Основными параметрами сетевых моделей являются планируемые стоимостные и временные показатели выполнения как отдельных процессов, так и всего комплекса работ. Каждая предусмотренная в сетевом графике работа требует на свое осуществление определенных затрат рабочего времени, материальных, трудовых, финансовых и других производственных ресурсов. Временны"е и стоимостные характеристики сетевых моделей являются важнейшими обобщающими показателями расходования экономических ресурсов, необходимых для выполнения всего комплекса работ или процессов. Для многих сетевых систем стратегического планирования и управления производственной деятельностью на предприятии необходимы прежде всего данные о потребности конкретных ресурсов в натуральном выражении. Все применяемые в сетевом планировании ресурсы принято подразделять на два вида - складируемые и нескладируемые.
К складируемым , или невозобновляемым , производственным ресурсам относятся сырье: материалы, полуфабрикаты, готовые товары, топливо и другие оборотные средства. К ним могут быть отнесены также и денежные или стоимостные ресурсы, а поэтому стоимость можно рассматривать как один из видов складиру емых ресурсов. Однако в сетевом планировании большим предпочтением пользуются такие модели, в которых стоимость выступает как общая экономическая характеристика комплекса выполняемых работ. Складируемые ресурсы расходуются непосредственно в процессе выполнения планируемых в сетевых графиках работ и не допускают повторного использования. Такие ресурсы, не будучи своевременно использованы, могут найти применение в дальнейших работах. Обычно предполагается, что количество или стоимость неиспользуемых складских ресурсов остаются неизменными, хотя при долгосрочном моделировании следует учитывать снижение не только количественных, но и качественных показателей ресурсов.
К нескладируемым , или возобновляемым , ресурсам относятся рабочая сила, средства производства, рабочий инструмент, производственная площадь и другие основные фонды. Т акие ресурсы в процессе работы должны эффективно использоваться. При долгосрочном моделировании следует также учитывать изменение первоначальной стоимости нескладируемых ресурсов, например, снижение производительности технологического оборудования, рост профессиональной квалификации персонала и т.п. В краткосрочных сетевых моделях потребность в нескладируемых ресурсах на выполнение запланированных технологических процессов или работ обычно принимается постоянной.
Планирование потребности различных ресурсов в сетевых моделях сводится в основном к разработке календарного плана поставки ресурсов, необходимых для выполнения предусмотренных комплексов работ. Всякий календарный план, соответствующий у словиям сетевой модели и ресурсным ограничениям, является допу стимым. Наилучший по выбранному критерию сравнения допустимый план можно считать оптимальным. В зависимости от выбранного критерия оптимальности и имеющихся ограничений ресурсов задачи их рационального распределения можно свести к минимизации отклонения от заданных сетевой моделью сроков выполнения проектных работ при соблюдении существующих ограничений по использованию производственных ресурсов.
Следовательно, к основным планируемым параметрам в сетевых моделях относятся такие временные показатели, как: продолжительность выполнения работ, критический путь, резервы времени свершения событий и др. Важнейшим параметром любого сетевого графика является критический путь. Путем в сетевом графике называется всякая последовательность работ (стрелок), связывающая между собой несколько событий. Путь, соединяющий исходное и завершающее событие сети, считается полным , а все другие - неполными. Каждый путь характеризуется своей продолжительностью, которая равняется сумме длительностей составляющих его работ. Полный путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим путем. Стало быть, критический путь - это наиболее протяженная по времени последовательная цепочка работ, ведущих от исходного к завершающему событию. На сетевом графике (см. рис. 4.3) критический путь проходит через цепочку событий и работ, обозначенных номерами 0-1-4-6-7-9-10-11-12, и равен 48 человеко-дням. Он выделен жирной линией.
Работы и события, лежащие на критическом пути, принято также называть критическими. Полная продолжительность всего комплекса работ, отображенных на сетевом графике, принимается всегда равной критическому пути. Изменение продолжительности любой работы, проходящей через критический путь, соответствующим образом сокращает или удлиняет не только время выполнения промежуточного события, но и всего срока наступления завершающего (конечного) события, т.е. планируемые сроки осуществления проектируемых работ. Поэтому расчетные показатели, характеризующие продолжительность критических работ, а также экономические возможности, которые открываются экономистам-менеджерам при использовании планово-управленческих решений, в значительной мере определяют и всю эффективность систем и методов сетевого планирования.
В сетевых графиках имеется еще много других полных путей, которые могут либо полностью, либо частично совпадать с критическим путем, а также проходить вне критического пути. Поэтому в сетевом планировании принято выделять напряженные и ненапряженные пути. Напряженный путь - это критический путь. Ненапряженные пути - это полные пути сетевого графика, которые по своей продолжительности меньше критического пути. Ненапряженные пути имеют на участках, не совпадающих с критическими работами, резервы времени свершения событий. Это значит, что задержка в выполнении тех событий, которые не проходят через критический путь, до определенного этими резервами времени не будет оказывать влияния на расчетные или плановые сроки завершения всего проекта работ. Критические пути такими резервами времени не располагают. Это означает, если расчетное время свершения какого-либо события, находящегося на критическом пути, будет задержано, то этим самым будут отодвинуты на этот же период планируемые сроки наступления завершающего события.
