сбиты, остальные самолеты целы;
Постановщик помех и три бомбардировщика сбиты, один самолет цел;
Все самолеты сбиты.
Состояния мы отличаем друг от друга по числу сохранившихся бомбардировщиков, а не по тому, какой именно из них сохранился, так как все бомбардировщики по условиям задачи равноценны - атакуются с одинаковой интенсивностью и поражаются с одинаковой вероятностью.
Граф состояний системы показан на рис. 4 30. Чтобы разметить этот граф, определим интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние.
Из состояния систему переводит поток поражающих (или «успешных») атак, т. е. тех атак, которые приводят к поражению постановщика (разумеется, если он раньше не был поражен).
Интенсивность потока атак равна X, но не все они - поражающие: каждая из них оказывается поражающей только с вероятностью . Очевидно, интенсивность потока поражающих атак равна эта интенсивность и проставлена в качестве у первой слева стрелки на графе (рис. 4.30).
Займемся следующей стрелкой и найдем интенсивность Система находится в состоянии т. е., целы и могут быть атакованы четыре самолета. Она перейдет в состояние за время если за это время какой-нибудь из самолетов (все равно, какой) будет сбит. Найдем вероятность противоположного события - за время ни один самолет не будет сбит:
Здесь отброшены члены высшего порядка малости относительно Вычитая эту вероятность из единицы, получим вероятность перехода из за время (элемент вероятности перехода):
) все самолеты целы, начальные условия будут;Отметим, что в данном параграфе мы только выписывали дифференциальные уравнения для вероятностей состояний, но не занимались решением этих уравнений.
По этому поводу можно заметить следующее. Уравнения для вероятностей состояний представляют собой линейные дифференциальные уравнения с постоянными или переменными коэффициентами - в зависимости от того, постоянны или переменны интенсивности потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние.
Система нескольких линейных дифференциальных уравнений такого типа только в редких случаях может быть проинтегрирована в квадратурах: обычно такую систему приходится решать численно - либо вручную, либо на аналоговой вычислительной машине (АВМ), либо, наконец, на ЭЦВМ. Все эти способы решения систем дифференциальных уравнений затруднений не доставляют; поэтому самое существенное - уметь записать систему уравнений и сформулировать для нее начальные условия, чем мы и ограничились здесь.
