Методы и модели массового обслуживания. Этот поток получается «прореживанием» простейшего потока. Такое «прореживание» производится путем отбора по определенному правилу событий из простейшего потока. Характеристики системы массового обслуживания

Допущения о пуассоновском характере потока заявок и о показательном распределении времени обслуживания позволяют применить в теории массового обслуживания аппарат марковских. Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским (или процессом без последействия), если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий моменти не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

Рассмотрим СМО с конечным дискретным множеством состояний (рис. 2.). Определим состояние как состояние СМО, соответствующее наличию в данный моментзанятых каналов. При этом система может изменять свое состояниедискретно в соответствующие дискретные моменты времени. При поступлении на вход СМО одной заявки система изменяет свое состояние сна,

а при уходе одной заявки из системы и соответствующем освобождении одного канала - с на.

Рис. 2. Диаграмма состояний и переходов СМО

Типичным примером СМО является телекоммуникационная система с несколькими обслуживающими серверами. Заявка, поступающая на вход такой СМО, может быть либо обслужена, либо поставлена в очередь, либо получить отказ в обслуживании. В связи с этим СМО делятся на два основных типа: а) СМО с отказами; б) СМО с ожиданием.

В системах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

В системах с ожиданием заявка, заставшая все каналы занятыми, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает, пока не освободится какой-нибудь канал.

Классификационные признаки систем массового обслуживания.

В системах массового обслуживания различают три основных этапа, которые проходит каждая заявка:

1) появление заявки на входе в систему;

2) прохождение очереди;

3) процесс обслуживания, после которого заявка покидает систему.

На каждом этапе используются определенные характеристики, которые следует обсудить прежде, чем строить математические модели.

Характеристики входа:

1) число заявок на входе (размер популяции);

2) режим поступления заявок в систему обслуживания;

3) поведение клиентов.

Число заявок на входе. Число потенциально возможных заявок (размер популяции) может считаться либо бесконечным (неограниченная популяция), либо конечным (ограниченная популяция). Если число заявок, поступивших на вход системы с момента начала процесса обслуживания до любого заданного момента времени, является лишь малой частью потенциально возможного числа клиентов, популяция на входе рассматривается как Неограниченная. Примеры неограниченных популяций: автомобили, проходящие через пропускные пункты на скоростных дорогах, покупатели в супермаркете и т. п. В большинстве моделей очередей на входе рассматриваются именно неограниченные популяции.

Если количество заявок, которые могут поступить в систему, сравнимо с числом заявок, уже находящихся в системе массового обслуживания, популяция считается Ограниченной. Пример ограниченной популяции: компьютеры, принадлежащие конкретной организации и поступающие на обслуживание в ремонтную мастерскую.

Режим поступления заявок, в систему обслуживания. Заявки могут поступать в систему обслуживания в соответствии с определенным графиком (например, один пациент на прием к стоматологу каждые 15 мин, один автомобиль на конвейере каждые 20 мин) или случайным образом. Появления клиентов считаются Случайными, если они независимы друг от друга и точно непредсказуемы. Часто в задачах массового обслуживания число появлений в единицу времени может быть оценено с помощью пуассоновского распределения вероятностей. При заданном темпе поступления (например, два клиента в час или четыре грузовика в минуту)

дискретное распределение Пуассона описывается следующей формулой:

Где Р (х) - вероятность поступления Х заявок в единицу времени;

Х - число заявок в единицу времени;

L - среднее число заявок в единицу времени (темп поступления заявок);

Е = 2,7182 - основание натурального логарифма.

Соответствующие значения вероятностей Р(х) нетрудно определить с помощью таблицы пуассоновского распределения. Если, например, средний темп поступления заявок - два клиента в час, то вероятность того, что в течение часа в систему не поступит ни одной заявки, равна 0,135, вероятность появления одной заявки - около 0,27, двух - также около 0,27, три заявки могут появиться с вероятностью 0,18, четыре - с вероятностью около 0,09 и т. д. Вероятность того, что за час в систему поступят 9 заявок или более, близка нулю.

На практике вероятности появления заявок, разумеется, не всегда подчиняются пуассоновскому распределению (они могут иметь какое-то другое распределение). Поэтому требуется проводить предварительные исследования для того, чтобы проверить, что пуассоновское распределение может служить хорошей аппроксимацией.

Поведение клиентов. Большинство моделей очередей основывается на предположении, что поведение клиентов является стандартным, т. е. каждая поступающая в систему заявка встает в очередь, дожидается обслуживания и не покидает систему до тех пор, пока ее не обслужат. Другими словами, клиент (человек или машина), вставший в очередь, ждет до тех пор, пока он не будет обслужен, не покидает очередь и не переходит из одной очереди в другую.

Жизнь значительно сложнее. На практике клиенты могут покинуть очередь

потому, что она оказалась слишком длинной. Может возникнуть и другая ситуация: клиенты дожидаются своей очереди, но по каким-то причинам уходят необслуженными. Эти случаи также являются предметом теории массового обслуживания.

Характеристики очереди:

2) правило обслуживания.

Длина очереди. Длина может быть ограничена либо не ограничена. Длина очереди (очередь) Ограничена, если она по каким-либо причинам (например, из-за физических ограничений) не может увеличиваться до бесконечности. Если очередь достигает своего максимального размера, то следующая заявка в систему не допускается и происходит отказ. Длина очереди не ограничена, Если в очереди может находиться любое число заявок. Например, очередь автомобилей на бензозаправке.

Правило обслуживания. Большинство реальных систем использует правило «первым пришел - первым ушел» (FIFO - first in, first out). В некоторых случаях, например в приемном покое больницы, в дополнение к этому правилу могут устанавливаться различные приоритеты. Пациент с инфарктом в критическом состоянии, по-видимому, будет иметь приоритет в обслуживании по сравнению с пациентом, сломавшим палец. Порядок запуска компьютерных программ - другой пример установления приоритетов в обслуживании.

Большой класс систем, которые сложно изучить аналитическими способами, но которые хорошо изучаются методами статистического моделирования, сводится к системам массового обслуживания (СМО).

В СМО подразумевается, что есть типовые пути (каналы обслуживания), через которые в процессе обработки проходят заявки . Принято говорить, что заявки обслуживаются каналами. Каналы могут быть разными по назначению, характеристикам, они могут сочетаться в разных комбинациях; заявки могут находиться в очередях и ожидать обслуживания. Часть заявок может быть обслужена каналами, а части могут отказать в этом. Важно, что заявки, с точки зрения системы, абстрактны: это то, что желает обслужиться, то есть пройти определенный путь в системе. Каналы являются также абстракцией: это то, что обслуживает заявки.

Заявки могут приходить неравномерно, каналы могут обслуживать разные заявки за разное время и так далее, количество заявок всегда весьма велико. Все это делает такие системы сложными для изучения и управления, и проследить все причинно-следственные связи в них не представляется возможным. Поэтому принято представление о том, что обслуживание в сложных системах носит случайный характер.

Примерами СМО (см. табл. 30.1) могут служить: автобусный маршрут и перевозка пассажиров; производственный конвейер по обработке деталей; влетающая на чужую территорию эскадрилья самолетов, которая «обслуживается» зенитками ПВО; ствол и рожок автомата, которые «обслуживают» патроны; электрические заряды, перемещающиеся в некотором устройстве и т. д.

Таблица 30.1.
Примеры систем массового обслуживания

СМО	Заявки	Каналы
Автобусный маршрут и перевозка пассажиров	Пассажиры	Автобусы
Производственный конвейер по обработке деталей	Детали, узлы	Станки, склады
Влетающая на чужую территорию эскадрилья самолетов, которая «обслуживается» зенитками ПВО	Самолеты	Зенитные орудия, радары, стрелки, снаряды
Ствол и рожок автомата, которые «обслуживают» патроны	Патроны	Ствол, рожок
Электрические заряды, перемещающиеся в некотором устройстве	Заряды	Каскады технического устройства

Но все эти системы объединены в один класс СМО, поскольку подход к их изучению един. Он состоит в том, что, во-первых , с помощью генератора случайных чисел разыгрываются случайные числа, которые имитируют СЛУЧАЙНЫЕ моменты появления заявок и время их обслуживания в каналах. Но в совокупности эти случайные числа, конечно, подчинены статистическим закономерностям.

К примеру, пусть сказано: «заявки в среднем приходят в количестве 5 штук в час». Это означает, что времена между приходом двух соседних заявок случайны, например: 0.1; 0.3; 0.1; 0.4; 0.2, как это показано на рис. 30.1 , но в сумме они дают в среднем 1 (обратите внимание, что в примере это не точно 1, а 1.1 но зато в другой час эта сумма, например, может быть равной 0.9); и только за достаточно большое время среднее этих чисел станет близким к одному часу.

Результат (например, пропускная способность системы), конечно, тоже будет случайной величиной на отдельных промежутках времени. Но измеренная на большом промежутке времени, эта величина будет уже, в среднем, соответствовать точному решению. То есть для характеристики СМО интересуются ответами в статистическом смысле.

Итак, систему испытывают случайными входными сигналами, подчиненными заданному статистическому закону, а в качестве результата принимают статистические показатели, усредненные по времени рассмотрения или по количеству опытов. Ранее, в лекции 21 (см. рис. 21.1), мы уже разработали схему для такого статистического эксперимента (см. рис. 30.2 ).

Рис. 30.2. Схема статистического эксперимента для изучения систем массового обслуживания

Во-вторых , все модели СМО собираются типовым образом из небольшого набора элементов (канал, источник заявок, очередь, заявка, дисциплина обслуживания, стек, кольцо и так далее), что позволяет имитировать эти задачи типовым образом. Для этого модель системы собирают из конструктора таких элементов. Неважно, какая конкретно система изучается, важно, что схема системы собирается из одних и тех же элементов. Разумеется, структура схемы будет всегда различной.

Перечислим некоторые основные понятия СМО.

Каналы то, что обслуживает; бывают горячие (начинают обслуживать заявку в момент ее поступления в канал) и холодные (каналу для начала обслуживания требуется время на подготовку). Источники заявок порождают заявки в случайные моменты времени, согласно заданному пользователем статистическому закону. Заявки , они же клиенты , входят в систему (порождаются источниками заявок), проходят через ее элементы (обслуживаются), покидают ее обслуженными или неудовлетворенными. Бывают нетерпеливые заявки такие, которым надоело ожидать или находиться в системе и которые покидают по собственной воле СМО. Заявки образуют потоки поток заявок на входе системы , поток обслуженных заявок, поток отказанных заявок. Поток характеризуется количеством заявок определенного сорта, наблюдаемым в некотором месте СМО за единицу времени (час, сутки, месяц), то есть поток есть величина статистическая.

Очереди характеризуются правилами стояния в очереди (дисциплиной обслуживания), количеством мест в очереди (сколько клиентов максимум может находиться в очереди), структурой очереди (связь между местами в очереди). Бывают ограниченные и неограниченные очереди. Перечислим важнейшие дисциплины обслуживания. FIFO (First In, First Out первым пришел, первым ушел): если заявка первой пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание. LIFO (Last In, First Out последним пришел, первым ушел): если заявка последней пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание (пример патроны в рожке автомата). SF (Short Forward короткие вперед): в первую очередь обслуживаются те заявки из очереди, которые имеют меньшее время обслуживания.

Дадим яркий пример, показывающий, как правильный выбор той или иной дисциплины обслуживания позволяет получить ощутимую экономию по времени.

Пусть имеется два магазина. В магазине № 1 обслуживание осуществляется в порядке очереди, то есть здесь реализована дисциплина обслуживания FIFO (см. рис. 30.3 ).

Рис. 30.3. Организация очереди по дисциплине FIFO

Время обслуживания t обслуж. на рис. 30.3 показывает, сколько времени продавец затратит на обслуживание одного покупателя. Понятно, что при покупке штучного товара продавец затратит меньше времени на обслуживание, чем при покупке, скажем, сыпучих продуктов, требующих дополнительных манипуляций (набрать, взвесить, высчитать цену и т. п). Время ожидания t ожид. показывает, через какое время очередной покупатель будет обслужен продавцом.

В магазине № 2 реализована дисциплина SF (см. рис. 30.4 ), означающая, что штучный товар можно купить вне очереди, так как время обслуживания t обслуж. такой покупки невелико.