Резервы времени свершения событий существуют во всех сетевых графиках, когда имеется больше одного пути разной продолжительности. Величину резервов времени надо уметь рассчитывать и анализировать ответственным исполнителям и руководителям работ. Из ненапряженных путей сетевого графика наибольший интерес должны представлять подкритические пути - ближайшие по продолжительности к критическому, а также остальные, менее напряженные пути. Все они могут стать критическими при сокращении продолжительности работ, находящихся на критическом пути. Такие пути могут быть потенциально опасными с точки зрения соблюдения установленных планом сроков завершения проектных работ и входят в критическую зону сетевых графиков, которая не имеет своих резервов времени.
Резерв времени выполнения события - это такой промежуток времени, на который может быть отсрочено свершение этого события без нарушения планируемых сетевым графиком сроков окончания проектных работ. Резерв времени свершения каждого события определяется разностью между поздним и ранним сроками выполнения этого события по следующей формуле:
где R. - резерв времени выполнения /-го события; Т - поздний срок свершения /-го события; Т р - ранний срок наступления /-го события.
Ранний срок наступления события характеризует наиболее раннее из возможных время свершения определенного события, запланированного в сетевом графике. Поскольку каждое событие является результатом выполнения одной или нескольких предшествующих работ, то срок его наступления определяется величиной наиболее длительного отрезка пути от исходного (нулевого) до рассматриваемого (/-го) события. Расчет ранних сроков выполнения событий ведется от исходного до завершающего таким образом:
где max/ 0 / . - максимальное время выполнения всех работ, ведущих к данному событию.
Поздний срок свершения события - это такой период допу сти- мого времени, превышение которого вызывает соответствующую задержку наступления завершающего события. Если установлен плановый срок завершения всего комплекса работ сетевого графика, то каждое событие должно наступать не позже расчетного критического срока. Этот период и является предельно допу стимым сроком выполнения работ. Расчет позднего срока свершения событий ведется от завершающего к исходному. Позднее время наступления конечного события принимается равным критическому пути. Поздний срок свершения событий определяется разностью между продолжительностью критического пути и максимальной длительностью следующих за данным (/-ым) событием путей к завершающему (с) по следующей формуле
где L vn - продолжительность критического пути; шах „ - мак-
симальная длительность пути от данного события до завершающего.
Можно следующим образом сформулировать общее правило определения раннего (Т р) и позднего (Т п) сроков свершения любого события: ранние и поздние сроки определяются по максимальному из путей (Г тах), проходящих через данное событие. При этом ранний срок (Г р) равен продолжительности максимального из предшествующих данному событию путей. А поздний срок (Г п.) составляет разность между продолжительностью критического пути и длительностью максимального из последующих за данным событием путей до завершающего.
Расчет ранних сроков свершения событий проводится в прямой последовательности от исходного до конечного.
Ранний срок свершения события 12 соответствует критическому пути сетевого графика: L Kp = 48 дням.
Остальные полные пути равны:
Расчет поздних сроков
свершения событий проводится в обратном порядке от конечного к исходному.
Резервы времени свершения отдельных событий представляют собой разность между поздними и ранними сроками их выполнения.
Расчет резервов времени подтверждает, что критический путь проходит в сетевом графике через события 0-1-4-6-7-9-10-11-12 с нулевыми значениями резервов времени. В табл. 4.2 приведены основные параметры сетевого графика, характеризующие продолжительность выполняемых работ, ранние и поздние сроки свершения событий, а также имеющиеся в сетевой модели резервы времени (см. рис. 4.3).
Таблица 4.2
Расчетные параметры сетевого графика (в человеко-днях)
|
работ |
Продолжительность, |
события |
Показатели событий |
||
|
Ранний срок, Г р |
Поздний срок, |
Резерв времени, |
|||
Резервами времени располагают не только события, но и все пути сетевой модели, кроме критического, а также работы, лежащие на некритических путях. Разница между длиной критического пути и любого другого пути называется полным резервом времени.
Полный резерв пути показывает, насколько в сумме может быть увеличена продолжительность всех работ, принадлежащих данному пути. В соответствии с ранее выполненными расчетами полных путей нашего сетевого графика найдем полные резервы времени всех четырех путей.
Важным плановым свойством полного резерва времени является тот факт, что его можно использовать частично или полностью для увеличения длительности выполнения какой-либо работы. При этом, естественно, уменьшается резерв времени всех остальных работ, лежащих на этом пути, поскольку полный резерв времени принадлежит всем работам, находящимся на данном пути.
Выполненные расчеты основных параметров сетевых графиков должны быть использованы при анализе и оптимизации сетевых стратегических планов.
- 1. Выделить критический путь и найти его длину;
- 2. Определить резервы времени каждого события;
- 3. Определить резервы времени всех работ и коэффициент напряженности работы предпоследней работы
Решение
Для решения задачи применим следующие обозначения.
|
Элемент сети |
Наименование параметра |
Условное обозначение параметра |
|
Событие i |
Ранний срок свершения события |
|
|
Поздний срок свершения события |
||
|
Резерв времени события |
||
|
Работа (i, j) |
Продолжительность работы |
|
|
Ранний срок начала работы |
||
|
Ранний срок окончания работы |
||
|
Поздний срок начала работы |
||
|
Поздний срок окончания работы |
||
|
Полный резерв времени работы |
||
|
Продолжительность пути |
||
|
Продолжительность критического пути |
||
|
Резерв времени пути |
Для определения резервов времени по событиям сети рассчитывают наиболее ранние t p и наиболее поздние t п сроки свершения событий. Любое событие не может наступить прежде, чем свершаться все предшествующие ему события и не будут выполнены все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок tp(i) свершения i-ого события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:
t p (i) = max(t(L ni)) (1)
где L ni - любой путь, предшествующий i-ому событию, то есть путь от исходного до i-ого события сети.
Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле:
t p (j) = max (2)
Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из следующих за ним путей не превысит длины критического пути. Поэтому поздний (или предельный) срок t п (i) свершения i-ого события равен:
t п (i) = t kp - max(t(L ci)) (3)
где Lci - любой путь, следующий за i-ым событием, т.е. путь от i-ого до завершающего события сети.
Если событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле:
t п (i) = min
Резерв времени R(i) i-ого события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:
R(i) = t п (i) - t p (i)
Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.
Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события. Таким образом, определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути.
При определении ранних сроков свершения событий tp(i) двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1), (2).
Расчет сроков свершения событий.
Для i=0 (начального события), очевидно tp(0)=0.
i=1: t p (1) = t p (0) + t(0,1) = 0 + 0 = 0.
i=2: t p (2) = t p (1) + t(1,2) = 0 + 8 = 8.
i=3: t p (3) = t p (1) + t(1,3) = 0 + 3 = 3.
i=4: max(t p (2) + t(2,4);t p (3) + t(3,4)) = max(8 + 6;3 + 3) = 14.
i=5: tp(5) = tp(4) + t(4,5) = 14 + 0 = 14.
i=6: max(t p (4) + t(4,6);t p (5) + t(5,6)) = max(14 + 5;14 + 3) = 19.
i=7: t p (7) = t p (6) + t(6,7) = 19 + 9 = 28.
i=8: max(t p (2) + t(2,8);t p (6) + t(6,8);t p (7) + t(7,8)) = max(8 + 18;19 + 5;28 + 4) = 32.
i=9: max(t p (5) + t(5,9);t p (7) + t(7,9)) = max(14 + 2;28 + 4) = 32.
i=10: max(t p (4) + t(4,10);t p (7) + t(7,10);t p (9) + t(9,10)) = max(14 + 4;28 + 2;32 + 0) = 32.
i=11: max(t p (8) + t(8,11);t p (10) + t(10,11)) = max(32 + 12;32 + 4) = 44.
Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 11: t kp =tp(11)=44
При определении поздних сроков свершения событий t п (i) двигаемся по сети в обратном направлении, то есть справа налево и используем формулы (3), (4).
Для i=11 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): t п (11)= t р (11)=44
i=10: t п (10) = t п (11) - t(10,11) = 44 - 4 = 40.
i=9: t п (9) = t п (10) - t(9,10) = 40 - 0 = 40.
Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 8.
i=8: t п (8) = t п (11) - t(8,11) = 44 - 12 = 32.
Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 7.
i=7: min(t п (8) - t(7,8);t п (9) - t(7,9);t п (10) - t(7,10)) = min(32 - 4;40 - 4;40 - 2) = 28.
i=6: min(t п (7) - t(6,7);t п (8) - t(6,8)) = min(28 - 9;32 - 5) = 19.
Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 5.
i=5: min(t п (6) - t(5,6);t п (9) - t(5,9)) = min(19 - 3;40 - 2) = 16.
i=4: min(t п (5) - t(4,5);t п (6) - t(4,6);t п (10) - t(4,10)) = min(16 - 0;19 - 5;40 - 4) = 14.
Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 3.
i=3: t п (3) = t п (4) - t(3,4) = 14 - 3 = 11.
i=2: min(t п (4) - t(2,4);t п (8) - t(2,8)) = min(14 - 6;32 - 18) = 8.
i=1: min(t п (2) - t(1,2);t п (3) - t(1,3)) = min(8 - 8;11 - 3) = 0.
(0,1): 0 - 0 = 0;
Таблица 1 - Расчет резерва событий
|
Номер события |
Сроки свершения события: ранний tp(i) |
Сроки свершения события: поздний tп(i) |
Резерв времени, R(i) |
Заполнение таблицы 2.
Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы. При этом работы следует записывать в графу 2 последовательно: сначала начиная с номера 0, затем с номера 1 и т.д.
Во второй графе поставим число, характеризующее количество непосредственно предшествующих работ (КПР) тому событию, с которого начинается рассматриваемая работа.
Так, для работы (1,2) в графу 1 поставим число 1, т.к. на номер 1 оканчиваются 1 работы: (0,1).
Графу 4 получаем из таблицы 1 (t p (i)). Графу 7 получаем из таблицы 1 (t п (i)).
Значения в графе 5 получаются в результате суммирования граф 3 и 4.
В графе 6 позднее начало работы определяется как разность позднего окончания этих работ и их продолжительности (из значений графы 7 вычитаются данные графы 3);
Содержимое графы 8 (полный резерв времени R(ij)) равно разности граф 6 и 4 или граф 7 и 5. Если R(ij) равен нулю, то работа является критической
Таблица 2 - Анализ сетевой модели по времени
|
Работа (i,j) |
Количество предшествующих работ |
Продолжительность tij |
Ранние сроки: начало tijР.Н. |
Ранние сроки: окончание tijР.О. |
Поздние сроки: начало tijП.Н. |
Поздние сроки: окончание tijП.О. |
Резервы времени: полный RijП |
Независимый резерв времени RijН |
Частный резерв I рода, Rij1 |
Частный резерв II рода, RijC |
Следует отметить, что кроме полного резерва времени работы, выделяют еще три разновидности резервов. Частный резерв времени первого вида R 1 - часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. R 1 находится по формуле:
R(i,j)= R п (i,j) - R(i)
Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени Rc работы (i,j) представляет собой часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Rc находится по формуле:
R(i,j)= R п (i,j) - R(j)
Значение свободного резерва времени работы указывает на расположение резервов, необходимых для оптимизации.
