Процесс пуассона. Распределение интервалов между событиями. Распределение событий в пуассоновском потоке

Информатика, кибернетика и программирование

Определение Пуассоновского потока. Пуассоновский поток это ординарный поток без последействия. Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский простейший поток. Он характеризуется набором вероятностей Pk поступления k сообщений за временной интервал t: где k=01 число сообщений; λ интенсивность потока.

1. Определение Пуассоновского потока. Свойства.

Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

Классической моделью трафика в информационных сетях является Пуассоновский (простейший) поток. Он характеризуется набором вероятностей P(k) поступления k сообщений за временной интервал t:

где k=0,1,… - число сообщений; λ - интенсивность потока.

Заметим, что интервал времени измерения количества сообщений t и интенсивность потока λ являются постоянными величинами.

Семейство Пуассоновских распределений P(k) в зависимости от λ изображено на рис.1. Большее значение λ соответствует более широкому и симметричному графику плотности вероятности.

Рис. 1. Пуассоновские распределения. Плотности вероятностей.

Математическое ожидание (среднее) и дисперсия Пуассоновского потока равны λ t .

Зная вероятность поступления данных за период, можно получить распределение интервала τ между соседними событиями:

Отсюда вывод: пуассоновский поток характеризуется экспоненциальным распределением интервалов между событиями.

Основным свойством пуассоновского потока , обусловливающим его широкое применение при моделировании, является аддитивность: результирующий поток суммы пуассоновских потоков тоже является пуассоновским с суммарной интенсивностью:

При моделировании Пуассоновский поток можно получить мультиплексированием совокупности ON/OFF источников, которые называются Марковскими процессами (рис.2.).

Рис. 2. Получение Пуассоновского распределения

2. СМО с отказами (классическая система Эрланга)

Здесь мы рассмотрим одну из первых по времени, «классических» задач теории массового обслуживания; эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в 1909 г. датским инженером-математиком А.К. Эрлангом. Задача ставится так: имеется n каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний каждого канала имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.

Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S 0 , S 1 ,…, S n , где S k состояние системы, когда в ней находится k заявок, т.е. занято k каналов.

Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения (рис. 3).

Рис. 3. Граф состояний СМО

Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ. Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S 2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние S 1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживаний будет 2μ . Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S 3 (три канала заняты) в S 2 , будет иметь интенсивность 3μ , т.е. может освободиться любой из трех каналов, и т.д.

В формуле (1) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния:

(1)

где члены разложения - коэффициенты при p 0 в выражениях для предельных вероятностей p 1 , p 2 ,..., p n .

Заметим, что в формулу (1) интенсивности λ и μ входят не по отдельности, а только в виде отношения μ/λ. Обозначим: μ/λ = p , и будем называть величину ρ приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулу (1) в виде:

(2)

При этом:

(3)

Формулы (2) и (3) для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все n каналов системы будут заняты, т.е.

Отсюда находим относительную пропускную способность вероятность того, что заявка будет обслужена:

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок λ на Q:

(4)

Осталось только найти среднее число занятых каналов k. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями 0,1,..., n и вероятностями этих значений p 0 , p 1 , …, p n :

Подставляя сюда выражения (3) для p k и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы формулу для k. Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность A системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов:

или, учитывая (4):

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43346.

Створення інформаційної бази даних служби продажу залізничних білетів

1.19 MB

Курсова робота з дисципліни Організація баз даних та знань на тему: Створення інформаційної бази даних служби продажу залізничних білетів Курсова робота студента 3 курсу групи КН48 Нестеренка М. Проектування інформаційної бази даних Створення реляційної моделі бази даних Створення бази даних

43347.

Технологии аппаратной виртуализации

64.5 KB

Аппаратная виртуализация - виртуализация с поддержкой специальной процессорной архитектуры. В отличие от программной виртуализации, с помощью данной техники возможно использование изолированных гостевых систем, управляемых гипервизором напрямую. Гостевая система не зависит от архитектуры хостовой платформы и реализации платформы виртуализации.

43349.

Публіцистика Уласа Самчука

108.5 KB

Деяка молодь не знає своєї історії і не може відповісти на питання Хто були їх предки. А коли все одно то це значить що все одно для нас хто є ми самі Це значить що ми не нарід не якась спільна історична збірна сила а невиразна юрба сіра маса вічно принижена без всяких ідеалів чернь4. Замкнутість людини лише у сільському просторі неминуче призведе до відчуження її від міста.

43351.

РЕСУРСИ КОМЕРЦІЙНОГО БАНКУ, ЇХ ФОРМУВАННЯ ТА МЕНЕДЖМЕНТ

195 KB

Ресурси комерційного банку їх склад та структура. Власний капітал комерційного банку та його формування. Залучений капітал комерційного банку та його характеристика.

43352.