Рис. 30.4. Организация очереди по дисциплине SF

Как видно из обоих рисунков, последний (пятый) покупатель собирается приобрести штучный товар, поэтому время его обслуживания невелико 0.5 минут. Если этот покупатель придет в магазин № 1, он будет вынужден выстоять в очереди целых 8 минут, в то время как в магазине № 2 его обслужат сразу же, вне очереди. Таким образом, среднее время обслуживания каждого из покупателей в магазине с дисциплиной обслуживания FIFO составит 4 минуты, а в магазине с дисциплиной обслуживания КВ лишь 2.8 минуты. А общественная польза, экономия времени составит: (1 2.8/4) · 100% = 30 процентов! Итак, 30% сэкономленного для общества времени и это лишь за счет правильного выбора дисциплины обслуживания.

Специалист по системам должен хорошо понимать ресурсы производительности и эффективности проектируемых им систем, скрытые в оптимизации параметров, структур и дисциплинах обслуживания. Моделирование помогает выявить эти скрытые резервы .

При анализе результатов моделирования важно также указать интересы и степень их выполнения. Различают интересы клиента и интересы владельца системы. Заметим, что эти интересы совпадают не всегда.

Судить о результатах работы СМО можно по показателям . Наиболее популярные из них:

вероятность обслуживания клиента системой;
пропускная способность системы;
вероятность отказа клиенту в обслуживании;
вероятность занятости каждого из канала и всех вместе;
среднее время занятости каждого канала;
вероятность занятости всех каналов;
среднее количество занятых каналов;
вероятность простоя каждого канала;
вероятность простоя всей системы;
среднее количество заявок, стоящих в очереди;
среднее время ожидания заявки в очереди;
среднее время обслуживания заявки;
среднее время нахождения заявки в системе.

Судить о качестве полученной системы нужно по совокупности значений показателей. При анализе результатов моделирования (показателей) важно также обращать внимание на интересы клиента и интересы владельца системы , то есть минимизировать или максимизировать надо тот или иной показатель, а также на степень их выполнения. Заметим, что чаще всего интересы клиента и владельца между собой не совпадают или совпадают не всегда. Показатели будем обозначать далее H = {h 1 , h 2 , } .

Параметрами СМО могут быть: интенсивность потока заявок, интенсивность потока обслуживания, среднее время, в течение которого заявка готова ожидать обслуживания в очереди, количество каналов обслуживания, дисциплина обслуживания и так далее. Параметры это то, что влияет на показатели системы. Параметры будем обозначать далее как R = {r 1 , r 2 , } .

Пример. Автозаправочная станция (АЗС) .

1. Постановка задачи . На рис. 30.5 приведен план АЗС. Рассмотрим метод моделирования СМО на ее примере и план ее исследования. Водители, проезжая по дороге мимо АЗС по дороге, могут захотеть заправить свой автомобиль. Хотят обслужиться (заправить машину бензином) не все автомобилисты подряд; допустим, что из всего потока машин на заправку в среднем заезжает 5 машин в час.

Рис. 30.5. План моделируемой АЗС

На АЗС две одинаковые колонки, статистическая производительность каждой из которых известна. Первая колонка в среднем обслуживает 1 машину в час, вторая в среднем 3 машины в час. Владелец АЗС заасфальтировал для машин место, где они могут ожидать обслуживания. Если колонки заняты, то на этом месте могут ожидать обслуживания другие машины, но не более двух одновременно. Очередь будем считать общей. Как только одна из колонок освободится, то первая машина из очереди может занять ее место на колонке (при этом вторая машина продвигается на первое место в очереди). Если появляется третья машина, а все места (их два) в очереди заняты, то ей отказывают в обслуживании, так как стоять на дороге запрещено (см. дорожные знаки около АЗС). Такая машина уезжает прочь из системы навсегда и как потенциальный клиент является потерянной для владельца АЗС. Можно усложнить задачу, рассмотрев кассу (еще один канал обслуживания, куда надо попасть после обслуживания в одной из колонок) и очередь к ней и так далее. Но в простейшем варианте очевидно, что пути движения потоков заявок по СМО можно изобразить в виде эквивалентной схемы, а добавив значения и обозначения характеристик каждого элемента СМО, получаем окончательно схему, изображенную на рис. 30.6 .

Рис. 30.6. Эквивалентная схема объекта моделирования

2. Метод исследования СМО . Применим в нашем примере принцип последовательной проводки заявок (подробно о принципах моделирования см. лекцию 32). Его идея заключается в том, что заявку проводят через всю систему от входа до выхода, и только после этого берутся за моделирование следующей заявки.

Для наглядности построим временную диаграмму работы СМО, отражая на каждой линейке (ось времени t ) состояние отдельного элемента системы. Временных линеек проводится столько, сколько имеется различных мест в СМО, потоков. В нашем примере их 7 (поток заявок, поток ожидания на первом месте в очереди, поток ожидания на втором месте в очереди, поток обслуживания в канале 1, поток обслуживания в канале 2, поток обслуженных системой заявок, поток отказанных заявок).

Для генерации времени прихода заявок используем формулу вычисления интервала между моментами прихода двух случайных событий (см. лекцию 28):

В этой формуле величина потока λ должна быть задана (до этого она должна быть определена экспериментально на объекте как статистическое среднее), r случайное равномерно распределенное число от 0 до 1 из ГСЧ или таблицы , в которой случайные числа нужно брать подряд (не выбирая специально).

Задача . Сгенерируйте поток из 10 случайных событий с интенсивностью появления событий 5 шт/час.

Решение задачи . Возьмем случайные числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1 (см. таблицу), и вычислим их натуральные логарифмы (см. табл. 30.2).

Формула пуассоновского потока определяет расстояние между двумя случайными событиями следующим образом: t = Ln(r рр)/λ . Тогда, учитывая, что λ = 5 , имеем расстояния между двумя случайными соседними событиями: 0.68, 0.21, 0.31, 0.12 часа. То есть события наступают: первое в момент времени t = 0 , второе в момент времени t = 0.68 , третье в момент времени t = 0.89 , четвертое в момент времени t = 1.20 , пятое в момент времени t = 1.32 и так далее. События приход заявок отразим на первой линейке (см. рис. 30.7 ).

Рис. 30.7. Временная диаграмма работы СМО

Берется первая заявка и, так как в этот момент каналы свободны, устанавливается на обслуживание в первый канал. Заявка 1 переносится на линейку «1 канал».

Время обслуживания в канале тоже случайное и вычисляется по аналогичной формуле:

где роль интенсивности играет величина потока обслуживания μ 1 или μ 2 , в зависимости от того, какой канал обслуживает заявку. Находим на диаграмме момент окончания обслуживания, откладывая сгенерированное время обслуживания от момента начала обслуживания, и опускаем заявку на линейку «Обслуженные».

Заявка прошла в СМО весь путь. Теперь можно, согласно принципу последовательной проводки заявок, также проимитировать путь второй заявки.

Если в некоторый момент окажется, что оба канала заняты, то следует установить заявку в очередь. На рис. 30.7 это заявка с номером 3. Заметим, что по условиям задачи в очереди в отличие от каналов заявки находятся не случайное время, а ожидают, когда освободится какой-то из каналов. После освобождения канала заявка поднимается на линейку соответствующего канала и там организуется ее обслуживание.

Если все места в очереди в момент, когда придет очередная заявка, будут заняты, то заявку следует отправить на линейку «Отказанные». На рис. 30.7 это заявка с номером 6.

Процедуру имитации обслуживания заявок продолжают некоторое время наблюдения T н . Чем больше это время, тем точнее в дальнейшем будут результаты моделирования. Реально для простых систем выбирают T н , равное 50100 и более часов, хотя иногда лучше мерить эту величину количеством рассмотренных заявок.

Анализ временной диаграммы

Анализ проведем на уже рассмотренном примере.

Сначала нужно дождаться установившегося режима. Откидываем первые четыре заявки как нехарактерные, протекающие во время процесса установления работы системы. Измеряем время наблюдения, допустим, что в нашем примере оно составит T н = 5 часов. Подсчитываем из диаграммы количество обслуженных заявок N обс. , времена простоя и другие величины. В результате можем вычислить показатели, характеризующие качество работы СМО.

Вероятность обслуживания: P обс. = N обс. /N = 5/7 = 0.714 . Для расчета вероятности обслуживания заявки в системе достаточно разделить число заявок, которым удалось обслужиться за время T н (см. линейку «Обслуженные») N обс. , на число заявок N , которые хотели обслужиться за это же время. Как и раньше вероятность экспериментально определяем отношением свершившихся событий к общему числу событий, которые могли совершиться!
Пропускная способность системы: A = N обс. /T н = 7/5 = 1.4 [шт/час] . Для расчета пропускной способности системы достаточно разделить число обслуженных заявок N обс. на время T н , за которое произошло это обслуживание (см. линейку «Обслуженные»).
Вероятность отказа: P отк. = N отк. /N = 3/7 = 0.43 . Для расчета вероятности отказа заявке в обслуживании достаточно разделить число заявок N отк. , которым отказали за время T н (см. линейку «Отказанные»), на число заявок N , которые хотели обслужиться за это же время, то есть поступили в систему. Обратите внимание . P отк. + P обс. в теории должно быть равно 1. На самом деле экспериментально получилось, что P отк. + P обс. = 0.714 + 0.43 = 1.144 . Эта неточность объясняется тем, что время наблюдения T н мало и статистика накоплена недостаточная для получения точного ответа. Погрешность это показателя сейчас составляет 14%!
Вероятность занятости одного канала: P 1 = T зан. /T н = 0.05/5 = 0.01 , где T зан. время занятости только одного канала (первого или второго). Измерениям подлежат временные отрезки, на которых происходят определенные события. Например, на диаграмме ищутся такие отрезки, во время которых заняты или первый или второй канал. В данном примере есть один такой отрезок в конце диаграммы длиной 0.05 часа. Доля этого отрезка в общем времени рассмотрения (T н = 5 часов) определяется делением и составляет искомую вероятность занятости.
Вероятность занятости двух каналов: P 2 = T зан. /T н = 4.95/5 = 0.99 . На диаграмме ищутся такие отрезки, во время которых одновременно заняты и первый, и второй канал. В данном примере таких отрезков четыре, их сумма равна 4.95 часа. Доля продолжительности этих события в общем времени рассмотрения (T н = 5 часов) определяется делением и составляет искомую вероятность занятости.
Среднее количество занятых каналов: N ск = 0 · P 0 + 1 · P 1 + 2 · P 2 = 0.01 + 2 · 0.99 = 1.99 . Чтобы подсчитать, сколько каналов занято в системе в среднем, достаточно знать долю (вероятность занятости одного канала) и умножить на вес этой доли (один канал), знать долю (вероятность занятости двух каналов) и умножить на вес этой доли (два канала) и так далее. Полученная цифра 1.99 говорит о том, что из возможных двух каналов в среднем загружено 1.99 канала. Это высокий показатель загрузки, 99.5%, система хорошо использует ресурс.
Вероятность простоя хотя бы одного канала: P * 1 = T простоя1 /T н = 0.05/5 = 0.01 .
Вероятность простоя двух каналов одновременно: P * 2 = T простоя2 /T н = 0 .
Вероятность простоя всей системы: P * c = T простоя сист. /T н = 0 .
Среднее количество заявок в очереди: N сз = 0 · P 0з + 1 · P 1з + 2 · P 2з = 0.34 + 2 · 0.64 = 1.62 [шт] . Чтобы определить среднее количество заявок в очереди, надо определить отдельно вероятность того, что в очереди будет одна заявка P 1з , вероятность того, в очереди будет стоять две заявки P 2з и т. д. и снова с соответствующими весами их сложить.
Вероятность того, что в очереди будет одна заявка: P 1з = T 1з /T н = 1.7/5 = 0.34 (всего на диаграмме четырех таких отрезка, в сумме дающих 1.7 часа).
Вероятность того, в очереди будет стоять одновременно две заявки: P 2з = T 2з /T н = 3.2/5 = 0.64 (всего на диаграмме три таких отрезка, в сумме дающих 3.25 часа).
Среднее время ожидания заявки в очереди:
(Сложить все временные интервалы, в течение которых какая-либо заявка находилась в очереди, и разделить на количество заявок). На временной диаграмме таких заявок 4.
Среднее время обслуживания заявки:
(Сложить все временные интервалы, в течение которых какая-либо заявка находилась на обслуживании в каком-либо канале, и разделить на количество заявок).
Среднее время нахождения заявки в системе: T ср. сист. = T ср. ож. + T ср. обсл. .
Среднее количество заявок в системе:
Разобьем интервал наблюдения, например, на десятиминутки. Получится на пяти часах K подынтервалов (в нашем случае K = 30 ). В каждом подынтервале определим по временной диаграмме, сколько заявок в этот момент находится в системе. Смотреть надо на 2, 3, 4 и 5-ю линейки какие из них заняты в данный момент. Затем сумму K слагаемых усреднить.