Независимый резерв времени Rн работы (i,j) - часть полного резерва, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие начинаются в ранние сроки. Rн находится по формуле:
R(i,j)= Rп(i,j)- R(i) - R(j)
Критический путь : (0,1)(1,2)(2,4)(4,6)(6,7)(7,8)(8,11)
Продолжительность критического пути: 44
Найдем коэффициент напряженности работы предпоследней работы. Так как длина критического пути 44, максимальный путь, проходящий через работу (1,10) равен 32, тогда
К(1,10)=(32-28)/(44-28)=0,296.
4. Интернет-провайдер в небольшом городе имеет 5 выделенных каналов обслуживания. В среднем на обслуживание одного клиента уходит 25 минут. В систему в среднем поступает 6 акзаов в час. Если свобдных каналов нет, следует отказ. Определить характеристики обслуживания: вероятность отказа, среднее число занятых обслуживанием линий связи, абсолютную и относительную пропускные способности, вероятность обслуживания. Найти число выделенных каналов, при котором относительная пропускная способность системы будет не менее 0,95. Считать, что потоки заявок и обслуживаний простейшие
Интенсивность потока обслуживания:
Интенсивность нагрузки:
с = л * t обс = 6 * 25/60 = 2.5
Интенсивность нагрузки с=2.5 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p 1 = с 1 /1! p 0 = 2.5 1 /1! * 0.0857 = 0.214
заняты 2 канала:
p 2 = с 2 /2! p 0 = 2.5 2 /2! * 0.0857 = 0.268
заняты 3 канала:
p 3 = с 3 /3! p 0 = 2.5 3 /3! * 0.0857 = 0.223
заняты 4 канала:
p 4 = с 4 /4! p 0 = 2.5 4 /4! * 0.0857 = 0.139
заняты 5 канала:
p 5 = с 5 /5! p 0 = 2.5 5 /5! * 0.0857 = 0.0697
Вероятность отказа- это доля заявок, получивших отказ:
Значит, 7% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
Вероятность обслуживания поступающих заявок -вероятность того, что клиент будет обслужен:
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
p отк + p обс = 1
Относительная пропускная способность Q = p обс .
p обс = 1 - p отк = 1 - 0.0697 = 0.93
Следовательно, 93% из числа поступивших заявок будут обслужены. Среднее число каналов, занятых обслуживанием
n з = с * p обс = 2.5 * 0.93 = 2.326 канала.
Среднее число простаивающих каналов .
n пр = n - n з = 5 - 2.326 = 2.7 канала.
Коэффициент занятости каналов обслуживанием .
Следовательно, система на 50% занята обслуживанием.
Абсолютная пропускная способность
A = pобс * л = 0.93 * 6 = 5.581 заявок/час.
Среднее время простоя СМО .
t пр = p отк * t обс = 0.0697 * 0.417 = 0.029 час.
Среднее число обслуживаемых заявок .
L обс = с * Q = 2.5 * 0.93 = 2.326 ед.
Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла).
Число заявок, получивших отказ в течение часа: л * p 1 = 0.418 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 5 / 0.417 = 12.002 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 5.581 / 12.002 = 47% от номинальной производительности.
Определим количество каналов, необходимых для обеспечения работоспособности системы с вероятностью P ? 0.95
Для этого находим n из условия:
Найдем вероятность того, что если в системе будет 6 каналов и все они будут заняты:
Любая последовательность работ сетевого графика, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы, называется путем .
Путь сетевого графика, в котором начальная точка совпадает с исходным событием, а конечная - с завершающим событием, называется полным.
Путь от исходного события до любого взятого предшествует данному событию. Предшествующий событию путь, имеющий наибольшую длину, называется максимальным предшествующим . Он обозначается L 1 (i), а его продолжительность t.
Путь, соединяющий любое взятое событие с завершающим, называется последующим путем. Такой путь с наибольшей длиной называется максимально последующим и обозначается L 2 (i), а его продолжительность t.
Полный путь, имеющий наибольшую длину, называется критическим . Пути, отличные от критического, называются ненапряженными . Они имеют резервы времени.
Работы критического пути выделяются жирными линиями или двойными. Продолжительность критического пути считается главным параметром графика.
Рассмотрим алгоритм определения критического пути на сетевом графике, использующий алгоритм метода динамического программирования.
Упорядочим вершины графика по рангам и пронумеруем их с конца к началу. Это позволит совместить номера рангов с этапами попятного движения при отыскании условно-оптимальных управлений на последнем, двух последних и т.д. этапах. Нахождение критического пути разберем на примере сетевого графика, изображенного на рис. 10.7.
Согласно принципу оптимальности Беллмана , оптимальное управление на каждом этапе определяется целью управления и состоянием на начало этапа. Состояние системы - это события, лежащие на рангах. Для совершения конечного события Х 16 необходимо совершение предшествующих событий. Возможные состояния системы на начало последнего этапа работ - совершение событий Х 14 и Х 15. В кружках у точек Х 14 и Х 15 поставим максимальную продолжительность работ на последнем этапе: Х 14 5 , Х 15 7 . Найдем максимальную продолжительность работ на двух последних этапах. Состояние системы на начало предпоследнего этапа обусловлено событием Х 13. Максимальная продолжительность пути, ведущая из Х 13 к Х 16 равна .
