Cтраница 1
Опорный план, отвечающий рассматриваемому базису, оптимален, если все AV неотрицательны.
Опорный план будет невырожденным, если он содержит т положительных компонент, в противном случае опорный план называется вырожденным.
Опорный план территории поселения - картографическое отображение фактически сложившейся градостроительной и экологической ситуаций на территории поселения.
Получив первый опорный план, следует проверить его оптимальность и, если требуется, перейти к новому опорному плану с лучшим значением целевой функции Z. Для этого применяют метод потенциалов.
Пусть теперь первый опорный план найден. Существует ряд методов проверки координат вершины на оптимальность.
Находят опорный план расширенной задачи.
Базисом опорного плана будем называть произвольную линейно независимую систему из т столбцов матрицы А, включающую в себя все столбцы, соответствующие ненулевым координатам опорного плана.
Базисом опорного плана называется произвольная линейно независимая система из т столбцов матрицы А, включающая в себя все столбцы, соответствующие ненулевым координатам опорного плана.
По данному опорному плану каждому пункту (производителю или потребителю) сопоставляется число, наз. Предварит, потенциалы определяются из условия: разность предварит, потенциалов нары пунктов (производитель, потребитель) равна стоимости перевозки (СП) единицы продукта между этими пунктами, если связывающая их коммуникация является основной. Далее, для каждой пары пунктов (производитель и потребитель) вычисляется относит, стоимость перевозки единицы продукта, равная разности предварит, потенциалов этих пунктов. Если относит, стоимость перевозки не превосходит СП для любой пары пунктов, то имеющийся план оптимален, а предварит, потенциалы являются потенциалами задачи. Соединим / - и пункт-производитель с i - м пунктом-потребителем обходным маршрутом, составленным из осн.
По данному опорному плану каждому пункту (производителю или потребителю) сопоставляется число, паз. Предварит, потенциалы определяются из условия: разность предварит, потенциалов нары пунктов (производитель, потребитель) равна стоимости перевозки (СП) единицы продукта между этими пунктами, если связывающая их коммуникация является основной. Далее, для каждой пары пунктов (производитель и потребитель) вычисляется относит, стоимость перевозки единицы продукта, равная разности предварит, потенциалов этих пунктов. СП для любой пары пунктов, то имеющийся план оптимален, а предварит, потенциалы являются потенциалами задачи. Пусть это условие не выполняется для нек-рых пар пунктов, одна из к-рых содержит пункты с номерами / и i. Соединим / - и пункт-производитель с i - м пунктом-потребителем обходным маршрутом, составленным из оси.
С новым опорным планом повторяется та же процедура, что и с предыдущим. Один из этих случаев обязательно наступит через конечное число шагов.
Когда в опорный план вводится новая переменная, то для сохранения его базпсности из него должна быть исключена одна из базисных неременных. Таким образом, на каждой итерации симплексного метода новая дуга вводится в план, а одна из базисных дуг исключается. После изменения плана он проверяется на соблюдение условий оптимальности с помощью расчетов, равноценных проверке выполнения всех неравенств (2) при текущих значениях двойственных неременных.
Благодаря использованию для плановых расчетов ЭВМ, повышающих возможности предприятий по проведению расчетов, рассчитывают и представляют в министерство несколько вариантов проекта плана (опорных планов), различающихся по количеству выработанной продукции, используемых ресурсов, капитальных вложений и др. Это повышает уровень плановой работы в целом, так как гарантирует выбор оптимального варианта, рассмотрение всех имеющихся возможностей.
При использовании для плановых расчетов ЭВМ, повышающих возможности предприятий по проведению расчетов, рассчитывают и представляют в министерство несколько вариантов проекта плана (опорных планов), различающихся по количеству
Для обеспечения приемлемой точности аппроксимации опорные планы Ajl должны быть линейно независимыми и число их должно быть не меньше размерности векторах.
В рассматриваемом примере т + п - 1 = 6, число базисных клеток равно 5 добычи нефти в первом районе на е, приняв их равными 30 + е, а в третьей строке 15 - е (для сохранения баланса). Построенный с учетом этого метода северо-западного угла опорный план представлен в табл. 47.