Флористичні дані про медоносні рослини луків, які найбільш поширені на території України

210.5 KB

Загальна характеристика Шишацького району та Полтавської області Розділ 2.6 Інші рослини Висновки Література ВСТУП Об"єктом нашого дослідження є медоносні рослини які поширені в Шишацько му районіПолтавської областіїх значення у житті людини та характеристика. В Шищацькому районіПолтавської області нараховується велика кількість медоносних рослин. Загальна характеристика Шишацького...

43354.

РЕАЛІЗАЦІЯ ЗМІШАНОЇ КРИПТОСИСТЕМИ ПОПЕРЕДНЬОГО ШИФРУВАННЯ

544 KB

Цей пункт забезпечує разгортання системи конфіденційного звязку управління роботою системи конфіденційного звязку первісну генерацію та розповсюдження ключів управління персоналом. Для автентифікації відкритих ключів дозволяеться використовувати послуги регіонального центру сертифікації. Генерація сеансових ключів для ГОСТ 2814789 перешифрування в режими простої заміни алгоритма ГОСТ 2814789 послідовності що отримана відповідно до пункту 1.2 Розповсюдження ключів за допомогою асиметричних криптосистем , (a£x£b)

Применяя для моделирования метод обратной функции, получим алгоритм вычисления первого момента времени

где u получают от ДСЧ.

Окончательно имеем следующий алгоритм моделирования равномерного потока:

1) момент времени t 1 наступления первого события вычисляется по формуле

2) для последующих моментов времени производимы вычисления по формуле

t j =t j -1 + a + (b-a)u;

Величина u вырабатывается ДСЧ.

Поток Эрланга порядка k

Потоком Эрланга k-го порядка называют поток событий, получающегося "прореживанием" простейшего потока, когда сохраняется каждая k-я точка (событие) в потоке, а все промежуточные выбрасываются.

Интервал времени между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k-го порядка представляет собой сумму k независимых случайных величин Z 1 ,Z 2 ,...,Z k , имеющих показательное распределение с параметром λ:

Закон распределения случайной величины Z называется законом Эрланга k-го порядка и имеет плотность

, (x > 0).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Z соответственно равны:

M[Z]=k/ ; D[Z]=k/ 2 .

На основе определения потока Эрланга получается простой способ моделирования: прореживается пуассоновский поток с интенсивностью = /k, т.е. в пуассоновском потоке допускаем моменты времени с номерами 1,2,...,k-1, а k-й момент оставляем, т.к. он принадлежит новому потоку и т.д. Таким образом, моменты времени потока Эрланга вычисляются по формулам:

где - интенсивность потока Эрланга k-го порядка, u j - случайные числа от ДСЧ.

3. ОБЪЕКТЫ И СРЕДСТВА ИССЛЕДОВАНИЯ

Объектами исследования в лабораторной работе являются потоки событий, образованные слиянием нескольких потоков с известными характеристиками.

В процессе имитации потоков событий используются различные методы сортировки.

Одним из простых методов сортировки является метод пузырька (BUBBLE) который позволяет массив A, содержащий N элементов, расположить, например, в возрастающем порядке. Соответствующий алгоритм приведен на рис.4.1. Однако. Более эффективным методом для данного типа задач будет метод вставки.

процедура BUBBLE(A, N);

Цикл I=1,N1;

Если A(K) £ A(J) то идти к 20;

Если (K³1), то идти к 10;

Рис.4.1. Подпрограмма сортировки методом пузырька

В лабораторной работе могут быть использованы и другие более эффективные методы сортировки (например, адресная сортировка и т.п.).

4. ПОДГОТОВКА К РАБОТЕ

4.1. Ознакомиться с основными типами потоков событий.

4.2. Ознакомиться с методами моделирования пуассоновского, равномерного потока событий и потока Эрланга порядка k.

4.3. Ознакомиться с методами сортировки массивов чисел.

5. ПРОГРАММА РАБОТЫ

В некоторую систему массового обслуживания по различным каналам поступают заявки, образующие поток событий заданного типа. На входе системы потоки сливаются в один. Составить алгоритм и программу имитации результирующего потока, указанного в варианте.

Первые 100 моментов времени поступления заявок в результирующем потоке вывести на печать. По первым 1000 заявкам рассчитать оценку средней интенсивности потока. Найденную оценку сравнить с теоретическим значением интенсивности потока.

5.1. Поток образован слиянием трёх пуассоновских потоков событий с интенсивностями 1 , 2 , 3 (1/с) (табл.5.1.).

Таблица 5.1.

Вариант
1	2,5		1,5
2		0,5
3	0,5	0,5	0,5

5.2. Поток образован слиянием двух равномерных потоков с параметрами a 1 , b 1 и a 2 , b 2 (с) (табл. 5.2.).

Таблица 5.2.