Следовательно, в кружке у события Х 13 нужно поставить число 14 и т.д. Проводя этапы от конца к началу, узнаем длину критического пути t кр =96. Чтобы найти сам критический путь, процесс вычислений пройдем от начального события Х 1 к конечному Х 16 . Число 96 на первом этапе (от начала) мы получили, прибавив 16 к числу 80. Следовательно, критический путь на этом этапе будет равен (Х 1 , Х 3). Число 80 = 16 + 64. Следовательно, критический путь на втором этапе проходит через работу (Х 3 , Х 4) и т.д. На графике он выделен жирной линией:
X 1 - X 3 - X 4 - X 7 - X 8 - X 10 - X 11 - X 12 - X 13 - X 15 - X 16 .
Ранние и поздние сроки свершения событий. Резерв времени событий
Все пути, отличные по продолжительности от критического, располагают резервами времени. Разность между длиной критического пути и любого некритического называется полным резервом времени данного некритического пути и обозначается : 
.
Ранним сроком свершения события называется самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы, т.е. определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего событию , т.е.:
или 
Чтобы найти ранний срок совершения события j , нужно знать критический путь ориентированного подграфа, состоящего из множества путей, предшествующих данному событию j . Ранний срок исходного события равен нулю: t p (1)=0.
Поздним сроком
совершения события
называется самый поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием. Самый поздний из допустимых сроков свершения события в сумме с продолжительностью выполнения всех последующих работ должен не превышать длины критического пути. Поздний срок свершения события вычисляется как разность между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального из последующих за событием путей : 
Для событий, лежащих на критическом пути, ранний и поздний сроки свершения этих событий совпадают .
Разность между поздним и ранним сроками свершения события составляет резерв времени события : 
. Интервал называется интервалом свободы события . Резерв времени события показывает максимально допустимое время, на которое можно отодвинуть момент его свершения, не увеличивая критический путь.
Так как сумма 
определяет продолжительность пути максимальной длины, проходящего через это событие, то , т.е. резерв времени любого события равен полному резерву времени максимального пути, проходящего через это событие .
При расчете временных параметров вручную удобно пользоваться четырехсекторным способом. При этом способе кружок сетевого графика, обозначающий событие, делится на четыре сектора. В верхнем секторе ставится номер события; в левом - наиболее раннее из возможных время свершения события (); в правом - наиболее позднее из допустимых время свершения события ; в нижнем секторе - резерв времени данного события : 
.
Для вычисления раннего срока свершения событий: 
, применяем формулу 
, рассматривая события в порядке возрастания номеров, от начального к завершающему, по входящим в это событие работам.
Поздний срок свершения событий вычисляем по формуле 
, начиная с конечного события, для которого ( - номер конечного события), по выходящим из него работам.
Критические события имеют резерв времени равный нулю. Они и определяют критические работы и критический путь.
Пример 10.2 . Пусть задан сетевой график, изображенный на рис. 10.8.
Решение. Вычислим ранние сроки свершения событий :
Итак, завершающее событие может произойти лишь на 14-ый день от начала выполнения проекта. Это максимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта. Оно определяется самым длинным путем. Ранний срок свершения работы 6 =14 совпадает с критическим временем кр - суммарной продолжительностью работ, лежащих на критическом пути. Теперь можно выделить работы, принадлежащие критическому пути, возвращаясь от завершающего события к исходному. Из двух работ, входящих в событие 6 , , длина критического пути определила работы (5, 6), так как ( 5 + 56)=14. Поэтому работа (5, 6) - критическая и т.д. Работы (1, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) определили критический путь: кр = (1-3-4-5-6).
Вычислим теперь поздние сроки свершения событий . Положим . Воспользуемся методом динамического программирования. Все расчеты будем вести от завершающего события к начальному событию. Поздние сроки свершения событий равны:
Так как после события 5 для завершения проекта нужно выполнить работу (5, 6) длительностью 3 дня. Из события 4 выходят две работы, поэтому:
Резерв времени для события 2 равен: . Резервы остальных событий равны нулю, так как эти события критические.
Ранние и поздние сроки начала и окончания работ. Определение резервов времени работ. Полный резерв времени работ.
Событие, непосредственно предшествующее данной работе, будем называть начальным и обозначать , а событие, непосредственно следующее за ней, - конечным и обозначать . Тогда любую работу будем обозначать . Зная сроки свершения событий, можно определить временные параметры работ.
Ранний срок начала работы равен раннему сроку свершения события : .
Ранний срок окончания работы
равен сумме раннего срока свершения начального события и продолжительности этой работы: 
или 
.
Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события : .
Поздний срок начала работы равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и величиной этой работы:
Поскольку сроки выполнения работ находятся в границах, определяемых и , то они могут иметь разного вида резервы времени.
Полный резерв времени работы - это максимальное время, необходимое для выполнения любой работы без превышения критического пути. Он вычисляется как разность между поздним сроком свершения конечного события и ранним сроком времени для выполнения самой работы: . Так как , то .
Таким образом, полный резерв времени работы - это максимальное время, на которое можно увеличить ее продолжительность, не изменяя продолжительности критического пути. Все некритические работы имеют полный резерв времени отличный от нуля.
Свободный резерв времени работы - это запас времени, которым можно располагать при выполнении данной работы при условии, что начальное и конечное ее события наступят в свои ранние сроки: .