Далее следует оценить точность каждого из полученных результатов. То есть ответить на вопрос: насколько мы можем доверять этим значениям? Оценка точности проводится по методике, описанной в лекции 34 .

Если точность не является удовлетворительной, то следует увеличить время эксперимента и тем самым улучшить статистику. Можно сделать и по-другому. Снова несколько раз запустить эксперимент на время T н . А в последствии усреднить значения этих экспериментов. И снова проверить результаты на критерий точности. Эту процедуру следует повторять до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Далее следует составить таблицу результатов и оценить значения каждого из них с точки зрения клиента и владельца СМО (см. табл. 30.3).. В конце, учитывая сказанное в каждом пункте, следует сделать общий вывод. Таблица должна иметь примерно такой вид, какой показан в табл. 30.3.

Таблица 30.3.
Показатели СМО

Показатель	Формула	Значение	Интересы владельца СМО	Интересы клиента СМО
Вероятность обслуживания	P обс. = N обс. /N	0.714	Вероятность обслуживания мала, много клиентов уходят из системы неудовлетворенными, их деньги для владельца потеряны. Это «минус».	Вероятность обслуживания мала, каждый третий клиент хочет, но не может обслужиться. Это «минус».

Среднее количество заявок в очереди	N сз = 0 · P 0з + 1 · P 1з + 2 · P 2з	1.62	Очередь практически все время вся забита. Все места в очереди используются достаточно эффективно. Вложения на организацию очереди окупают затраты на нее. Это «плюс». Клиенты, которые долго стоят в очереди, могут уйти, не дождавшись обслуживания. Клиенты, простаивая, могут нанести ущерб системе, ломать оборудование. Много отказов, потерянных клиентов. Это «минусы».	Очередь практически все время вся забита. Клиенту приходится стоять в очереди, прежде чем он попадет на обслуживание. Клиент может не попасть даже в очередь. Это «минус».
Общий итог:			В интересах владельца: а) увеличить пропускную способность каналов, чтобы не терять клиентов (правда, модернизация каналов стоит денег); б) увеличить число мест в очереди (это тоже стоит денег), чтобы задержать потенциальных клиентов.	Клиенты заинтересованы в значительном увеличении пропускной способности для уменьшения времени ожидания и уменьшения отказов.

Синтез СМО

Мы проделали анализ существующей системы. Это дало возможность увидеть ее недостатки и определить направления улучшения ее качества. Но остаются непонятными ответы на конкретные вопросы, что именно надо сделать увеличивать количество каналов или увеличивать их пропускную способность, или увеличивать количество мест в очереди, и, если увеличивать, то насколько? Есть и такие вопросы, что лучше создать 3 канала с производительностью 5 шт/час или один с производительностью 15 шт/час?

Чтобы оценить чувствительность каждого показателя к изменению значения определенного параметра, поступают следующим образом. Фиксируют все параметры кроме одного, выбранного. Затем снимают значение всех показателей при нескольких значениях этого выбранного параметра. Конечно, приходится повторять снова и снова процедуру имитации и усреднять показатели при каждом значении параметра, оценивать точность. Но в результате получаются надежные статистические зависимости характеристик (показателей) от параметра.

Например, для 12 показателей нашего примера можно получить 12 зависимостей от одного параметра: зависимость вероятности отказов P отк. от количества мест в очереди (КМО), зависимость пропускной способности A от количества мест в очереди, и так далее (см. рис. 30.8 ).

Рис. 30.8. Примерный вид зависимостей показателей от параметров СМО

Затем так же можно снять еще 12 зависимостей показателей P от другого параметра R , зафиксировав остальные параметры. И так далее. Образуется своеобразная матрица зависимостей показателей P от параметров R , по которой можно провести дополнительный анализ о перспективах движения (улучшения показателей) в ту или иную сторону. Наклон кривых хорошо показывает чувствительность, эффект от движения по определенному показателю. В математике эту матрицу называют якобианом J , в которой роль наклона кривых играют значения производных ΔP i /ΔR j , см. рис. 30.9 . (Напомним, что производная связана геометрически с углом наклона касательной к зависимости.)

Рис. 30.9. Якобиан матрица чувствительностей показателей
в зависимости от изменения параметров СМО

Если показателей 12, а параметров, например, 5, то матрица имеет размерность 12 x 5. Каждый элемент матрицы кривая, зависимость i -го показателя от j -го параметра. Каждая точка кривой среднее значение показателя на достаточно представительном отрезке T н или усреднено по нескольким экспериментам.

Следует понимать, что кривые снимались в предположении того, что все параметры кроме одного в процессе их снятия были неизменны. (Если бы все параметры меняли значения, то кривые были бы другими. Но так не делают, так как получится полная неразбериха и зависимостей не будет видно.)

Поэтому, если на основании рассмотрения снятых кривых принимается решение о том, что некоторый параметр будет в СМО изменен, то все кривые для новой точки, в которой опять будет исследоваться вопрос о том, какой параметр следует изменить, чтобы улучшить показатели, следует снимать заново .

Так шаг за шагом можно попытаться улучшить качество системы. Но пока эта методика не может ответить на ряд вопросов. Дело в том, что, во-первых, если кривые монотонно растут, то возникает вопрос, где же все-таки следует остановиться. Во-вторых, могут возникать противоречия, один показатель может улучшаться при изменении выбранного параметра, в то время как другой будет одновременно ухудшаться. В-третьих, ряд параметров сложно выразить численно, например, изменение дисциплины обслуживания, изменение направлений потоков, изменение топологии СМО. Поиск решения в двух последних случаях проводится с применением методов экспертизы (см. лекцию 36. Экспертиза) и методами искусственного интеллекта (см. .

Поэтому сейчас обсудим только первый вопрос. Как принять решение, каким должно быть все-таки значение параметра, если с его ростом показатель все время монотонно улучшается? Вряд ли значение бесконечности устроит инженера.

Параметр R управление, это то, что находится в распоряжении владельца СМО (например, возможность заасфальтировать площадку и тем самым увеличить количество мест в очереди, поставить дополнительные каналы, увеличить поток заявок за счет увеличения затрат на рекламу и так далее). Меняя управление, можно влиять на значение показателя P , цель, критерий (вероятность отказов, пропускную способность, среднее время обслуживания и так далее). Из рис. 30.10 видно, что если увеличивать управление R , то можно добиться всегда улучшение показателя P . Но очевидно, что любое управление связано с затратами Z . И чем больше прилагают усилия для управления, чем больше значение управляющего параметра, тем больше затраты. Обычно затраты на управление растут линейно: Z = C 1 · R . Хотя встречаются случаи, когда, например, в иерархических системах, они растут экспоненциально, иногда обратно экспоненциально (скидки за опт) и так далее.

Рис. 30.10. Зависимость показателя Р
от управляемого параметра R (пример)

В любом случае ясно, что когда-то вложение все новых затрат просто перестанет себя окупать. Например, эффект от заасфальтированной площадки размером в 1 км 2 вряд ли окупит затраты владельца бензоколонки в Урюпинске, там просто не будет столько желающих заправиться бензином. Иными словами показатель P в сложных системах не может расти бесконечно. Рано или поздно его рост замедляется. А затраты Z растут (см. рис. 30.11 ).

Рис. 30.11. Зависимости эффекта от применения показателя Р

Из рис. 30.11 видно, что при назначении цены C 1 за единицу затрат R и цены C 2 за единицу показателя P , эти кривые можно сложить. Кривые складывают, если их требуется одновременно минимизировать или максимизировать. Если одна кривая подлежит максимизации, а другая минимизации, то следует найти их разность, например по точкам. Тогда результирующая кривая (см. рис. 30.12 ), учитывающая и эффект от управления и затраты на это, будет иметь экстремум. Значение параметра R , доставляющего экстремум функции, и есть решение задачи синтеза .

Рис. 30.12. Суммарная зависимость эффекта от применения показателя Р
и затрат Z на его получение как функции управляемого параметра R

Кроме управления R и показателя P в системах действует возмущение. Возмущения обозначим как D = {d 1 , d 2 , } , см. рис. 30.13 . Возмущение это входное воздействие, которое, в отличие от управляющего параметра, не зависит от воли владельца системы. Например, низкие температуры на улице, конкуренция снижают, к сожалению, поток клиентов, поломки оборудования досадно снижают производительность системы. И управлять этими величинами непосредственно владелец системы не может. Обычно возмущение действует «назло» владельцу, снижая эффект P от управляющих усилий R . Это происходит потому, что, в общем случае, система создается для достижения целей, недостижимых самих по себе в природе. Человек, организуя систему, всегда надеется посредством ее достичь некоторой цели P . На это он затрачивает усилия R , идя наперекор природе. Система организация доступных человеку, изученных им природных компонент для достижения некоторой новой цели, недостижимой ранее другими способами .

Рис. 30.13. Условное обозначение изучаемой системы,
на которую воздействуют управляющие воздействия R и возмущения D

Итак, если мы снимем зависимость показателя P от управления R еще раз (как показано на рис. 30.10 ), но в условиях появившегося возмущения D , то, возможно, характер кривой изменится. Скорее всего, показатель будет при одинаковых значениях управлений находиться ниже, так как возмущение носит «противный» характер, снижая показатели системы (см. рис. 30.14 ). Система, предоставленная сама себе, без усилий управляющего характера, перестает обеспечивать цель, для достижения которой она была создана . Если, как и ранее, построить зависимость затрат, соотнести ее с зависимостью показателя от параметра управления, то найденная точка экстремума сместится (см. рис. 30.15 ) по сравнению со случаем «возмущение = 0» (см. рис. 30.12 ).

Рис. 30.14. Зависимость показателя P от управляющего параметра R
при различных значениях действующих на систему возмущений D

Если снова увеличить возмущение, то кривые изменятся (см. рис. 30.14 ) и, как следствие, снова изменится положение точки экстремума (см. рис. 30.15 ).

Рис. 30.15. Нахождение точки экстремума на суммарной зависимости
при различных значениях действующего возмущающего фактора D

В конечном итоге, все найденные положения точек экстремума переносятся на новый график, где образуют зависимость Показателя P от Управляющего параметра R при изменении Возмущений D (см. рис. 30.16 ).

Рис. 30.16. Зависимость показателя P от управляющего
параметра R при изменении значений возмущений D
(кривая состоит только из точек экстремумов)

Обратите внимание, что на самом деле на этом графике могут быть и другие рабочие точки (график пронизан как бы семействами кривых), но нанесенные нами точки задают такие координаты управляющего параметра, при которых при заданных возмущениях (!) достигается наибольшее из возможных значение показателя P .

Этот график (см. рис. 30.16 ) связывает Показатель P , Управление (ресурс) R и Возмущение D в сложных системах, указывая, как действовать наилучшим образом ЛПР (лицу, принимающему решение) в условиях возникших возмущений. Теперь пользователь может, зная реальную обстановку на объекте (значение возмущения), быстро по графику определить, какое управляющее воздействие на объект необходимо, чтобы обеспечить наилучшее значение интересующего его показателя.

Заметьте, если управляющее воздействие будет меньше оптимального, то суммарный эффект снизится, возникнет ситуация недополученной прибыли. Если управляющее воздействие будет больше оптимального, то эффект также снизится, так как заплатить за очередное увеличение управляющих усилий надо будет по величине больше, чем та, которую вы получите в результате ее использования (ситуация банкротства).