Указанные зависимости подставляются в билинейную форму F, находится точка минимума т№ Соответствующие этому значению переменные составляют промежуточный план , предшествующий k-й итерации. Для построения опорного плана й-й итерации необходимо зафиксировать переменные. уцг, приняв их равными значениям, полученным при вычислении промежуточного плана . При этом квадратичные члены формы F будут оставаться неизменными. Тогда нетрудно вычислить оптимальный план следующей линейной транспортной задачи
Перейдем к изложению схемы решения г-задачи. Пусть известны векторы базиса некоторого опорного плана г-задачи. Обозначим через Л вектор относительных оценок условий г-задачи.
Разобьем матрицы А, X и С на подматрицы (клетки) в соответствии с принятым базисным решением - исходным (или опорным) планом.
В нашей задаче число ненулевых перевозок в опорном плане равно
В общем случае если имеется т поставщиков и п потребителей, то количество ненулевых перевозок в опорном плане будет
Если, например, т = 10, а п = 20, то количество переменных будет 200, а количество ненулевых переменных в опорном плане - только 29.
Для начала необходимо просто написать какой-нибудь опорный план. Это легко сделать с помощью так называемого метода "северо-западного угла".
В результате такой методики заполнения таблицы перевозок мы удовлетворили требования всех поставщиков и потребителей (т.е. все ограничения задачи). При этом видно, что из шести клеток таблицы перевозок мы заполнили четыре. Две клетки остались пустыми. Таким образом, мы получили опорный план.
Сбалансированность и специальная структура ограничений транспортной задачи обусловливают важное свойство оптимального плана перевозок его следует искать только среди множества опорных планов. Опорным называется такой план, в котором количество ненулевых перевозок равно сумме количеств поставщиков и потребителей минус единица. В связи с этим алгоритм решения транспортной задачи разбивается на две стадии
Что называется опорным планом перевозок Чем он отличается от других допустимых планов
Метод формирования опорного плана транспортной задачи.
Понятие М. используется в геометрической интерпретации задач линейного программирования множество допустимых решений задачи является выпуклым М., базисное решение или опорный план - одной из его вершин. (См. Вершина допустимого многогранника).
Допустим, что имеется L предприятий, каждое из которых имеет R опорных планов выпуска. Производственные возможности 1-го предприятия в аппроксимационной модели описываются выпуклым многогранником , заданным следующей системой ограничений
Каждому опорному плану z-задачи (можно привести в соответствие лгл-задачу, в которбй требуется вычислить минимум линейной формы
Предположим, что каноническая задача ЛП имеет не совсем специальный вид, а к примеру, правые части уравнений системы ограничений могут быть отрицательны.
Этот случай возникает при решении задачи о рационе . Канонический вид задачи выглядит так:
F = 20х 1 + 20х 2 + 10х 3 → min.
Запишем задачу в симплекс-таблицу (табл. 1).
Таблица 1
Базисное решение, соответствующее базису {x 4 , x 5 , x 6 } и равное (0; 0; 0; -33; 23; -12), не является допустимым ввиду отрицательности х
4 < 0, x
5 < 0, x
6 < 0.
Сформулируем правило нахождения допустимого опорного плана
.
Если в столбце свободных членов есть отрицательные элементы, выберите из них наибольший по модулю, а в его строке - любой отрицательный. Взяв этот элемент в качестве разрешающего пересчитайте таблицу по прежним правилам 2-5 .
Если в полученной таблице все элементы столбца свободных членов стали положительны либо 0, то данное базисное решение можно взять в качестве первоначального опорного плана. . Если в столбце свободных членов не все элементы неотрицательны, то еще раз воспользоваться этим правилом.
Проведем этот шаг для задачи о рационе. В качестве разрешающей строки табл. 1 нужно выбрать первую. А разрешающим элементом выберем, к примеру, элемент -4.
Таблица 2
|
базисные |
свободные |
|||
Таблица 2
|
базисные |
свободные |
|||
F = 20х 1 + 20х 2 + 10х 3 = 20 · 7 + 0 + 10· = 140 + 25 = 165.
В этой задаче не пришлось улучшать найденный первоначальный опорный план, т.к. он оказался оптимальным. Иначе, мы должны были вернуться к III этапу.