При составлении сетевого графика оценку времени ведут, исходя из предположения, что все наличные ресурсы могут быть применены для завершения каждой работы на основании проектов производства работ и технологических карт. Затем эта оценка времени уточняется за счет совмещения отдельных работ, исходя из принципов оптимального использования наличной рабочей силы и прочих ресурсов. В связи с тем, что трудоемкость работ обычно выражается в чел.-днях, данные, заимствованные из технологических карт или нормативных справочников, достаточно разделить на количество рабочих, имеющихся в распоряжении руководства стройкой для того, чтобы определить общую продолжительность работы, выраженной в днях. Единица времени, используемая в сетевых графиках, должна быть единой для всех видов работ, включенных в сеть.
По продолжительности каждого вида работ определяется общий срок строительства, который после привязки к календарю представляет собой календарный план строительства. Принимая продолжительность выполнения отдельных работ по данным, приведенным на рис. 121, можно найти критический путь по сетке с тем,чтобы определить самый ранний и самый поздний сроки окончания по каждой работе.
Рис. 121. Схема сетевого графика с критическим путем.
Критический путь начинается с первоначального события и идет по сети слева направо до конечного события. При этом самые ранние сроки начала и окончания работ определяются путем суммирования продолжительности всех работ, от которых зависит данная работа, начиная от начального события. Эти данные проставляются в квадратиках, располагаемых возле кружков событий.
Таким образом, расчет сетевого графика сводится к определению резервов времени отдельных работ и по ним - общей продолжительности критического пути.
При небольшом количестве событий указанный расчет не представляет собой сложности. Однако, если учесть, что сетевые графики пусковых комплексов промышленных предприятий обычно охватывают сотни и даже тысячи событий, то для их подсчета требуется значительное время. В таких случаях расчет сетевого графика ведется последовательно с использованием соответствующих формул и таблиц вручную при количестве событий до 500 или с помощью ЭВМ при большем их количестве. Для уяснения методики указанных расчетов можно использовать данные, приведенные на рис. 121.
Если принять буквенные обозначения начального события какой-либо из работ - т, конечного п и конечного события следующей за ней работы - к, то эти работы можно обозначить индексами m - n и n - к.
Ранее было сказано, что все работы, не лежащие на критическом пути, обладают запасами времени, и для них могут быть определены по два срока начала и окончания, соответственно наиболее ранние и наиболее поздние.
Приняв обозначения:
Расчет начинается с определения ранних сроков работ, т. е. с
Раннее начало первых работ 1-2 и 1-3, выходящих из начального события 1, равно нулю, или
т. е. если событие m является начальным, то раннее начало работы m - n будет
Самое раннее начало работы
определяется продолжительностью самого длинного пути от начального события до предшествующего события данной работы.
Например, для работы 7 - 8 раннее начало по цепи 1 - 2 - 7 равно:
Однако по технологической зависимости производства работ следует, что начать работу 7 - 8 до окончания работы 2 - 7 нельзя, поэтому раннее начало работы 7 - 8 следует принять через 9 дней, т. е. работу можно начать на 10-й день.
По аналогии определяем раннее начало для остальных работ:
Раннее начало работы 5 - 9:
Так как работа 5 - 9 не может быть начата дож окончания 7 - 8, следует принять ее начало по расчету цепи 1 - 2 - 7 - 8, т. е. через 14 дней после начала строительства. По этим же причинам раннее начало работы 8 - 9 следует принять по цепи 1 - 2 - 7 - 8, т. е.
Раннее начало работы 9 - 10:
Следует принять
18 дней, так как эта работа не может быть выполнена до окончания работы 7 - 8.
Ранние сроки окончания работ определяются путем добавления к раннему сроку начала работы ее заданной продолжительности по формуле:
Очевидно, что раннее начало последующей работы определяется ранним окончанием предыдущих работ, т. е.
Если данной работе предшествует несколько работ, то ее Тр.н будет максимальной из величин ранних окончаний предыдущих работ:
Равенство является прямым следствием того, что нельзя начать какую-либо работу, если не выполнена предыдущая работа или не выполнен ряд работ, сходящихся в одном событии и имеющих разные сроки их окончания.
Раннее окончание работы
определяется по формуле:
В рассматриваемом примере эти сроки будут:
Как видно из приведенного расчета, раннее начало и окончание определяются для всех работ графика последовательно от начального события. Расчет определения ранних сроков окончания работ все время идет по наибольшим величинам продолжительности работ.
Максимальная величина суммы ранних окончаний технологически связанной цепи работ, завершающаяся конечным событием всего графика (в нашем случае цепи 1 - 2 - 7 - 8 - 9 - 10), определяет продолжительность критического пути и срок строительства. В рассматриваемом примере Пкр = 23 дня.
Самое позднее начало работы, которое не вызовет задержки окончания строительства всего объекта, определяется разностью продолжительности критического пути и самого длинного пути от предшествующего события данной работы до конечного события. ^
Например, для работы 7 - 8 (рис. 121) позднее начало будет равно:
Несколько сложнее определить позднее начало работы 2 - 7 или самое позднее свершение события 2, от которого зависит начало последующих работ 2 - 7, 2 - 8, 2 - 9 и др. К работе 2 - 7 от конечного события 10 до рассматриваемого 2 можно подойти несколькими путями:
путь 1 (10 - 9 - 2) продолжительностью L1 = 5+ 10 = 15 дней;
путь 2 (10 - 9 - 8 - 2) продолжительностью L2 = 5 + 4 + 8 = 17 дней;
путь 3 (10 - 9 - 8 - 7 - 2) продолжительностью L3 = 5 + 4 + 5 + 6 = 20 дней.