Примечание . В тексте лекции мы использовали слова «управление» и «ресурс», то есть считали, что R = U . Следует пояснить, что управление действительно играет роль некоторой ограниченной ценности для владельца системы. То есть всегда является ценным для него ресурсом, за который всегда приходится платить, и которого всегда не хватает. Действительно, если бы эта величина не была ограничена, то мы бы могли достигать за счет бесконечной величины управлений бесконечно больших значений целей, а вот бесконечно больших результатов в природе явно не наблюдается.

Иногда различают собственно управление U и ресурс R , называя ресурсом некоторый запас, то есть границу возможного значения управляющего воздействия. В этом случае понятия ресурс и управление не совпадают: U < R . Иногда различают предельное значение управления U ≤ R и интегральный ресурс ∫U d t ≤ R .

Основы математического моделирования

социально-экономических процессов

Лекция 3

Тема лекции: «Модели систем массового обслуживания»

1. Модели организационных структур управления (ОСУ).

2. Системы и модели массового обслуживания. Классификация систем массового обслуживания (СМО).

3.Модели СМО. Показатели качества функционирования СМО.

МОДЕЛИ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СТРУКТУР УПРАВЛЕНИЯ (ОСУ).

Многие экономические задачи связаны с системами мас-сового обслуживания (СМО), т. е. с такими системами, в кото-рых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требо-вания) на выполнение каких-либо услуг, с другой — проис-ходит удовлетворение этих запросов.

СМО включает в себя следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающие устройства (каналы обслуживания), выходящий поток требований. Исследованием таких систем занимается теория массового обслуживания (ТМО).

Методами теории массового обслуживания (ТМО) могут быть решены многие задачи исследования процессов, происходящих в экономике. Так, в организации торговли эти методы позволяют определить оптимальное количество торговых то- чек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры. Другим характерным примером систем массового обслуживания могут служить склады или базы снабженческо-сбытовых организаций. И задача тео-рии массового обслуживания в данном случае сводится к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом поступающих на базу требований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммар-ные расходы на обслуживание и убытки от простоя транс-порта были бы минимальными. Теория массового обслужи-вания может найти применение и при расчете площади складских помещений, при этом складская площадь рас-сматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку — как требование.

Модели теории массового обслуживания применяются также при решении ряда задач организации и нормирования труда, других социально-экономических проблем. Переход к рынку требует от всех субъектов хозяйствования повышенной надежности и эффективности функционирования производств, гибкости и живучести в ответ на динамичные изменения внешней деловой среды, снижения разновидностей рисков и потерь от запоздалых и некомпетентных управленческих решений.

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО) ЯВЛЯЮТСЯ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ МОДЕЛЯМИ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СТРУКТУР УПРАВЛЕНИЯ (ОСУ).

ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ СТРУКТУРЫ УПРАВЛЕНИЯ (ОСУ) призваны оперативно отслеживать колебания рынка и принимать в зависимости от складывающихся ситуаций компетентные управленческие решения.

Поэтому становится понятным то внимание, которое уделяют субъекты рынка (транснациональные корпорации, промышленные предприятия, коммерческие банки, фирмы, организации, малые предприятия и т.п.) выбору эффективно функционирующих организационных структур управления (ОСУ).

Взамен широко распространенных в 90-х годах двадцатого столетия ОСУ предприятий (иерархических, матричных, дуальных, параллельных и др.) сегодня в мире эффективно используются АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ ФОРМЫ МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНЫХ СТРУКТУР, базирующихся на принципах самоорганизации, адаптации, автономности отдельных подразделений с мягкими связями между ними .

Подобной структурой обладает множество передовых зарубежных фирм, в составе которых насчитывается множество рабочих групп с сетевыми взаимоотношениями между ними. Популярными в последнее время считаются организации, ориентированные на минимизацию потребления ресурсов, имеющие явно выраженную горизонтальную форму с координацией, осуществляемой не по иерархическому признаку, а самими рабочими группами, организованными в сеть.

Альтернативными моделями, противостоящими моделям ОСУ, созданным на базе организационной логики и жесткого регулирования, являются нечеткие структуры без иерархических уровней и структурных подразделений , основанные на координации личной ответственности и профилировании самоуправляемых групп со следующими признаками:

а) наличием относительно независимых рабочих групп с участием представителей различных подразделений, создаваемых для решения определенных проектов и проблем, при широкой свободе действий и автономии в области координации задач и принятия решений;

б) ликвидацией жестких связей между подразделениями ОСУ с введением гибких взаимосвязей.

На аналогичных принципах базируется современная концепция минимизированного по ресурсам производства: на подобных предприятиях в качестве организационных единиц используют рабочие группы с широкими полномочиями и большими возможностями самоуправления с конечной целью, заключающейся в создании разумной гибкой организации труда, опирающейся на самостоятельно действующих исполнителей, а не на синтезированные специалистами рациональные структуры; сотрудниками оцениваются возникающие проблемы, определяются возможности контактов со специалистами внутри и за пределами системы. Самоуправляемый персонал основной упор делает на самоорганизацию, заменяющую собой привнесенную извне (задаваемую сверху) жесткую упорядоченную структуру.

Крайним случаем такого подхода является создание безорганизационной, постоянно «размороженной», структуры со следующими свойствами:

Широкое творческое обсуждение любых обрабатываемых процедур и поступающих извне сигналов без учета шаблонных решений и прошлого опыта;

Автономная работа членов групп с самостоятельной организацией временных взаимосвязей и производственных соглашений между партнерами по мере необходимости для решения возникающих проблем.

Заметим, что чрезмерное увлечение одной системной функцией — гибкостью, при полном игнорировании прочих функций — интеграции, идентификации, учета и контроля, всегда опасно для устойчиво функционирующих систем, так как трудно обеспечить успешную координацию в рамках данной организации без высокой квалификации сотрудников, их способности к обучению и совершенствованию, к установлению эффективных контактов и координации.При подобной форме организации основное внимание должно уделяться созданию условий для максимального использования интеллекта человеческих ресурсов и повышения их квалификации, выделению высококвалифицированных специалистов — системщиков, увязывающих действия членов организации для достижения конечной цели. При этом в сфере системной координации существует вероятность возможных срывов, конфликтов и негативных последствий, так как ориентация на способность персонала к самоорганизации и самокоординации носит слишком общий характер. Хотя высокая компетентность, инициатива и сила воли каждого работника и влияет на жизнеспособность любой децентрализованной организации, но в целом они не могут заменить регулирующей функции целой организационной структуры.

Сегодня в мире интенсивно развивается новое направление синтеза ОСУ как обучающихся систем, характеризующихся следующими характерными особенностями:

а) привлечением высококвалифицированных экспертов-специалистов к процессам восприятия и накопления информации, а также к обучению и расширению способностей персонала;

б) постоянным изменением в процессе функционирования, расширением своих способностей взаимодействия с окружающей деловой средой и быстрой адаптацией к постоянно меняющимся внешним и внутренним условиям;

в) широким распространением открытых компьютерных сетей, охватывающих не только отдельные организации, предприятия или их конгломераты, но и целые крупные регионы и даже совокупности стран (ЕЭС, СВИФТ и др.), что обусловливает новые возможности организации и повышения эффективности работы предприятий и отраслей в масштабах всей страны и даже всего мира.

Считается, что ОСУ должна создаваться на принципах многофункциональности и многоаспектности, позволяющих эффективно контролировать сложные рынки и распределять имеющиеся ресурсы. Из анализа мирового опыта функционирования ОСУ в условиях рынка применительно к российской экономике и ее субъектам хозяйствования можно выделить следующие рекомендации:

1) иерархическую ОСУ можно сохранять и применять с минимумом риска для предприятия, если высшее руководство фирмы способно выступать в качестве координаторов проблем, а их подчиненные — в качестве «маленьких предпринимателей»; при этом предпринимательская инициатива и ответственность перемещаются с верхних в нижние эшелоны фирменной власти при исполнении иерархами действительно координаторских функций;

2) матричную ОСУ можно сохранять, если в фирме отсутствует механическое дублирование служебных инстанций и существует органичная сетевая структура с оптимальной коммуникацией;

3) дуальную ОСУ следует применять при ясности и контролируемости как ключевых связей между основными и сопутствующими структурами, так и прозрачности функций самой системы сопутствующих вторичных структур, причем они должны быть многофункциональными и многоцелевыми (типа «учебных центров»), а не специализированными, ориентированными лишь на собственные потребности;

4) параллельную ОСУ следует применять при сформированной конструктивной конкурентной культуре, сотрудничестве партнеров на базе доверия, терпимости, готовности разрешать конфликты, а в острых ситуациях иметь нейтральную «третейскую» инстанцию.

При наличии средних предприятий, состоящих из слабо интегрированных функциональных подразделений, на вторичные структуры можно возложить решение интеграционных проблем, но эффект от реализации этого механизма получится при осознании руководством подразделений создания структурной надстройки как средства поддержки их собственной позиции, а не как угрозу для их существования.

Развитие на стыке кибернетики, вычислительных сетей, менеджмента и социальной психологии направления Groupware (США), связанного с электронными информационными системами, локальными диалоговыми сетями и средствами их поддержки, обеспечивает распределенную работу больших коллективов людей в режиме прямого доступа, позволяя хранить в машинной памяти огромный объем информации (любую деловую, производственно-техническую и прочую документацию, совещания, переговоры организации и даже обычные разговоры ее сотрудников, а также всю предысторию и опыт работы), используя ее при необходимости для корректировки структуры, функций, задач, стратегии и тактики управления в деятельности конкретной организации. Такой подход по-новому раскрывает понятие обучающейся организации, обеспечивает проведение аналогий между процессами, протекающими в живых и в диалоговых компьютерных системах.

Если обучение и память обусловливают выживание живых систем, то аналогично организационное обучение и память влияют на эффективность деятельности любой организации при изменении деловой внешней среды. Обучение, как живых, так и организационных систем обязательно ведет к структурным изменениям. Организационно правильно построенная компьютерная сеть может вызывать качественный сдвиг в улучшении корпоративной деятельности. Гибкость и широта функциональных возможностей рабочих групп, реализующих управление проектами при минимуме затрат на координацию их работы, обусловливают рост и качество исполнения крупных задач, стоящих перед фирмами, необходимость оптимизации функциональных подразделений и организационных структур в целом, изменения связей между функциональными единицами в зависимости от складывающихся ситуаций.

Качество реструктуризации в живых и организационных системах определяется совокупностью унаследованного и приобретенного поведения, эффективностью обучения и памяти, организации инфраструктур, обеспечивающих совершенствование взаимосвязей и диалогов между людьми. Повышение скорости обучения и эффективности памяти организации зависит от способа управления взаимоотношениями и диалогами между людьми. Сегодня коммуникации — это координация действий, а не передача информации. Организационные инфраструктуры должны расширять возможности формирования и поддержки диалогов между людьми независимо от их традиций, культуры и др. Пример тому организация и распространение сети Internet и ей подобных.

Учет специфики моделей разновидностей СМО в практической деятельности субъектов рынка позволяет:

Провести более глубокий анализ особенностей функционирования сложных систем, оценить их качество и эффективность с получением конкретных количественных оценок;

Вскрыть имеющиеся резервы и возможности по оптимизации протекающих процессов, экономии финансовых и прочих ресурсов, снижению рисков в условиях неопределенности деловой внешней и внутренней среды.

Рассмотрим эти вопросы подробнее.

2. СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО).

Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского уче-ного А. К. Эрланга (1878—1929), с его трудами в области проекти-рования и эксплуатации телефонных станций.

Теория массового обслуживания - область прикладной мате-матики, занимающаяся анализом процессов в системах произ-водства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и пере-дачи информации; автоматических линиях производства и др.

Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, А. Н. Колмогоров, Е. С. Вентцель и др.

Предметом теории массового обслуживания является установ-ление зависимостей между характером потока заявок, числом ка-налов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум сум-марных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ре-сурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

Задачи организации массового обслуживания возникают практически во всех сферах человеческой деятельности, напри-мер обслуживание продавцами покупателей в магазинах, обслу-живание посетителей на предприятиях общественного питания, обслуживание клиентов на предприятиях бытового обслужива-ния, обеспечение телефонных разговоров на телефонной стан-ции, оказание медицинской помощи больным в поликлинике и т.д. Во всех приведенных примерах возникает необходимость в удовлетворении запросов большого числа потребителей.