Решение задачи о плане симплекс-методом
Задача. Предприятие располагает тремя видами сырья и намеревается выпускать четыре вида продукции. Коэффициенты в таблице 3.12 указывают затраты соответствующего вида сырья на единицу определенного вида продукции, а также прибыль от реализации единицы продукции и общие запасы ресурсов. Задача: найти оптимальный план производства продукции, при котором будет обеспечена максимальная прибыль.Таблица 3
Составим математическую модель. Пусть х 1 , х 2 , х 3 , х 4 - количество продукции I, II, III, IV вида соответственно в плане. Тогда количество используемого сырья и его запасы выразятся в неравенствах:
F = 3x 1 + 5x 2 + 4x 3 + 5x 4 → max.
Целевая функция выражает собой общую суммарную прибыль, полученную от реализации всей плановой продукции, а каждое из неравенств выражает затраты определенного вида продукции. Понятно, что затраты не должны превышать запасов сырья.
Приведем задачу к канонической форме и к специальному виду, введя дополнительные переменные х 5 , х 6 , х 7 в каждое из неравенств.
Очевидно, что, если первого ресурса необходимо для производства плановой продукции 5х
1 + 0,4х
2 + 2х
3 + 0,5х
4 , то х
5 обозначает просто излишки первого ресурса как разность между имеющимся запасом и требуемым для производства. Аналогично х
6 и х
7 . Итак, дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.
Запишем задачу в таблицу 4, предварительно выписав ее каноническую форму:
I этап . Это задача специального вида, базис составляют переменные { х 5 , х 6 , х 7 }, правые части уравнений неотрицательны, план х = (0, 0, 0, 0, 400, 300, 100) - опорный. Он соответствует симплекс-таблице.
Таблица 4
|
базисные |
свободные |
||||
II этап . Проверим план на оптимальность. Так как в индексной F -строке есть отрицательные элементы, то план неоптимален, переходим к III этапу.
III этап
. Улучшение опорного плана. Выберем в качестве разрешающего столбца четвертый, но могли бы выбрать и второй, т.к. в обоих (-5). Остановившись на четвертом, выберем в качестве разрешающего элемента 1, т.к. именно на нем достигается минимум соотношений 
. С разрешающим элементом 1 проводим преобразование таблицы по правилам 2-5 (табл. 5).
Таблица 5
Полученный план опять неоптимален, т.к. в F -строке есть отрицательный элемент -5 . этот столбец разрешающий.
В качестве разрешающего элемента выбираем 5, т.к. 
.
Пересчитываем еще раз таблицу. Заметим, что пересчет удобно начинать с индексной строки, т.к. если в ней все элементы неотрицательны, то план оптимален, и чтобы его выписать, достаточно пересчитать столбец свободных членов, нет необходимости вычислять "внутренность" таблицы (табл. 6).
Таблица 6
|
базисные |
свободные |
||||
IV этап . Базисные переменные {x 5 , x 2 , x 4 } принимают значения из столбца свободных членов, а свободные переменные равны 0. Итак, оптимальный план х * = (0, 40, 0, 100, 334, 0, 0) и F * = 700. Действительно, F = 3х 1 + 4х 3 + 5х 2 + 5х 4 = 5 · 40 + 5 · 100 = 700. Т. е. для получения максимальной прибыли в 700 руб. предприятие должно выпускать изделия II вида в количестве 40 штук, IV - вида в количестве 100 штук, изделия I и III вида производить невыгодно. При этом сырье второго и третьего вида будет израсходовано полностью, а сырья первого вида останется 334 единицы (х 5 = 334, х 6 = 0, х 7 = 0).
Наибольшее распространение для нахождения начальных опорных планов получили:
Метод северо- западного угла и
Метод минимального элемента.
Метод северо-западного угла используют для нахождения произвольного опорного плана ТЗ. Основную идею метода рассмотрим на конкретном примере.
Пример 1. Условия ТЗ заданы транспортной таблицей (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Требуется найти опорное решение (построить опорный план).
Решение. Будем заполнять таблицу 3.1 перевозками постепенно, начиная с левой верхней ячейки(1.1) (северо-западного угла).Будем рассуждать при этом следующим образом.