Соответственно этим путям поздние сроки начала работы
будут равны:
Очевидно, чтобы не вызвать задержки в выполнении последующей работы и других работ, следует принять минимальное значение
т. е. начать работу 2 - 7 не позднее чем через 3 дня после начала строительства. Если взять больший срок позднего начала работы 2 -- 7, то все последующие работы будут также выполняться позднее, что вызовет в целом задержку в окончании строительства.
Самым поздним окончанием последней работы 9-10 в рассматриваемом сетевом графике явится свершение события 10, срок которого определяется продолжительностью критического пути, т. е. ранним сроком завершения работ, лежащих на пути 1 - 2 - 7 - 8 - 9 -- 10. В нашем случае Пкр = 23 дням и
23 дням, поэтому
или в общем виде
Позднее окончание других работ в рассматриваемой цепи определяют суммой позднего начала и продолжительности данной работы.
Для работы 7 - 8:
Для работы 2 - 7:
В общем виде определить поздний срок выполнения работы можно следующим образом. Позднее начало работ
равно разности позднего окончания
и продолжительности работы m - n, т. е.
Дальнейший анализ сетевого графика ведется путем сопоставления ранних и поздних характерных работ для выявления критического пути и определения резервов времени. Те работы, у которых ранние начала и окончания равны поздним началам и окончаниям, не имеют запаса времени, а следовательно, они лежат на критическом пути. Если это совпадение не установлено, то у рассматриваемых работ имеется определенный резерв времени.
Как указывалось ранее, различают полный резерв времени рассматриваемого пути (цепи), частный и общий резервы времени работы.
Полным резервом времени для данной цепи работ называют разницу во времени между суммарной продолжительностью работ, лежащих на критическом пути, и продолжительностью работ рассматриваемой цепи (пути), т. е.
где Пкр -суммарная продолжительность работ, лежащих на критическом пути;
Пц - то же, лежащая на рассматриваемой цепи.
В нашем примере величина полного резерва между критическим путем 1-2-7-8-9-10, равным 23 дням, и цепью 1-3-4-5-9-10, равной 2+4+3 + 3+5= 17 дням, будет Рпол = 23-17 = 6 дням.
Таким образом, полный резерв Рпол данной цепи (пути) равен сумме частных (свободных) резервов работ, лежащих на ней
В нашем примере:
Полный или общий резерв времени Р° работы m - n определяется как резерв времени у максимального из путей, проходящего через эту работу.
Величина
показывает, на какое время может быть увеличена продолжительность отдельной работы т п, чтобы при этом длина максимального из путей, проходящего через эту работу не превышала длины критического пути.
Общий запас времени определяют разностью позднего и раннего начала времени или позднего и раннего окончания работы.
Например, общий запас времени для работы 7 - 8 составляет
Сводный или частный резерв времени определяет то количество времени, на которое можно перевести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения раннего начала следующих за ней работ.
Такой запас может выявиться в том случае, когда событие является результатом двух или более работ. Он определяется разностью раннего начала последующей работы и раннего окончания данной работы.
Например, частный запас времени для работы 2 - 8 составляет:
В общем виде частный запас времени Рч определяют по формуле:
После окончания расчета сетевого графика легко определить критический путь по видам работ, у которых Р°=0; критический путь включает все работы (стрелки), расположенные последовательно одна за другой, т. е. он обозначает работы, на выполнение которых требуются наибольшие затраты времени.
Понятие критическая работа охватывает как основные строительно-монтажные, так и вспомогательные работы. Например, критической работой может оказаться доставка строительных деталей или технологического оборудования на строительную площадку.
Помимо критического пути, представляет интерес так называемая критическая зона, обусловливающая совокупность работ, имеющих малые резервы времени. Работы критической зоны, не лежащие на критическом пути, могут оказаться в нем даже при небольшом изменении продолжительности некоторых работ. Такие работы называются подкритическими. Различают также резервную зону, совокупность работ которой имеет значительные резервы времени.
Суммируя время, необходимое для выполнения всех работ, расположенных на критическом пути, определяют продолжительность строительства объекта
Управление проектными работами по созданию производственного участка осуществляется с помощью сетевого планирования. В данном разделе необходимо на основе разработанной сетевой модели плана работ на предынвестиционном этапе проекта (рис.5) рассчитать основные параметры сети и определить стоимость предпроектных исследований, инженерных и проектных работ (смета затрат) для оценки величины предпроизводственных капитальных вложений.
Исходные данные о длительности выполнения отдельных работ сетевого графика и количестве исполнителей задаются самостоятельно экспертным путем (исходя из продолжительности выполнения всех работ – 60...80 дней) и заносятся в табл. 11 (t min – оптимистическая оценка, t max – пессимистическая оценка, в днях; НС- научный сотрудник, И- инженер-исследователь, Э- экономист).
Рис. 5. Сетевой график разработки инвестиционного проекта
Ожидаемая продолжительность работ сетевого графика рассчитывается по формуле
t ож = (3 t min + 2 t max)/5 , дней. (14)
Дисперсия среднеквадратичного отклонения s ij 2 от ожидаемой продолжительности работ определяется по формуле
s ij 2 = 0,04(t max – t min) 2 . (15)
Результаты расчетов сводятся в табл. 11. Ожидаемая продолжительность проставляется над стрелками сетевого графика (см. рис.5).
Расчет основных параметров сетевого графика выполняется непосредственно на нём самом и в табл. 12. Для этого каждый кружок, изображающий событие, делится на четыре части (рис. 6).