Перечисленные задачи можно успешно решать с помощью методов и моделей специально созданной для этих целей теории массового обслуживания (ТМО). В этой теории поясняется, что обслуживать необходимо кого-либо или что-либо, что определяется понятием «заявка (требование) на обслуживание», а опера-ции обслуживания выполняются кем-либо или чем-либо, назы-ваемыми каналами (узлами) обслуживания.

Заявки в силу массовости поступления на обслуживание об-разуют потоки, которые до выполнения операций обслужива-ния называются входящими, а после возможного ожидания начала обслуживания, т.е. простоя в очереди, образуют потоки об-служивания в каналах, а затем формируется выходящий поток заявок. В целом совокупность элементов входящего потока за-явок, очереди, каналов обслуживания и выходящего потока за-явок образует простейшую систему массового обслуживания — СМО.

Одним из параметров входного потока заявок является интенсивность входящего потока заявок λ ;

К параметрам каналов обслуживания заявок относятся: интенсивность обслуживания μ , число каналов обслуживания n .

Параметрами очереди являются: максимальное число мест в очереди L max ; дисциплина очереди D («первым пришел - первым ушел» (FIFO); «последним пришел - первым ушел» (LIFO); с приоритетами; случайный выбор из очереди).

Процедура обслуживания считается завершенной, когда заяв-ка на обслуживание покидает систему. Продолжительность ин-тервала времени, требуемого для реализации процедуры обслу-живания, зависит в основном от характера запроса заявки на об-служивание, состояния самой обслуживающей системы и канала обслуживания.

Действительно, например, продолжительность пребывания покупателя в супермаркете зависит, с одной стороны, от личностных качеств покупателя, его запросов, от ассортимента товаров, который он собирается приобрести, а с другой — от формы организации об-служивания и обслуживающего персонала, что может значитель-но повлиять на время пребывания покупателя в супермаркете и интенсивность обслуживания.

Под обслуживанием заявок мы будем понимать процесс удовле-творения потребности. Обслуживание имеет различный характер по своей природе. Однако во всех примерах поступившие заявки нуждаются в обслуживании со стороны какого-либо устройства.

В некоторых случаях обслуживание производится одним челове-ком (обслуживание покупателя одним продавцом), в некоторых — группой людей (обслуживание клиента в ресторане), а в некоторых случаях — техническими устройст-вами (продажа газированной воды, бутербродов автоматами).

Совокупность средств, которые осуществляют обслуживание за-явок, называется каналом обслуживания.

Если каналы обслуживания способны удовлетворить одина-ковые заявки, то каналы обслуживания называются однородны-ми.

Совокупность однородных каналов обслуживания называет-ся обслуживающей системой.

В систему массового обслуживания поступает большое коли-чество заявок в случайные моменты времени, длительность обслу-живания которых также является случайной величиной. Последо-вательное поступление заявок в систему обслуживания называет-ся входящим потоком заявок , а последовательность заявок, покидающих систему обслуживания, — выходящим потоком .

Если максимальная длина очереди L max = 0 , то СМО является системой без очередей.

Если L max = N 0 , где N 0 >0 - некоторое положительное число, то СМО является системой с ограниченной очередью.

Если L max → ∞, то СМО является системой с бесконечной очередью.

Случайный характер распределения длительности выполне-ния операций обслуживания, наряду со случайным характером поступления требований на обслуживание, приводит к тому, что в каналах обслуживания протекает случайный процесс, который может быть назван (по аналогии с входным потоком заявок) потоком обслуживания заявок или просто потоком обслуживания .

Заметим, что заявки, поступающие в систему обслуживания, могут покинуть ее и будучи не обслуженными. Например, если покупатель не найдет в магазине нужный товар, то он покидает магазин, будучи не обслуженным. Покупатель может покинуть магазин также, если нужный товар имеется, но большая очередь, а покупатель не располагает временем.

Теория массового обслуживания занимается изучением про-цессов, связанных с массовым обслуживанием, разработкой ме-тодов решения типичных задач массового обслуживания.

При исследовании эффективности работы системы обслужи-вания важную роль играют различные способы расположения в системе каналов обслуживания.

При параллельном расположении каналов обслуживания тре-бование может быть обслужено любым свободным каналом.

Примером такой системы обслуживания является расчетный узел в магазинах самообслуживания, где число каналов обслужи-вания совпадает с числом кассиров-контролеров.

На практике часто обслуживание одной заявки осуществля-ется последовательно несколькими каналами обслуживания .

При этом очередной канал обслуживания начинает работу по обслуживанию заявки после того, как предыдущий канал закончил свою работу. В таких системах процесс обслуживания носит многофазовый характер , обслуживание заявки одним каналом называется фазой обслуживания . Например, если в магазине са-мообслуживания имеются отделы с продавцами, то покупатели сначала обслуживаются продавцами, а потом уже кассирами-контролерами.

Организация системы обслуживания зависит от воли челове-ка. Под качеством функционирования системы в теории массо-вого обслуживания понимают не то, насколько хорошо выполне-но обслуживание, а то, насколько полно загружена система об-служивания, не простаивают ли каналы обслуживания, не образуется ли очередь .

Работу системы обслуживания характеризуют такие показате-ли, как время ожидания начала обслуживания, длина очереди, возможность получения отказа в обслуживании, возможность простоя каналов обслуживания, стоимость обслуживания и в ко-нечном итоге удовлетворение качеством обслуживания.

Чтобы улучшить качество функционирования системы об-служивания, необходимо определить, каким образом распреде-лить поступающие заявки между каналами обслуживания, какое количество каналов обслуживания необходимо иметь, как распо-ложить или сгруппировать каналы обслуживания или обслужива-ющие аппараты для улучшения показателей. Для решения перечисленных задач существует эффек-тивный метод моделирования, включающий и объединяющий достижения разных наук, в том числе математики.

Потоки событий.

Переходы СМО из одного состояния в другое происходят под воздействием вполне определенных событий — поступле-ния заявок и их обслуживания. Последовательность появления событий, следующих одно за другим в случайные моменты вре-мени, формирует так называемый поток событий .

Примерами таких потоков являются потоки различной природы — потоки товаров, денег, документов; транспортные потоки; потоки клиентов, покупателей; потоки телефонных звонков, переговоров и др. По-ведение системы обычно определяется не одним, а сразу не-сколькими потоками событий. Например, обслуживание поку-пателей в магазине определяется потоком покупателей и пото-ком обслуживания; в этих потоках случайными являются моменты появления покупателей, время ожидания в очереди и время, затрачиваемое на обслуживание каждого покупателя.

При этом основной характерной чертой потоков является веро-ятностное распределение времени между соседними события-ми. Существуют различные потоки, которые отличаются свои-ми характеристиками.

Поток событий называется регулярным , если в нем события следуют одно за другим через заранее заданные и строго опреде-ленные промежутки времени. Такой поток является идеальным и очень редко встречается на практике. Чаще встречаются нерегу-лярные потоки, не обладающие свойством регулярности.

Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания любого числа событий на промежуток времени зави-сит только от длины этого промежутка и не зависит от того, как далеко расположен этот промежуток от начала отсчета времени.

То есть стационарным называется поток , для которого математическое ожидание числа требований, поступающих в систему в единицу времени (обозначим λ), не меняется во времени. Таким образом, вероятность поступления в систему определен-ного количества требований в течение заданного промежутка времени?t зависит от его величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени.

Стационарность потока означает независимость от времени его вероятностных характеристик; в частности, интенсивность тако-го потока есть среднее число событий в единицу времени и оста-ется величиной постоянной. На практике обычно потоки могут считаться стационарными только на некотором ограниченном промежутке времени. Обычно поток покупателей, например, в магазине существенно меняется в течение рабочего дня. Однако можно выделить определенные временные интервалы, внутри которых этот поток допустимо рассматривать как стационарный, имеющий постоянную интенсивность.

Отсутствие последействия означает, что число требова-ний, поступивших в систему до момента t, не определяет того, сколько требований поступит в систему за промежуток вре-мени от t до t+?t.

Например, если на ткацком станке в данный момент произошел обрыв нити, и он устранен ткачихой, то это не оп-ределяет, произойдет новый обрыв на данном станке в следующий момент или нет, тем более это не влияет на веро-ятность возникновения обрыва на других станках.

Поток событий называется потоком без последствия , если число событий, попадающих на один из произвольно выбран-ных промежутков времени, не зависит от числа событий, попавших на другой, также произвольно выбранный промежуток, при условии, что эти промежутки не пересекаются между собой.

В потоке без последствия события появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток покупателей, входящих в магазин, можно считать потоком без последствия потому, что причины, обусловившие приход каждо-го из них, не связаны с аналогичными причинами для других по-купателей.

Поток событий называется ординарным , если вероятность по-падания на очень малый отрезок времени сразу двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попа-дания только одного события.

Другими словами, ординарность потока означает практическую невозмож-ность одновременного поступления двух и более требований. Например, достаточно малой является вероятность того, что из группы станков, обслуживаемых бригадой ремонтников, одновременно выйдут из строя сразу несколько станков. В ординарном потоке события происходят поодиночке, а не по два (или более) сразу.

Если поток одновременно обладает свойствами стационарнос-ти, ординарности и отсутствием последствия , то такой поток назы-вается простейшим (или пуассоновским) потоком событий .

Мате-матическое описание воздействия такого потока на системы ока-зывается наиболее простым. Поэтому, в частности, простейший поток играет среди других существующих потоков особую роль.

Методы и модели, применяющиеся в теории массового обслуживания (ТМО), можно условно разделить на АНАЛИТИЧЕСКИЕ и ИМИТАЦИОННЫЕ.

Аналитические методы теории массового обслуживания позволяют получить характеристики системы как некото-рые функции параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО.

Имитационные методы основаны на моделировании процес-сов массового обслуживания на ЭВМ и применяются, если невозможно применение аналитических моделей.

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения та-ких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность по-ступления за время t ровно k требований задается формулой:

Важная характеристика СМО — время обслуживания требований в системе.

Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следователь-но, может быть описано законом распределения.

Наибольшее распространение в теории и особенно в практических прило-жениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания . Функция распределения для этого закона имеет вид:

F(t) = 1 - e - μ t , (2)

т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосхо-дит некоторой величины t, определяется формулой (2), где μ — параметр экспоненциального закона распределения времени обслуживания требований в системе. То есть μ - это величина, обратная среднему времени обслуживания ? o6 . :

μ = 1/ ? o6 . (3)

Кроме понятия простейшего потока событий часто приходит-ся пользоваться понятиями потоков других типов.

Поток собы-тий называется потоком Пальма , когда в этом потоке промежутки времени между последовательными событиями T1, T2, ..., Тn являются независимыми, одинаково распределенными, слу-чайными величинами, но в отличие от простейшего потока необязательно распределенными по показательному закону.

Про-стейший поток является частным случаем потока Пальма.

Важным частным случаем потока Пальма является так назы-ваемый поток Эрланга . Этот поток получается «прореживанием» простейшего потока. Такое «прореживание» производится путем отбора по определенному правилу событий из простейшего пото-ка. Например, условившись учитывать только каждое второе со-бытие из образующих простейший поток, мы получим поток Эрланга второго порядка. Если брать только каждое третье событие, то образуется поток Эрланга третьего порядка и т.д. Можно полу-чить потоки Эрланга любого k-го порядка. Очевидно, простей-ший поток есть поток Эрланга первого порядка.

КЛАССИФИКАЦИЯ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

Любое исследование системы массового обслуживания (СМО) начи-нается с изучения того, что необходимо обслуживать, следова-тельно, с изучения входящего потока заявок и его характеристик.

1. В зависимости от условий ожидания начала обслуживания различают:

СМО с потерями (отказами),

СМО с ожиданием.

В СМО с отказами требования, поступающие в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получают отказ и теряются. Классическим примером системы с отказами явля-ется телефонная станция. Если вызываемый абонент занят, то требование на соединение с ним получает отказ и теряется.

В СМО с ожиданием требование, застав все обслуживаю-щие каналы занятыми, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из обслуживающих каналов.

СМО, допускающие очередь, но с ограниченным числом требований в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди .

СМО, допускающие очередь , но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются систе-мами с ограниченным временем ожидания.

2. По числу каналов обслуживания СМО делятся на

- одноканальные ;

- многоканальные .

3. По месту нахождения источника требований

СМО делятся на:

- разомкнутые , когда источник требования находится вне системы;

- замкнутые , когда источник находится в самой системе.