Вариант
a 1	1,5
b 1	2,5		1,5
a 2		0,5
b 2

5.3. Поток образован слиянием пуассоновского потока с интенсивностью (1 /с) и равномерного потока с параметрами a и b (с) (табл.5 3.).

Таблица 5.3.

6. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1. Дать определение потока событий.

6.2. Как строится вероятностное описание потока событий.

6.3. В чём состоит способ моделирования стационарного потока с ограниченным последствием.

6.4. Охарактеризовать пуассоновский поток и способ его моделирования.

6.5. Охарактеризовать равномерный поток и способ его моделирования.

6.6. Дать характеристику потока Эрланга k-го порядка и метода его имитации.

6.7. Привести характеристики потока событий, исследованного в лабораторной работе.

Лабораторная работа 6

За эталон потока в моделировании принято брать пуассоновский поток .

Пуассоновский поток - это ординарный поток без последействия.

Как ранее было указано, вероятность того, что за интервал времени (t 0 , t 0 + τ ) произойдет m событий, определяется из закона Пуассона:

где a - параметр Пуассона.

Если λ (t ) = const(t ), то это стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t . Если λ = var(t ), то это нестационарный поток Пуассона .

Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:

Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0) события за время τ равна:

Рис. 28.2 иллюстрирует зависимость P 0 от времени. Очевидно, что чем больше время наблюдения, тем вероятность непоявления ни одного события меньше. Кроме того, чем более значение λ , тем круче идет график, то есть быстрее убывает вероятность. Это соответствует тому, что если интенсивность появления событий велика, то вероятность непоявления события быстро уменьшается со временем наблюдения.

Вероятность появления хотя бы одного события (P ХБ1С) вычисляется так:

так как P ХБ1С + P 0 = 1 (либо появится хотя бы одно событие, либо не появится ни одного, - другого не дано).

Из графика на рис. 28.3 видно, что вероятность появления хотя бы одного события стремится со временем к единице, то есть при соответствующем длительном наблюдении события таковое обязательно рано или поздно произойдет. Чем дольше мы наблюдаем за событием (чем более t ), тем больше вероятность того, что событие произойдет - график функции монотонно возрастает.

Чем больше интенсивность появления события (чем больше λ ), тем быстрее наступает это событие, и тем быстрее функция стремится к единице. На графике параметр λ представлен крутизной линии (наклон касательной).

Если увеличивать λ , то при наблюдении за событием в течение одного и того же времени τ , вероятность наступления события возрастает (см. рис. 28.4 ). Очевидно, что график исходит из 0, так как если время наблюдения бесконечно мало, то вероятность того, что событие произойдет за это время, ничтожна. И наоборот, если время наблюдения бесконечно велико, то событие обязательно произойдет хотя бы один раз, значит, график стремится к значению вероятности равной 1.

Изучая закон, можно определить, что: m x = 1/λ , σ = 1/λ , то есть для простейшего потока m x = σ . Равенство математического ожидания среднеквадратичному отклонению означает, что данный поток - поток без последействия. Дисперсия (точнее, среднеквадратичное отклонение) такого потока велика. Физически это означает, что время появления события (расстояние между событиями) плохо предсказуемо, случайно, находится в интервале m x – σ < τ j < m x + σ . Хотя ясно, что в среднем оно примерно равно: τ j = m x = T н /N . Событие может появиться в любой момент времени, но в пределах разброса этого момента τ j относительно m x на [–σ ; +σ ] (величину последействия). На рис. 28.5 показаны возможные положения события 2 относительно оси времени при заданном σ . В данном случае говорят, что первое событие не влияет на второе, второе на третье и так далее, то есть последействие отсутствует.

По смыслу P равно r (см. лекцию 23. Моделирование случайного события. Моделирование полной группы несовместных событий), поэтому, выражая τ из формулы (*) , окончательно для определения интервалов между двумя случайными событиями имеем:

τ = –1/λ · Ln(r ) ,

где r - равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число, которое берут из ГСЧ, τ - интервал между случайными событиями (случайная величина τ j ).

Пример 1 . Рассмотрим поток изделий, приходящих на технологическую операцию. Изделия приходят случайным образом - в среднем восемь штук за сутки (интенсивность потока λ = 8/24 [ед/час]). Необходимо промоделировать этот процесс в течение T н = 100 часов. m = 1/λ = 24/8 = 3, то есть в среднем одна деталь за три часа. Заметим, что σ = 3. На рис. 28.6 представлен алгоритм, генерирующий поток случайных событий.

На рис. 28.7 показан результат работы алгоритма - моменты времени, когда детали приходили на операцию. Как видно, всего за период T н = 100 производственный узел обработал N = 33 изделия. Если запустить алгоритм снова, то N может оказаться равным, например, 34, 35 или 32. Но в среднем, за K прогонов алгоритма N будет равно 33.33… Если посчитать расстояния между событиями t сi и моментами времени, определяемыми как 3 · i , то в среднем величина будет равна σ = 3.