Рис. 6. Параметры события
Заполнение секторов выполняется в построенном сетевом графике по следующим правилам.
1. Заполняются верхние секторы номерами событий i.
2. Заполняются левые секторы в последовательности от исходного (нулевого) события к завершающему с одновременным расчетов ранних сроков событий по формуле Тp j = max (Тp i + t i j) (16)
где t i j – ожидаемая продолжительность работы между предшествующим i и последующим j событиями.
Таблица 11
| Код | Наименование работ | Продолжительность, | Исполнители, | s ij 2 | ||||
| работы | дни | чел. | ||||||
| i – j | t min | t max | t ож | НС | И | Э | ||
| 0–1 | Выбор продукта | |||||||
| 1–2 | Маркетинговое исследование | |||||||
| 1–4 | Анализ возможностей | |||||||
| 1–3 | Выбор места предприятия | |||||||
| 2–4 | Прогноз объемов производства | |||||||
| 2–9 | Прогноз цены изделия | |||||||
| 3–4 | Разработка технологии | |||||||
| 3–9 | Выбор заготовки | |||||||
| 4–5 | Расчет числа станков | |||||||
| 4–6 | Организация работ на участке | |||||||
| 5–6 | Расчет количества рабочих | |||||||
| 5–7 | Планировка участка | |||||||
| 6–8 | Расчет заработной платы | |||||||
| 7–10 | Расчет капиталовложений | |||||||
| 8–9 | Расчет себестоимости | |||||||
| 9–10 | Расчет прибыли | |||||||
| 9–11 | Анализ безубыточности | |||||||
| 10–12 | Расчет эффективности | |||||||
| 11–12 | Оценка рисков | |||||||
| 12–13 | Расчет показателей проекта |
3. Для завершающего события всегда Т Р = Т n , поэтому цифра из левого сектора переносится в правый сектор.
4. Дальнейшее заполнение правых секторов идет от последнего (завершающего) события к исходному с одновременным расчетом поздних сроков по формуле
Тп i = min (Тп i – t i j). (17)
5. В нижний сектор заносится значение резерва события, вычисляемое как
Ri = Тп i – Тp i . (18)
6. Расчет резервов работ полного Rп ij и свободного Rс ij выполняется по формулам
Rп i j = Тп j – Тp i – t i j ;
Rc i j = Тp j – Тp i – t i j. (19)
7. Критический путь t(L кр) определяется как путь, проходящий через события, не имеющие резервов времени (т.е. Ri = 0, Rп i j = 0, Rc i j = 0).
Рассчитанные значения параметров сетевого графика заносятся в табл. 12.
Таблица 12
| Код работы, | t ож | Тp i | Тp j | Тп j | Rп i j | Rc i j | Kн i j |
| i j |
Значения коэффициентов напряженности работ Kн i j определяется как отношение несовпадающих отрезков максимального пути к критическому пути, проходящему через одноименные события
(20)
где t′ (L кр) – совпадающие отрезки измеряемого и критического пути.
Градация коэффициентов напряженности проводится по трем зонам: избыточной К Н ij < 0,5 , промежуточной 0,5 £ К Н ij £ 0,8 и критической К Н ij > 0,8. Работы критической и избыточной зон сетевого графика можно выделить цветом на сетевом графике.
Учет колебаний сроков свершения событий (s ij 2 – дисперсия) сетевого графика позволяет оценить вероятность наступления завершающего события в директивный срок. Исходя из допущения, что значение критического пути t (L кр) подчиняется закону нормального распределения, необходимо рассчитать эту вероятность, используя аргумент функции распределения вероятностей χ (функции Лапласа) ______
χ = (t дир – t кр) /(√ ∑(s ij 2)), (21)
где t дир – директивный срок разработки проекта (принять равным 0,95 от t кр); ∑(s ij 2) – сумма дисперсий длительностей работ на критическом пути (находится из табл. 11).
Значения вероятности p к в зависимости от c находятся по табл. 13.
Таблица 13
| c | p к | c | p к | c | p к |
| 0,5000 | –1,0 | 0,1587 | –2,0 | 0,0228 | |
| –0,1 | 0,4602 | –1,1 | 0,1357 | –2,1 | 0,0179 |
| –0,2 | 0,4207 | –1,2 | 0,1151 | –2,2 | 0,0130 |
| –0,3 | 0,3821 | –1,3 | 0,0968 | –2,3 | 0,0107 |
| –0,4 | 0,3446 | –1,4 | 0,0808 | –2,4 | 0,0082 |
| –0,5 | 0,3085 | –1,5 | 0,0668 | –2,5 | 0,0062 |
| –0,6 | 0,2743 | –1,6 | 0,0548 | –2,6 | 0,0047 |
| –0,7 | 0,2420 | –1,7 | 0,0446 | –2,7 | 0,0035 |
| –0,8 | 0,2119 | –1,8 | 0,0359 | –2,8 | 0,0026 |
| –0,9 | 0,1841 | –1,9 | 0,0287 | –2,9 | 0,0019 |
Для оценки полученного значения p к имеются вполне определенные границы:
p к > 0,65 – на критическом пути имеются избыточные ресурсы;
p к < 0,35 – вероятность срыва директивных сроков очень велика, необходимо перепланирование сети;
0,35 £ p к £ 0,65 – наступление директивного срока достаточно вероятно.
Составление сметы затрат проектных работ следует начать с расчета заработной платы исполнителей по отдельным этапам работ. Расчет заработной платы выполняется в табл. 14.