Примером разомкнутой системы может служить мастерская по обслуживанию и ремонту бытовой техники. Здесь неисправные устройства — это источник требований на их обслуживание, находятся вне самой системы, число требований можно считать неограни-ченным.

К замкнутым СМО относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, и, следовательно, источником требований на их обслу-живание , например, бригадой наладчиков.

Возможны и другие признаки классификации СМО, на-пример, по дисциплине обслуживания , однофазные и многофазные СМО и др.

3. МОДЕЛИ СМО. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СМО.

Рассмотрим аналитические модели наиболее распростра-ненных СМО с ожиданием, т.е. таких СМО, в которых требо-вания, поступившие в момент, когда все обслуживающие ка-налы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ СОСТОИТ В СЛЕДУЮЩЕМ.

Система имеет n обслуживающих каналов , каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование.

В систему поступает простейший (пуассоновский) поток требований с параметром λ .

Если в момент поступления оче-редного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.

Время обслуживания каждого требования t об. — случайная величина, которая подчиняется экспоненциальному за-кону распределения с параметром μ .

СМО С ОЖИДАНИЕМ МОЖНО РАЗБИТЬ НА ДВЕ БОЛЬШИЕ ГРУППЫ: ЗАМКНУТЫЕ И РАЗОМКНУТЫЕ.

К замкнутым относятся системы, в которых поступающий поток требований возникает в самой системе и ограничен .

Например, мастер, задачей кото-рого является наладка станков в цехе, должен периодически их обслуживать. Каждый налаженный станок становится потенциальным источником требований на накладку. В по-добных системах общее число циркулирующих требования конечно и чаще всего постоянно.

Если питающий источник обладает бесконечным числом требований , то системы называются разомкнутыми.

Приме-рами подобных систем могут служить магазины, кассы вокза-лов, портов и др. Для этих систем поступающий поток требо-ваний можно считать неограниченным.

Отмеченные особенности функционирования систем этих двух видов накладывают определенные условия на исполь-зуемый математический аппарат. Расчет характеристик работы СМО различного вида может быть проведен на основе расчета вероятностей состояний СМО (так называемые фор-мулы Эрланга ).

1. РАЗОМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ.

Рассмотрим алгоритмы расчета показателей качества функционирования разомкнутой СМО с ожиданием.

При изучении таких систем рассчитывают различные по-казатели эффективности обслуживающей системы. В каче-стве основных показателей могут быть вероятность того, что все каналы свободны или заняты, математическое ожидание длины очереди (средняя длина очереди), коэффициенты за-нятости и простоя каналов обслуживания и др.

Введем в рассмотрение параметр α = λ/μ . Заметим, что если выполняется неравенство α / n < 1, то очередь не может расти безгранично.

Это условие имеет следующий смысл: λ — среднее число требо-ваний, поступающих за единицу времени , 1/μ — среднее время обслуживания одним каналом одного требования, тогда α = λ (1/ μ) — среднее число каналов, которое необходимо иметь, чтобы обслуживать в единицу времени все поступаю-щие требования. Тогда μ - среднее число требований, обслуживаемых одним каналом за единицу времени.

Поэтому условие: α / n < 1, означает, что чис-ло обслуживающих каналов должно быть больше среднего числа каналов, необходимых для того, чтобы за единицу времени обслужить все поступившие требования .

ВАЖНЕЙ-ШИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАБОТЫ СМО (для разомкнутой системы массового обслуживания с ожиданием ):

1. Вероятность P 0 того, что все обслуживающие каналы сво-бодны:

2. Вероятность P k того, что занято ровно k обслуживающих каналов при условии, что общее число требований, находя-щихся на обслуживании, не превосходит числа обслуживающих аппаратов, то есть при 1 ≤ k ≤ n :

3. Вероятность P k того, что в системе находится k требований в случае, когда их число больше числа обслуживающих каналов, то есть при k > n :

4. Вероятность Pn того, что все обслуживающие каналы заняты:

5. Среднее время ожидания требованием начала обслу-живания в системе:

6. Средняя длина очереди:

7. Среднее число свободных от обслуживания каналов:

8. Коэффициент простоя каналов:

9. Среднее число занятых обслуживанием каналов:

10. Коэффициент загрузки каналов

Фирма по обслуживанию и ремонту бытовой техники и электроники имеет филиал: мастерскую по ремонту мобильных телефонов, в которой работает n = 5 опытных мастеров. В среднем в течение рабочего дня от населения поступает в ремонт λ =10 мобильных телефонов. Общее число мобильных телефонов, находящихся в эксплуатации у населения, очень велико, и они независимо друг от друга в различное время выходят из строя. Поэтому есть основания считать, что поток заявок на ремонт ап-паратуры является случайным, пуассоновским. В свою оче-редь каждый мобильный телефон в зависимости от характера неисправ-ности также требует различного случайного времени на ре-монт. Время на проведение ремонта зависит во многом от серьезности полученного повреждения, квалификации мас-тера и множества других причин. Пусть статистика показа-ла, что время ремонта подчиняется экспоненциальному за-кону; при этом в среднем в течение рабочего дня каждый из мастеров успевает отремонтировать μ = 2,5 мобильных телефона.

Требуется оценить работу филиала фирмы по ремонту -бытовой техники и электроники, рассчитав ряд основных характеристик данной СМО.

За единицу времени принимаем 1 рабочий день (7 часов).

1. Определим параметр

α = λ / μ = 10/ 2,5 = 4.

Так как α < n = 5, то можно сделать вывод: очередь не может расти безгранично.

2. Вероятность P 0 того, что все мастера свободны от ремонта аппаратуры, равна согласно (4):

P0 = (1 + 4 + 16/2 + 64/3! + 256/4! + 1024/5!(1- 4/5)) -1 = (77) -1 ≈ 0,013.

3. Вероятность P5 того, что все мастера заняты ремонтом, находим по формуле (7) (Pn при n=5):

P5 = P0 1024 /5! (1-4/5) = P0 256 /6 ≈ 0,554.

Это означает, что 55,4% времени мастера полностью за-гружены работой.

4. Среднее время обслуживания (ремонта) одного аппарата согласно формуле (3):

? o6. = 1/ μ = 7/2,5 = 2,8 ч./аппарат (важно: единица времени - 1 рабочий день, т. е. 7 часов).

5. В среднем время ожидания каждого неисправного мобильного телефона начала ремонта равно по формуле (8):

Ож. = Pn/(μ (n-α)) = 0,554 2,8/(5 - 4) =1,55 часа.

6. Очень важной характеристикой является средняя длина очереди, которая определяет необходимое место для хранения аппаратуры, требующей ремонта; находим ее по формуле (9):

Оч. = 4 P5/ (5-4) ≈ 2,2 моб. телефона.

7. Определим среднее число мастеров, свободных от ра-боты, по формуле (10):

Ñ0 = P0 (5 + 16 + 24+ 64/3 + 32/3) = P0 77 ≈ 1 мастер.

Таким образом, в среднем в течение рабочего дня ремонтом заняты четыре мастера из пяти.

2. ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

Перейдем к рассмотрению алгоритмов расчета характери-стик функционирования замкнутых СМО.

Поскольку система замкнутая, то к постановке задачи следует добавить условие: поток поступающих требований ограничен, т.е. в системе обслуживания одновременно не может находиться больше m требований (m — число обслуживаемых объектов).

За критерий, характеризующий качество функциониро-вания рассматриваемой системы, выберем отношение средней длины очереди к наибольшему числу требований, находя-щихся одновременно в обслуживающей системе — коэффици-ент простоя обслуживаемого объекта .

В качестве другого критерия возьмем отношение среднего числа незанятых об-служивающих каналов к их общему числу — коэффициент простоя обслуживаемого канала .

Первый из названных критериев характеризует потери времени из-за ожидания начала обслуживания ; второй по-казывает полноту загрузки обслуживающей системы .

Очевидно, что очередь может возникнуть, лишь когда число каналов обслуживания меньше наибольшего числа требований, нахо-дящихся одновременно в обслуживающей системе (n < m).

Приведем последовательность расчетов характеристик замкнутых СМО и необходимые формулы.

ПАРАМЕТРЫ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

1. Определим параметр α = λ / μ — показатель загрузки системы , то есть математическое ожидание числа требований, поступающих в систему за время, равное средней длитель-ности обслуживания (1/μ = ?o6.).

2. Вероятность P k того, что занято k обслуживающих каналов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих каналов системы (то есть при m ≤ n ) :

3. Вероятность P k того, что в системе находится k требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих каналов (то есть при k > n , при этом k ≤ m ):

4. Вероятность P 0 того, что все обслуживающие каналы сво-бодны, определим, используя очевидное условие:

Тогда величина P 0 будет равна:

5. Среднее число M оч. требований, ожидающих начала обслу-живания (средняя длина очереди):

Или с учетом формулы (15)

6. Коэффициент простоя обслуживаемого требования (объекта):

7. Среднее число M требований, находящихся в обслуживаю-щей системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:

где для вычислений первой и второй суммы применяются формулы (14) и (15) соответственно.

8. Среднее число свободных обслуживающих каналов

где P k вычисляется по формуле (14).

9. Коэффициент простоя обслуживающего канала

Рассмотрим пример расчета характеристик замкнутой СМО.

Рабочий обслуживает группу автоматов, состоя-щую из 3 станков. Поток поступающих требований на обслу-живание станков является пуассоновским с параметром λ = 2 ст./ч.

Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 12 минут, а время обслуживания подчинено экспоненци-альному закону.

Тогда 1/μ = 0,2 ч./ст., т.е. μ = 5 ст./ч., Параметр α = λ/μ = 0,4.

Необходимо определить среднее число автоматов, ожи-дающих обслуживания, коэффициент простоя автомата, ко-эффициент простоя рабочего.

Обслуживающим каналом здесь является рабочий; так как станки обслуживает один рабочий, то n = 1 . Общее число требований не может пре-взойти числа станков, т.е. m = 3 .

Система может находиться в четырех различных состоя-ниях: 1) все станки работают; 2) один стоит и обслуживается рабочим, а два работают; 3) два стоят, один обслуживается, один ждет обслуживания; 4) три стоят, из них один обслу-живается, а два ждут очереди.

Для ответа на поставленные вопросы можно воспользо-ваться формулами (14) и (15).

P1 = P0 6 0,4/2 = 1,2 P0;

P2 = P0 6 0,4 0,4 = 0,96 P0;

P3 = P0 6 0,4 0,4 0,4= 0,384 P0;

Сведем вычисления в таблицу (рис. 1).






∑P k /P 0 = 3,5440	∑ (k-n)P k = 0,4875	∑k P k = 1,2053

Рис. 1. Вычисление характеристик замкнутой СМО.

В этой таблице первым вычисляется третий столбец, т.е. отношения P k /P 0 при k = 0,1,2,3.

Затем, суммируя величины по третьему столбцу и учитывая, что ∑ P k = 1, получаем 1/P 0 = 3,544. Откуда Р 0 ≈ 0,2822.

Умножая значения, стоящие в третьем столбце, на Р 0 , получаем в соответствующих строках значения четвертого столбца.

Величина Р 0 = 0,2822, рав-ная вероятности того, что все автоматы работают, может быть истолкована как вероятность того, что рабочий свобо-ден. Получается, что в рассматриваемом случае рабочий будет свободен более 1/4 всего рабочего времени. Однако это не оз-начает, что «очередь» станков, ожидающих обслуживания, всегда будет отсутствовать. Математическое ожидание числа автоматов, стоящих в очереди, равно

Суммируя значения, стоящие в пятом столбце таблицы, получим среднюю длину очереди M оч. = 0,4875. Следова-тельно, в среднем из трех станков 0,49 станка будет про-стаивать в ожидании, пока освободится рабочий.

Суммируя значения, стоящие в шестом столбце таблицы, получим математическое ожи-дание числа простаивающих станков (ремонтируемых и ожидающих ремонта): М = 1,2053. То есть в среднем 1,2 станка не будет выдавать продукцию.

Ко-эффициент простоя станка равен К пр.об. = M оч. /3 = 0,1625. То есть каждый станок простаивает примерно 0,16 часть рабо-чего времени в ожидании, пока рабочий освободится.