Пункт В 1 подал заявку на 18 единиц товара. Удовлетворим эту заявку за счет запаса 48, имеющегося в пункте А 1 , и запишем перевозку 18 в клетке (1.1). После этого заявка пункта В 1 удовлетворена, а в пункте А 1 осталось еще 30 единиц товара. Удовлетворим за счет них заявку пункта В 2 (27 единиц), запишем 27 единиц в клетке (1,2); оставшиеся 3 единицы пункта А 1 назначим пункту В 3 . В составе заявке пункта В 3 остались неудовлетворенными 39 единиц. Из них 30 покроем за счет пункта А 2 , чем его запас будет исчерпан, и еще 9 возьмем из пункта А 3 . Из оставшихся 18 единиц пункта А 3 12 выделим пункту В 4 ; оставшиеся 6 единиц назначим пункту В 5 , что вместе со всеми 20 единицами пункта А 4 покроет его заявку (табл. 3.2).
Таблица 3.2
| |
На этом распределение запасов закончено. Каждый пункт назначения получил согласно своей заявке. Это выражается в том, что сумма перевозок в каждой строке равна запасу, а в столбце – заявку.
Таким образом, нами составлен план перевозок, удовлетворяющий балансовым условиям. Полученное решение является не только допустимым, но и опорным решением ТЗ.
Клетки таблицы, в которых стоят ненулевые перевозки, являются базисными, их число удовлетворяет условию r = n + m – 1 = 8. Остальные клетки -- свободные, в них стоят нулевые перевозки, их число равно (n – 1)(m – 1) = 12.Значит, составленный план -- опорный и поставленная задача построения опорного плана решена.
Но является ли этот план оптимальным? Нет, так как при его совершенно не учитывались стоимости перевозок с i j . И даже, если мы стоимость этого плана перевозок
18 10 + 27 8 + 3 5 + 30 8 + 9 10 + 12 8 + 6 7 + 20 8 = 1039
гарантировать, что этот план оптимальный еще нельзя. Ниже мы рассмотрим способы улучшения
плана с целью получения оптимального.
Пример 2. Особенности построения «вырожденного плана»
План, в котором некоторые из базисных перевозок оказываются равными нулю, называют «вырожденным»
Дана транспортная таблица (табл.3.3) Построить опорный план.
Решение. Применяя метод северо-западного угла, получим таблицу 3.3.
Опорный план составлен. Особенностью его является то, что в нем только шесть, а не восемь отличных от нуля перевозок. Значит, некоторые из базисных перевозок, которых должно быть
быть m + n -- 1 = 8, оказались равными нулю.
Отчего это произошло? При распределении запасов по пунктам назначения
в некоторых случаях остатки оказывались равными нулю и в соответствующую клетку не попадали.
Такие случаи «вырождения « могут возникать не только при составлении опорного плана, но и при его преобразовании, оптимизации.
В дальнейшем нам удобно будет всегда в транспортной таблице m + n -- 1 базисных клеток, хотя в некоторых из них, может быть, будут стоять и нулевые значения перевозок. Для этого можно ничтожно мало изменить запасы или
Таблица 3,3
Таблица 3.4
Таблица 3.5
заявки, так чтобы общий баланс не нарушился, а лишние «промежуточные» балансы уничтожались. Достаточно в нужных местах изменить запасы или заявки, например, на величину ε , а после нахождения оптимального решения положить ε = 0.
Как перейти от вырожденного плана к невырожденному можно понять на примере таблиц 3.4 и 3.5. Изменим слегка запасы в первой строке и положим их равными 20 + ε . Кроме того, в третьей строке проставим запасы 25 + ε. Чтобы «свести баланс» , в четвертой строке ставим запасы 20 -- 2 ε (табл. 3,5). Для этой таблицы строим опорный план методом северо-западного угла.
В табл. 3,5 уже содержится столько базисных переменных, сколько требуется:
m + n -- 1 = 8. В дальнейшем после оптимизации плана, можно будет положить
Метод минимального элемента позволяет построить начальный опорный план
транспортной задачи и является вариантом метода северо-западного угла, учитывающего специфику матрицы С = c i j . В отличие от метода северо-западного угла данный метод позволяет сразу получит достаточно экономичный план, сокращая количество итераций.
Смысл метода заключается в том, что элементы матрицы С нумеруют, начиная от минимального в порядке их возрастания, затем в этом же порядке заполняют матрицу Х. Другими словами сначала удовлетворяют заявки, используя самые дешевые перевозки, а затем по мере возрастания их стоимости.