Коэффициент простоя рабочего в данном случае совпадает с P 0 , так как n = 1 (все обслуживающие каналы свободны), поэтому

К пр.кан. = N 0 /n = 0,2822.

Абчук В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций. - СПб.: Союз, 1999. - 320.

Елтаренко Е.А. Исследование операций (системы массового обслуживания, теория игр, модели управления запасами). Учебное пособие. - М.: МИФИ, 2007. - С. 157.

Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой дея-тельности: Учебник. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Финан-сы и статистика, 2005. — 616 с: ил.

Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ- ДАНА, 2001. - 367 с.

Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 1999. - 391 с.

Рисунок 0 - 2 Потоки событий (а) и простейший поток (б)

10.5.2.1. Стационарность

Поток называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на элементарный участок времени длиной τ (

Рисунок 0-2 , а) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси t расположен этот участок.

Стационарность потока означает его однородность по времени; вероятностные характеристики такого потока не меняются в зависимости от времени. В частности, так называемая интенсивность (или «плотность») потока событий среднее число событий в единицу времени для стационарного потока должна оставаться постоянной. Это, разумеется, не значит, что фактическое число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно, поток может иметь местные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера, а среднее число событий, попадающих на единичный участок времени, остается постоянным для всего рассматриваемого периода.

На практике часто встречаются потоки событий, которые (по крайней мере, на ограниченном участке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, скажем, на интервале от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не будет стационарным (ночью интенсивность потока вызовов гораздо меньше, чем днем). Заметим, что так же обстоит дело и с большинством физических процессов, которые мы называем «стационарными» в действительности они стационарны только на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности лишь удобный прием, применяемый в целях упрощения.

10.5.2.2. Отсутствие последействия

Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой (или другие, если рассматривается больше двух участков).

В таких потоках события, образующие поток, появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия, потому что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в данный момент, а не в другой, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Если такая зависимость появляется, условие отсутствия последействия оказывается нарушенным.

Рассмотрим, например, поток грузовых поездов, идущих по железнодорожной ветке. Если по условиям безопасности они не могут следовать один за другим чаще, чем через интервал времени t 0 , то между событиями в потоке имеется зависимость, и условие отсутствия последействия нарушается. Однако, если интервал t 0 мал по сравнению со средним интервалом между поездами, то такое нарушение несущественно.

Рисунок 0 - 3 Распределение Пуассона

Рассмотрим на оси t простейший поток событий с интенсивностью λ. (Рисунок 0-2 б). Нас будет интересовать случайный интервал времени Т между соседними событиями в этом потоке; найдем его закон распределения. Сначала найдем функцию распределения:

F(t) = P(T (0-2)

т. е. вероятность того, что величина Т будет иметь значение, меньшее, чем t . Отложим от начала интервала Т (точки t 0 ) отрезок t и найдем вероятность того, что интервал Т будет меньше t . Для этого нужно, чтобы на участок длины t , примыкающий к точке t 0 , попало хотя бы одно событие потока. Вычислим вероятность этого F (t ) через вероятность противоположного события (на участок t не попадет ни одного события потока):

F (t ) = 1 - Р0

Вероятность Р 0 найдем по формуле (1), полагая m = 0:

откуда функция распределения величины Т будет:

(0-3)

Чтобы найти плотность распределения f (t ) случайной величины Т, необходимо продифференцировать выражение (0‑1) по t :

0-4)

Закон распределения с плотностью (0‑4) называется показательным (или экспоненциальным). Величина λ называется параметром показательного закона.

Рисунок 0 - 4 Экспоненциальное распределение

Найдем числовые характеристики случайной величины Т - математическое ожидание (среднее значение) M [ t ]= m t , и дисперсию D t . Имеем

( 0-5)

(интегрируя по частям) .

Дисперсия величины Т составляет:

(0-6)

Извлекая корень квадратный из дисперсии, найдем среднее квадратическое отклонение случайной величины Т.

Итак, для показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны друг другу и обратны параметру λ, где λ. интенсивность потока.

Т.о., появление m событий в заданный промежуток времени соответствует пуассоновскому распределению, а вероятность того, что временные интервалы между событиями будут меньше некоторого наперед заданного числа, соответствует экспоненциальному распределению. Все это лишь различные описания одного и того же стохастического процесса.

Пример СМО- 1 .

В качестве примера рассмотрим банковскую систему, работающую в реальном масштабе времени и обслуживающую большое число клиентов. В часы пик запросы от кассиров банка, работающих с клиентами, образуют пуассоновский поток и поступают в среднем по два в 1 с (λ = 2).Поток состоит из заявок, поступающих с интенсивностью 2 заявки в секунду.

Рассчитаем вероятность Р (m ) появления m сообщений в 1 с. Так как λ = 2, то из предыдущей формулы имеем

Подставляя m = 0, 1, 2, 3, получим следующие величины (с точностью до четырех десятичных знаков):

Рисунок 0 - 5 Пример простейшего потока

Возможно поступление и более 9 сообщений в 1 с, но вероятность этого очень мала (около 0,000046).

Полученное распределение может быть представлено в виде гистограммы (показана на рисунке).

Пример СМО- 2 .

Прибор (сервер), обрабатывающей три сообщения в 1с.

Пусть имеется оборудование, которое может обрабатывать три сообщения в 1 с (µ=3). Поступает всреднем два сообщения в 1с, причем в соответствии c распределением Пуассона. Какая часть этих сообщений будет обрабатываться сразу же после поступления?

Вероятность того, что скорость поступления будет меньше или равна 3 с, определяется выражением

Если система может обрабатывать максимум 3 сообщения в 1 с, то вероятность того, что она не будет перегружена, равна

Другими словами, 85,71% сообщений будут обслуживаться немедленно, а 14,29% с некоторой задержкой. Как видим, задержка в обработке одного сообщения на время, большее времени обработки 3 сообщений, будет встречаться редко. Время обработки 1сообщения составляет в среднем 1/3 с. Следовательно, задержка более 1с будет редким явлением, что вполне приемлемо для большинства систем.

Пример СМО- 3

· Если кассир банка занят в течение 80% своего рабочего времени, а остальное время он тратит на ожидание клиентов, то его можно рассматривать как устройство с коэффициентом использования 0,8.

· Если канал связи используется для передачи 8-битовых символов со скоростью 2400 бит/с, т. е. передается максимум 2400/8 символов в 1 с, и мы строим систему, в которой суммарный объем данных составляет 12000 символов, посылаемых от различных устройств через канал связи в минуту наибольшей нагрузки (включая синхронизацию, символы конца сообщений, управляющие и т. д.), то коэффициент использования оборудования канала связи в течение этой минуты равен

· Если механизм доступа к файлу в час наибольшей нагрузки осуществляет 9000 обращений к файлу, а время одного обращения равно в среднем 300 мс, то коэффициент использования оборудования механизма доступа в час наибольшей нагрузки составляет

Понятие коэффициента использования оборудования будет использоваться довольно часто. Чем ближе коэффициент использования оборудования к 100%, тем больше задержки и длиннее очереди.

Используя предыдущую формулу, можно составить таблицы значений функции Пуассона, по которым можно определить вероятность поступления m или более сообщений в данный отрезок времени. Например, если в среднем поступает 3,1 сообщения в секунду [т. е. λ = 3,1], то вероятность поступления 5 и более сообщений в данную секунду равна 0,2018 (для m = 5 в таблице). Или в аналитическом виде

Используя это выражение, специалист по системному анализу может рассчитать вероятность того, что система не обеспечит заданный критерий нагрузки.

Часто первоначальные расчеты могут быть проведены для значений загрузки оборудования

ρ ≤ 0,9

Эти значения можно получить с помощью таблиц Пуассона.

Пусть снова средняя скорость поступления сообщений λ = 3,1 сообщения/с. Из таблиц следует, что вероятность поступления 6 или более сообщений в 1 с равна 0,0943. Следовательно, это число можно взять в качестве критерия нагрузки для проведения начальных расчетов.

10.6.2. Задачи проектирования

При случайном характере поступления сообщений в устройство последнее затрачивает часть времени на обработку или обслуживание каждого сообщения, в результате чего образуются очереди. Очередь в банке ожидает освобождения кассира и его компьютера (терминала). Очередь сообщений во входном буфере ЭВМ ожидает обработки процессором. Очередь требований к массивам данных ждет освобождения каналов и т. д. Очереди могут образовываться во всех узких местах системы.

Чем больше коэффициент использования оборудования, тем длиннее возникающие очереди. Как будет показано ниже, можно спроектировать удовлетворительно работающую систему с коэффициентом использований ρ =0,7 но коэффициент, превышающий ρ > 0,9, может привести к ухудшению качества обслуживания. Другими словами, если канал пересылки массива данных имеет загрузку 20%, вряд ли на нем возникнет очередь. Если же загрузка; составляет 0,9, то, как правило, будут образовываться очереди, иногда очень большие.

Коэффициент использования оборудования равен отношению нагрузки на оборудование к максимальной нагрузке, которую может выдержать это оборудование, или равен отношению времени занятости оборудования к общему времени его функционирования.

При проектировании системы обычно делается оценка коэффициента использования для различных видов оборудования; соответствующие примеры будут приведены в последующих главах. Знание этих коэффициентов позволяет рассчитать очереди к соответствующему оборудованию.

· Какова длина очереди?

· Сколько времени на нее будет затрачиваться?

На вопросы подобного типа можно ответить с помощью теории очередей.

10.6.3. Системы массового обслуживания, их классы и основные характеристики

Для СМО потоки событий это потоки заявок, потоки «обслуживании» заявок и т. д. Если эти потоки не являются пуассоновскими (марковский процесс), математическое описание процессов, происходящих в СМО, становится несравненно более сложным и требует более громоздкого аппарата, доведение которого до аналитических формул удается только в простейших случаях.

Однако, аппарат «марковской» теории массового обслуживания может пригодиться и в том случае, когда процесс, протекающий в СМО, отличен от марковского с его помощью характеристики эффективности СМО могут быть оценены приближенно. Следует заметить, что чем сложнее СМО, чем больше в ней каналов обслуживания, тем точнее оказываются приближенные формулы, полученные с помощью марковской теории. Кроме того, в ряде случаев для принятия обоснованных решений по управлению работой СМО вовсе и не требуется точного знания всех ее характеристик зачастую достаточно приближенного, ориентировочного.

СМО классифицируются на системы с:

· отказами (с потерями). В таких системах заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, получает «отказ», покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

· ожиданием (с очередью). В таких системах заявка, поступившая в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из каналов. Когда канал освобождается, одна из заявок, стоящих в очереди, принимается к обслуживанию.

Обслуживание (дисциплина очереди) в системе с ожиданием может быть

· упорядоченным (заявки обслуживаются в порядке поступления),

· неупорядоченным (заявки обслуживаются в случайном порядке) или

· стековым (первой из очереди выбирается последняя заявка).

· Приоритетным

o со статическим приоритетом

o с динамическим приоритетом

(в последнем случае приоритет может, например, увеличиваться с длительностью ожидания заявки).

Системы с очередью делятся на системы

· с неограниченным ожиданием и

· с ограниченным ожиданием.

В системах с неограниченным ожиданием каждая заявка, поступившая в момент, когда нет свободных каналов, становится в очередь и «терпеливо» ждет освобождения канала, который примет ее к обслуживанию. Любая заявка, поступившая в СМО, рано или поздно будет обслужена.

В системах с ограниченным ожиданием на пребывание заявки в очереди накладываются те или другие ограничения. Эти ограничения могут касаться

· длины очереди (числа заявок, одновременно находящихся в очереди система с ограниченной длиной очереди),

· времени пребывания заявки в очереди (после какого-то срока пребывания в очереди заявка покидает очередь и уходит система с ограниченным временем ожидания),

· общего времени пребывания заявки в СМО

и т. д.

В зависимости от типа СМО при оценке ее эффективности могут применяться те или другие величины (показатели эффективности). Например, для СМО с отказами одной из важнейших характеристик ее продуктивности является так называемая абсолютная пропускная способность среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

Наряду с абсолютной часто рассматривается относительная пропускная способность СМО средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой (отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок).

Помимо абсолютной и относительной пропускной способностей при анализе СМО с отказами нас могут, в зависимости от задачи исследования, интересовать и другие характеристики, например:

· среднее число занятых каналов;

· среднее относительное время простоя системы в целом и отдельного канала

и т. д.

СМО с ожиданием имеют несколько другие характеристики. Очевидно, для СМО с неограниченным ожиданием как абсолютная, так и относительная пропускная способность теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой СМО важными характеристиками являются:

· среднее число заявок в очереди;

· среднее число заявок в системе (в очереди и под обслуживанием);

· среднее время ожидания заявки в очереди;

· среднее время пребывания заявки в системе (в очереди и под обслуживанием);

а также и другие характеристики ожидания.

Для СМО с ограниченным ожиданием интерес представляют обе группы характеристик: как абсолютная и относительная пропускная способности, так и характеристики ожидания.

Для анализа процесса, протекающего в СМО, существенно знать основные параметры системы: число каналов п, интенсивность потока заявок λ , производительность каждого канала (среднее число заявок μ, обслуживаемое каналом в единицу времени), условия образования очереди (ограничения, если они есть).

В зависимости от значений этих параметров выражаются характеристики эффективности работы СМО.

10.6.4. Формулы расчета характеристик СМО для случая обслуживания с одним прибором

Рисунок 0 - 6 Модель системы массового обслуживания с очередью

Такие очереди могут создаваться сообщениями на входе процессора, ожидающими начала обработки. Они могут возникать при работе абонентских пунктов, подключенных к многопунктовому каналу связи. Аналогично образуются очереди из автомобилей на заправочных станциях. Однако при наличии более одного входа на обслуживание мы имеем очередь со многими приборами и анализ усложняется.

Рассмотрим случай простейшего потока заявок на обслуживание.

Назначение излагаемой теории очередей состоит в приближенном определении среднего размера очереди, а также среднего времени, затрачиваемого сообщениями на ожидание в очередях. Желательно также оценить, насколько часто очередь превышает определенную длину. Эти сведения позволят нам вычислить, например, необходимый объем буферной памяти для хранения очередей сообщений и соответствующих программ, необходимое количество линий связи, необходимые размеры буферов для концентраторов и т. д. Появится возможность оценивать времена ответа.

Каждая из характеристик меняется в зависимости от используемых средств.

Рассмотрим очередь с одним прибором обслуживания. При проектировании вычислительной системы большинство очередей подобного типа рассчитывается по приведенным формулам. коэффициент вариации времени обслуживания

Формула Хинчина-Полачека используется для вычисления длин очередей при проектировании информационных систем. Она применяется в случае экспоненциального распределения времени поступления при любом распределении времени обслуживания и любой дисциплине управления, лишь бы выбор очередного сообщения для обслуживания не зависел от времени обслуживания.

При проектировании систем встречаются такие ситуации возникновения очередей, когда дисциплина управления несомненно зависит от времени обслуживания. Например, в некоторых случаях мы можем выбрать для первоочередного обслуживания более короткие сообщения, чтобы получить меньшее среднее время обслуживания. При управлении линией связи можно присвоить входным сообщениям более высокий приоритет, чем выходным, ибо первые короче. В таких случаях уже необходимо использовать не уравнение Хинчина

Большинство значений времени обслуживания в информационных системах лежит где-то между этими двумя случаями. Времена обслуживания, равные постоянной величине, встречаются редко. Даже время доступа к твердому диску непостоянно из-за различного положения массивов с данными на поверхности. Одним из примеров, иллюстрирующих случай постоянного времени обслуживания может служить занятие линии связи для передачи сообщений фиксированной длины.

С другой стороны, разброс времени обслуживания не так велик, как в случае произвольного или экспоненциального его распределения, т.е., σ s редко достигает значений t s . Этот случай иногда считают "наихудшим и потому пользуются формулами, относящимися к экспоненциальному распределению времен обслуживания. Такой расчет может дать несколько завышенные размеры очередей и времен ожидания в них, но эта ошибка, по крайней мере, не опасна.

Экспоненциальное распределение времен обслуживания, конечно, не наихудший случай, с которым приходится иметь дело в действительности. Однако, если времена обслуживания, полученные при расчете очередей, оказываются распределенными хуже, чем времена с экспоненциальным распределением, это часто является предостерегающим сигналом для разработчика. Если стандартное отклонение больше среднего значения, то обычно возникает необходимость в коррекции расчетов.

Рассмотрим следующий пример. Имеется шесть типов сообщений с временами обслуживания 15, 20, 25, 30, 35 и 300. Число сообщений каждого типа одинаково. Стандартное отклонение указанных времен несколько выше их среднего. Значение последнего времени обслуживания намного больше других. Это приведет к тому, что сообщения будут находиться в очереди значительно дольше, чем, если бы времена обслуживания были одного порядка. В таком случае при проектировании целесообразно принять меры для уменьшения длины очереди. Например, если указанные цифры связаны с длинами сообщений, то, возможно, очень длинные сообщения стоит разделить на части.

10.6.6. Пример расчета

При проектировании банковской системы желательно знать число клиентов, которым придется ожидать в очереди к одному кассиру в часы пик.

Время ответа системы и его стандартное отклонение рассчитаны с учетом времени ввода данных с АРМа, печатания и оформления документа.

Действия кассира были прохронометрированы. Время обслуживания ts равно общему времени, затрачиваемому кассиром на клиента. Коэффициент использования кассира ρ пропорционален времени его занятости. Если λ число клиентов в часы пик, то ρ для кассира равно

Предположим, что в часы пик приходит 30 клиентов в час. В среднем кассир тратит 1,5 мин на клиента. Тогда

ρ =(1,5 * 30) / 60 = 0,75

т. е. кассир используется на 75%.

Число людей в очереди можно быстро оценить с помощью графиков. Из них следует, что если ρ = 0,75, то среднее число nq людей в очереди у кассы лежит между 1,88 и 3,0 в зависимости от стандартного отклонения для t s .

Предположим, что измерение стандартного отклонения для t s дало величину 0,5 мин. Тогда

σ s = 0,33 t s

Из графика на первом рисунке находим, что nq = 2,0, т. е. в среднем у кассы буду ожидать два клиента.

Общее время, в течение которого клиент стоит у кассы, может быть найдено как

t ∑ = t q + t s = 2,5 мин + 1,5 мин=4мин

где t s вычисляется с помощью формулы Хинчина-Полачека.

10.6.7. Фактор усиления

Анализируя кривые, изображенные на рисунках, мы видим, что, когда оборудование, обслуживающее очередь, используется более чем на 80%, кривые начинают расти с угрожающей быстротой. Этот факт очень важен при проектировании систем передачи данных. Если мы проектируем систему, в которой оборудование используется более чем на 80%, то незначительное увеличение трафика может привести к резкому спаду производительности системы или даже заставить ее работать в аварийном режиме.

Увеличение входного трафика на небольшое число х%. приводит к увеличению размеров очереди приблизительно на

Если коэффициент использования оборудования равен 50%, то это увеличение равно 4ts % для экспоненциального закона распределения времени обслуживания. Но если коэффициент использования оборудования равен 90%, то увеличение размера очереди равно 100ts %, что в 25 раз больше. Незначительное увеличение нагрузки при 90%-ном использовании оборудования приводит к 25-кратному увеличению размеров очереди по сравнению со случаем 50%-ного использования оборудования.

Аналогично время пребывания в очереди увеличивается на

При экспоненциально распределенном времени обслуживания эта величина имеет значение 4 t s 2 для коэффициента использования оборудования, равного 50%, и 100 t s 2 для коэффициента 90%, т. е. снова в 25 раз хуже.

Кроме того, для малых коэффициентов использования оборудования влияние изменений σs на размер очереди незначительно. Однако для больших коэффициентов изменение σ s сильно сказывается на размере очереди. Поэтому при проектировании систем с высоким коэффициентом использования оборудования желательно получить точные сведения о параметре σ s . Неточность предположения относительно экспоненциальности распределения t s наиболее ощутима при больших значениях ρ. Более того, если вдруг время обслуживания возрастет, что возможно в каналах связи при передаче длинных сообщений, то в случае большого ρ образуется значительная очередь.

Ниже будут рассмотрены примеры простейших систем массового обслуживания (СМО). Понятие «простейшие» не означает «элементарные». Математические модели этих систем применимы и успешно используются в практических расчетах.

Одноканальная смо с отказами

Дано : система имеет один канал обслуживания, на который поступает простейший поток заявок с интенсивностью. Поток обслуживаний имеет интенсивность. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО и вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времени t, получит отказ.

Система при любом t > 0 может находиться в двух состояниях:S 0 – канал свободен;S 1 – канал занят. Переход изS 0 вS 1 связан с появлением заявки и немедленным началом ее обслуживания. Переход изS 1 вS 0 осуществляется, как только очередное обслуживание завершится (рис.4).

Рис.4. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Выходные характеристики (характеристики эффективности) этой и других СМО будут даваться без выводов и доказательств.

Абсолютная пропускная способность (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени):

где – интенсивность потока заявок (величина, обратная среднему промежутку времени между поступающими заявками -);

–интенсивность потока обслуживаний (величина, обратная среднему времени обслуживания )

Относительная пропускная способность (средняя доля заявок, обслуживаемых системой):

Вероятность отказа (вероятность того, что заявка покинет СМО необслуженной):

Очевидны следующие соотношения: и.

Пример . Технологическая система состоит из одного станка. На станок поступают заявки на изготовление деталей в среднем через 0,5 часа. Среднее время изготовления одной детали равно. Если при поступлении заявки на изготовление детали станок занят, то она (деталь) направляется на другой станок. Найти абсолютную и относительную пропускную способности системы и вероятность отказа по изготовлению детали.

Т.е. в среднем примерно 46 % деталей обрабатываются на этом станке.

Т.е. в среднем примерно 54 % деталей направляются на обработку на другие станки.

N – канальная смо с отказами (задача Эрланга)

Это одна из первых задач теории массового обслуживания. Она возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале 20 века датским математиком Эрлангом.

Дано : в системе имеетсяn – каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью. Поток обслуживаний имеет интенсивность. Заявка, заставшая систему занятой, сразу же покидает ее.

Найти : абсолютную и относительную пропускную способность СМО; вероятность того, что заявка, пришедшая в момент времениt , получит отказ; среднее число заявок, обслуживаемых одновременно (или, другими словам, среднее число занятых каналов).

Решение . Состояние системыS (СМО) нумеруется по максимальному числу заявок, находящихся в системе (оно совпадает с числом занятых каналов):

S 0 – в СМО нет ни одной заявки;

S 1 – в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны);

S 2 – в СМО находится две заявки (два канала заняты, остальные свободны);

S n – в СМО находитсяn – заявок (всеn – каналов заняты).

Граф состояний СМО представлен на рис. 5

Рис.5 Граф состояний для n – канальной СМО с отказами

Почему граф состояний размечен именно так? Из состояния S 0 в состояниеS 1 систему переводит поток заявок с интенсивностью(как только приходит заявка, система переходит изS 0 вS 1). Если система находилась в состоянииS 1 и пришла еще одна заявка, то она переходит в состояниеS 2 и т.д.

Почему такие интенсивности у нижних стрелок (дуг графа)? Пусть система находится в состоянии S 1 (работает один канал). Он производитобслуживаний в единицу времени. Поэтому дуга перехода из состоянияS 1 в состояниеS 0 нагружена интенсивностью. Пусть теперь система находится в состоянииS 2 (работают два канала). Чтобы ей перейти вS 1 , нужно, чтобы закончил обслуживание первый канал, либо второй. Суммарная интенсивность их потоков равнаи т.д.

Выходные характеристики (характеристики эффективности) данной СМО определяются следующим образом.

Абсолютная пропускная способность :

где n – количество каналов СМО;

–вероятность нахождения СМО в начальном состоянии, когда все каналы свободны (финальная вероятность нахождения СМО в состоянии S 0);

Рис.6. Граф состояний для схемы «гибели и размножения»

Для того, чтобы написать формулу для определения , рассмотрим рис.6

Граф, представленный на этом рисунке, называют еще графом состояний для схемы «гибели и размножения». Напишем сначала для общую формулу (без доказательства):

Кстати, остальные финальные вероятности состояний СМО запишутся следующим образом.

S 1 , когда один канал занят:

Вероятность того, что СМО находится в состоянии S 2 , т.е. когда два канала заняты: