Расчеты и графики. Поздние сроки, ч. Правила построения сетевой модели

Известны два метода расчета параметров сетевого графа". вычисление непосредственно на сетевом графе; аналитический (табличный).

Расчет основных показателей сетевой модели может произвести следующим образом.

• 1. Расчет ранних сроков:
  • ? ранний срок начала работ определяется продолжительностью самого длинного пути от исходного события до начала выполнения данной работы,
  • ? ранние сроки окончания работ - это наиболее ранний срок из возможных сроков окончания работы. Ранний срок времени окончания работ равен сумме раннего срока начала работы и продолжительности самой работы.
• 2.Расчет критического пути. Его продолжительность определяется как суммарное время работ, лежащих на критическом пути, т.е. время завершения всего комплекса работ при наибольшем запараллеливании всех работ. Это время равно наибольшему из времен ранних окончаний завершающих работ сетевого графа. Критический путь проходит через события, не имеющие резервов времени (через критические работы).
• 3.Расчет поздних сроков начала и окончания работ определяются из возможностей предельного сдвига вправо по числовой оси сроков выполнения работ так, чтобы не было изменено время критического пути. Поэтому логично расчеты вести от последнего события к первому и определять сначала время позднего окончания работ, а затем рассчитывать время позднего начала работ:
  • ?поздний срок начала работ (ij ) определяется как разница между поздним сроком окончания работ и продолжительностью самой работы,
  • ? поздний срок окончания работ определяется величиной пути минимальной продолжительности, ведущего к нему от завершающего события, и рассчитывается как разность критического пути и максимальной продолжительности работы от завершающего события сетевого графика до конечного события данной работы.
• 4. Расчет резервов времени".

я полный резерв времени работы определяется как разность между поздним началом и ранним началом или между поздним окончанием или ранним окончанием работы. Необходимо отметить, что полные резервы времени работ, лежащих на критическом пути, равны нулю,

• ? частные (свободные) резервы времени".
• 1)частный резерв времени первого вида определяется возможностью изменить позднее начало работы (ij) на более ранние сроки без изменения поздних сроков окончания непосредственно предшествующих работ,
• 2) частный резерв времени второго вида определяется возможностью изменить раннее окончание работы (ij) на более поздние сроки без изменения ранних сроков начала непосредственно последующих работ; определяется разностью между ранним началом последующей работы и ранним окончанием данной работы.

Рассмотрим порядок расчета параметров на примере. Сетевой график представлен на рис. 7.5.

Рис. 7.5.

Для расчета параметров воспользуемся табличным методом, и с целью упрощения восприятия сведем все в одну табл. 7.1.

Правила применения резервов времени в сетевом планировании.

• 1. Для того чтобы полный и частные резервы работы (у) были равны, необходимо и достаточно, чтобы конечное событие У рассматриваемой работы являлось событием критического пути.
• 2. Если полный резерв (Я и]1) некоторой работы равен нулю, то и частный резерв второго вида (г"ф) также равен нулю. Между этими резервами всегда имеет место соотношение R(IJ} > r" ijy Полный и частные резервы времени всегда больше или равны нулю.
• 3. Для того чтобы частный резерв времени работы (у) был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы эта работа лежала на пути максимальной длины от первого события до события у.
• 4. Если продолжительность работы (у) увеличить на величину р, т.е. р то ранний срок начала последующей работы увеличится на величину р - г" (" уу
• 5. Если продолжительность работы (у) увеличить на величину полного резерва времени этой работы, то образуется новый критический путь, продолжительность которого равна продолжительности старого.
• 6. Полный резерв времени работы (у) равен сумме частного резерва времени второго вида этой работы и минимального из совокупности полных резервов всех непосредственно последующих работ.

Результаты расчета параметров сетевого графика

Таблица 7.1

7. Если продолжительность работы (г/) увеличить на величину р то появится новый критический путь, продолжительность которого превысит продолжительность старого критического пути на величину р -

После того как сетевой график построен и рассчитаны его основные показатели, приступают к его оптимизации.

Любая последовательность работ сетевого графика, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы, называется путем .

Путь сетевого графика, в котором начальная точка совпадает с исходным событием, а конечная - с завершающим событием, называется полным.

Путь от исходного события до любого взятого предшествует данному событию. Предшествующий событию путь, имеющий наибольшую длину, называется максимальным предшествующим . Он обозначается L 1 (i), а его продолжительность t.

Путь, соединяющий любое взятое событие с завершающим, называется последующим путем. Такой путь с наибольшей длиной называется максимально последующим и обозначается L 2 (i), а его продолжительность t.

Полный путь, имеющий наибольшую длину, называется критическим . Пути, отличные от критического, называются ненапряженными . Они имеют резервы времени.

Работы критического пути выделяются жирными линиями или двойными. Продолжительность критического пути считается главным параметром графика.

Рассмотрим алгоритм определения критического пути на сетевом графике, использующий алгоритм метода динамического программирования.

Упорядочим вершины графика по рангам и пронумеруем их с конца к началу. Это позволит совместить номера рангов с этапами попятного движения при отыскании условно-оптимальных управлений на последнем, двух последних и т.д. этапах. Нахождение критического пути разберем на примере сетевого графика, изображенного на рис. 10.7.

Согласно принципу оптимальности Беллмана , оптимальное управление на каждом этапе определяется целью управления и состоянием на начало этапа. Состояние системы - это события, лежащие на рангах. Для совершения конечного события Х 16 необходимо совершение предшествующих событий. Возможные состояния системы на начало последнего этапа работ - совершение событий Х 14 и Х 15. В кружках у точек Х 14 и Х 15 поставим максимальную продолжительность работ на последнем этапе: Х 14 5 , Х 15 7 . Найдем максимальную продолжительность работ на двух последних этапах. Состояние системы на начало предпоследнего этапа обусловлено событием Х 13. Максимальная продолжительность пути, ведущая из Х 13 к Х 16 равна .

Следовательно, в кружке у события Х 13 нужно поставить число 14 и т.д. Проводя этапы от конца к началу, узнаем длину критического пути t кр =96. Чтобы найти сам критический путь, процесс вычислений пройдем от начального события Х 1 к конечному Х 16 . Число 96 на первом этапе (от начала) мы получили, прибавив 16 к числу 80. Следовательно, критический путь на этом этапе будет равен (Х 1 , Х 3). Число 80 = 16 + 64. Следовательно, критический путь на втором этапе проходит через работу (Х 3 , Х 4) и т.д. На графике он выделен жирной линией:

X 1 - X 3 - X 4 - X 7 - X 8 - X 10 - X 11 - X 12 - X 13 - X 15 - X 16 .

Ранние и поздние сроки свершения событий. Резерв времени событий

Все пути, отличные по продолжительности от критического, располагают резервами времени. Разность между длиной критического пути и любого некритического называется полным резервом времени данного некритического пути и обозначается : .

Ранним сроком свершения события называется самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы, т.е. определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего событию , т.е.:

или

Чтобы найти ранний срок совершения события j , нужно знать критический путь ориентированного подграфа, состоящего из множества путей, предшествующих данному событию j . Ранний срок исходного события равен нулю: t p (1)=0.

Поздним сроком совершения события называется самый поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для завершения всех работ, следующих за этим событием. Самый поздний из допустимых сроков свершения события в сумме с продолжительностью выполнения всех последующих работ должен не превышать длины критического пути. Поздний срок свершения события вычисляется как разность между продолжительностью критического пути и продолжительностью максимального из последующих за событием путей :

Для событий, лежащих на критическом пути, ранний и поздний сроки свершения этих событий совпадают .

Разность между поздним и ранним сроками свершения события составляет резерв времени события : . Интервал называется интервалом свободы события . Резерв времени события показывает максимально допустимое время, на которое можно отодвинуть момент его свершения, не увеличивая критический путь.

Так как сумма определяет продолжительность пути максимальной длины, проходящего через это событие, то , т.е. резерв времени любого события равен полному резерву времени максимального пути, проходящего через это событие .

При расчете временных параметров вручную удобно пользоваться четырехсекторным способом. При этом способе кружок сетевого графика, обозначающий событие, делится на четыре сектора. В верхнем секторе ставится номер события; в левом - наиболее раннее из возможных время свершения события (); в правом - наиболее позднее из допустимых время свершения события ; в нижнем секторе - резерв времени данного события : .

Для вычисления раннего срока свершения событий: , применяем формулу , рассматривая события в порядке возрастания номеров, от начального к завершающему, по входящим в это событие работам.

Поздний срок свершения событий вычисляем по формуле , начиная с конечного события, для которого ( - номер конечного события), по выходящим из него работам.

Критические события имеют резерв времени равный нулю. Они и определяют критические работы и критический путь.

Пример 10.2 . Пусть задан сетевой график, изображенный на рис. 10.8.

Решение. Вычислим ранние сроки свершения событий :

Итак, завершающее событие может произойти лишь на 14-ый день от начала выполнения проекта. Это максимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта. Оно определяется самым длинным путем. Ранний срок свершения работы 6 =14 совпадает с критическим временем кр - суммарной продолжительностью работ, лежащих на критическом пути. Теперь можно выделить работы, принадлежащие критическому пути, возвращаясь от завершающего события к исходному. Из двух работ, входящих в событие 6 , , длина критического пути определила работы (5, 6), так как ( 5 + 56)=14. Поэтому работа (5, 6) - критическая и т.д. Работы (1, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) определили критический путь: кр = (1-3-4-5-6).

Вычислим теперь поздние сроки свершения событий . Положим . Воспользуемся методом динамического программирования. Все расчеты будем вести от завершающего события к начальному событию. Поздние сроки свершения событий равны:

Так как после события 5 для завершения проекта нужно выполнить работу (5, 6) длительностью 3 дня. Из события 4 выходят две работы, поэтому:

Резерв времени для события 2 равен: . Резервы остальных событий равны нулю, так как эти события критические.

Ранние и поздние сроки начала и окончания работ. Определение резервов времени работ. Полный резерв времени работ.

Событие, непосредственно предшествующее данной работе, будем называть начальным и обозначать , а событие, непосредственно следующее за ней, - конечным и обозначать . Тогда любую работу будем обозначать . Зная сроки свершения событий, можно определить временные параметры работ.

Ранний срок начала работы равен раннему сроку свершения события : .

Ранний срок окончания работы равен сумме раннего срока свершения начального события и продолжительности этой работы: или .

Поздний срок окончания работы совпадает с поздним сроком свершения ее конечного события : .

Поздний срок начала работы равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и величиной этой работы:

Поскольку сроки выполнения работ находятся в границах, определяемых и , то они могут иметь разного вида резервы времени.

Полный резерв времени работы - это максимальное время, необходимое для выполнения любой работы без превышения критического пути. Он вычисляется как разность между поздним сроком свершения конечного события и ранним сроком времени для выполнения самой работы: . Так как , то .

Таким образом, полный резерв времени работы - это максимальное время, на которое можно увеличить ее продолжительность, не изменяя продолжительности критического пути. Все некритические работы имеют полный резерв времени отличный от нуля.

Свободный резерв времени работы - это запас времени, которым можно располагать при выполнении данной работы при условии, что начальное и конечное ее события наступят в свои ранние сроки: .

Представим себе ситуацию развития проекта капитального строительства на производственном предприятии. Проект успешно инициирован и полным ходом идут работы по его планированию. Сформирована и утверждена , план по вехам принят. Разработан первичный вариант календарного плана. Поскольку задача оказалась достаточно масштабной, куратор принял решение о разработке еще и сетевой модели. Расчет сетевого графика в прикладном аспекте его исполнения является предметом настоящей статьи.

Перед стартом моделирования

Методологический базис сетевого проектного планирования представлен на нашем сайте несколькими статьями. Я лишь сошлюсь на две из них. Это материалы, посвященные в целом и непосредственно . Если в ходе повествования у вас будут возникать вопросы, просмотрите ранее представленные осмысления, основная суть методологии в них изложена. В настоящей статье мы рассмотрим небольшой пример локальной части комплекса строительно-монтажных работ в рамках значительной проектной реализации. Расчеты и моделирование будем выполнять методом «вершина-работа» и классическим табличным способом («вершина-событие») с применением МКР (метода критического пути).

Построение сетевого графика мы начнем на основе первой итерации календарного плана, выполненного в форме диаграммы Ганта. Для целей наглядности предлагаю не учитывать отношения предшествования и максимально упростить последовательность действий. Хотя на практике такое бывает редко, представим в нашем примере, что операции выстроены в последовательность вида «окончание-начало». Ниже вашему вниманию представляются две таблицы: выписка из списка работ проекта (фрагмент из 15-ти операций) и список параметров сетевой модели, необходимый для представления формул.

Пример фрагмента списка операций инвестиционного проекта

Список параметров сетевой модели, подлежащих расчету

Пусть вас не пугает обилие элементов. Построение сетевой модели и расчет параметров достаточно просто выполнить. Важно тщательно подготовиться, иметь под рукой иерархическую структуру работ, линейный график Ганта – в общем, все, что дает возможность определиться с последовательностью и взаимосвязями действий. Еще в первые разы выполнения графика я рекомендую иметь перед собой формулы расчета требуемых значений. Они представлены ниже.

Формулы расчета параметров сетевого графика

Что нам потребуется определить в ходе построения графика?

1. Раннее начало текущей работы, в которую входят несколько связей от предыдущих операций. Выбираем максимальное значение из всех ранних окончаний предыдущих операций.
2. Позднее окончание текущего действия, из которого выходят несколько связей. Выбираем минимальное значение из всех поздних начал последующих действий.
3. Последовательность работ, формирующих критический путь. У этих действий раннее и позднее начала равны, как и раннее и позднее окончание соответственно. Резерв такой операции равен 0.
4. Полные и частные резервы.
5. Коэффициенты напряженности работ. Логику формул резервов и коэффициента напряженности работы мы рассмотрим в специальном разделе.

Последовательность действий по моделированию

Шаг первый

Построение сетевого графика начинаем путем размещения прямоугольников задач последовательно слева-направо, применяя правила, описанные в предыдущих статьях. При выполнении моделирования методом «вершина-работа» основным элементом диаграммы выступает семисегментный прямоугольник, в составе которого отражены параметры начала, окончания, длительности, резерва времени и наименования или номера операций. Схема представления ее параметров показана далее.

Схема изображения работы на сетевом графике

Результат первого этапа построения сетевого графика

В соответствии с логикой последовательности операций с помощью специализированной программы, MS Visio или любого редактора размещаем образы работ в заданном выше формате. В первую очередь заполняем наименования выполняемых действий, их номера и длительность. Рассчитываем раннее начало и раннее окончание с учетом формулы раннего начала текущего действия в условиях нескольких входящих связей. И так проходим до завершающей фрагмент операции. При этом, в нашем примере проекта тем же графиком Ганта не предусмотрены исходящие связи от операций 11, 12, 13 и 14. «Подвешивать» их на сетевой модели недопустимо, поэтому мы добавляем фиктивные связи к конечной работе фрагмента, выделенные на рисунке синим цветом.

Шаг второй

Находим критический путь. Как известно, это путь, имеющий самую большую продолжительность действий, которые в него входят. Просматривая модель, мы выбираем связи между работами, имеющими максимальные значения раннего окончания действий. Намеченный критический путь выделяем стрелочками красного цвета. Полученный результат представлен на промежуточной схеме далее.

Схема сетевого графика с выделенным критическим путем

Шаг третий

Заполняем значения позднего окончания, позднего начала и полного резерва работ. Для выполнения расчета переходим к конечной работе и берем ее за последнюю операцию критического пути. Это означает, что поздние значения окончания и начала идентичны ранним, и от последней операции фрагмента мы начинаем двигаться в обратную сторону, заполняя нижнюю строку схематического представления действия. Модель выполнения расчета показана ниже на схеме.

Схема расчета поздних начал и окончаний вне критического пути

Итоговый вид сетевого графика

Шаг четвертый

Четвертым шагом алгоритма сетевого моделирования и расчетов выполняется вычисление резервов и коэффициента напряженности. Первым делом имеет смысл обратить внимание на полные резервы путей некритических направлений (R). Они определяются путем вычитания из продолжительности критического пути временной длительности каждого из этих путей, пронумерованных на схеме итогового сетевого графика.

• R пути под номером 1 = 120 – 101 = 19;
• R пути под номером 2 = 120 – 84 = 36;
• R пути под номером 3 = 120 – 104 = 16;
• R пути под номером 4 = 120 – 115 = 5;
• R пути под номером 5 = 120 – 118 = 2;
• R пути под номером 6 = 120 – 115 = 5.

Дополнительные расчеты модели

Выполнение расчета общего резерва текущей операции производится путем вычитания из значения позднего начала раннего начала или из позднего окончания раннего окончания (см. схему расчета выше). Общий (полный) резерв показывает нам возможность начала текущей работы позже или увеличения продолжительности на длительность резерва. Но нужно понимать, что пользоваться полным резервом следует с большой осторожностью, потому что работы, стоящие от текущего события дальше остальных, могут оказаться без запаса времени.

Помимо полных резервов в сетевом моделировании оперируют также и частными или свободными резервами, которые представляют собой разницу между ранним началом последующей работы и ранним окончанием текущей. Частный резерв показывает, есть ли возможность сдвинуть ранее начало операции вперед без ущерба для начала следующей процедуры и всему графику в целом. Следует помнить, что сумма всех частных резервных значений тождественна полному значению резерва для рассматриваемого пути.

Главной задачей выполнения вычислений различных параметров является оптимизация сетевого графика и оценка вероятности выполнения проекта в срок. Одним из таких параметров является коэффициент напряженности, который показывает нам уровень сложности реализовать работу в намеченный срок. Формула коэффициента представлена выше в составе всех расчетных выражений, применяемых для анализа сетевого графика.

Коэффициент напряженности определяется как разница между единицей и частного от деления полного резерва времени работы на разницу длительности критического пути и особого расчетного значения. Это значение включает ряд отрезков критического пути, совпадающих с максимально возможным путем, к которому может быть отнесена текущая операция (i-j). Далее помещен расчет частных резервов и коэффициентов напряженности работ для нашего примера.

Таблица расчета частных резервов и коэффициента напряженности

Коэффициент напряженности варьируется от 0 до 1,0. Значение 1,0 устанавливается для работ, находящихся на критическом пути. Чем ближе значение некритической операции к 1,0, тем труднее удержаться в плановых сроках ее реализации. После того, как значения коэффициента по всем действиям графика посчитаны, операции, в зависимости от уровня этого параметра, могут быть отнесены к категории:

• критической зоны (Кн более 0,8);
• подкретической зоны (Кн более или равно 0,6, но менее или равно 0,8);
• резервной зоны (Кн менее 0,6).

Оптимизация сетевой модели, нацеленная на сокращение общей продолжительности проекта, как правило, обеспечивается следующими мероприятиями.

1. Перераспределение ресурсов в пользу наиболее напряженных процедур.
2. Снижение трудоемкости операций, расположенных на критическом пути.
3. Распараллеливание работ критического пути.
4. Переработка структуры сети и состава операций.

Использование табличного метода

Общепризнанные ПП календарного планирования (MS Project, Primavera Suretrack, OpenPlan и т.п.) способны вычислять ключевые параметры сетевой модели проекта. Мы же в настоящем разделе табличным методом выполним настройку подобного расчета обычными средствами MS Excel. Для этого возьмем наш пример фрагмента проектных операций проекта в области СМР. Расположим основные параметры сетевого графика в столбах электронной таблицы.

Модель расчета параметров сетевого графика табличным способом

Преимуществом выполнения расчетов табличным способом является возможность простой автоматизации вычислений и избежание массы ошибок, связанных с человеческим фактором. Красным цветом будем выделять номера операций, располагающихся на критическом пути, а синим цветом отметим расчетные позиции частных резервов, превышающих нулевое значение. Разберем пошагово расчет параметров сетевого графика по основным позициям.

1. Ранние начала операций, следующих за текущей работой . Алгоритм расчета настраиваем на выбор максимального значения из раннего времени окончания нескольких альтернативных предыдущих действий. Взять, например, операцию под номером 13. Ей предшествуют работы 6, 7, 8. Из трех ранних окончаний (71, 76, 74 соответственно) нам нужно выбрать максимальное значение – 76 и проставить его в качестве раннего начала операции 13.
2. Критический путь . Выполняя процедуру расчета по пункту 1 алгоритма, мы доходим до конца фрагмента, найдя значение продолжительности критического пути, которая в нашем примере составила 120 дней. Значения наибольших ранних окончаний среди альтернативных действий обозначают операции, лежащие на критическом пути. Отмечаем эти операции красным цветом.
3. Поздние окончания операций, предшествующих текущей работе . Начиная с концевой работы начинаем движение в обратную сторону от действий с большими номерами к операциям с меньшими. При этом из нескольких альтернатив исходящих работ выбираем наименьшее знание позднего начала. Поздние начала вычисляем как разницу между выбранными значениями поздних окончаний и продолжительности операций.
4. Резервы операций . Вычисляем полные (общие) резервы как разницу между поздними началами и ранними началами либо между поздними окончаниями и ранними окончаниями. Значения частных (свободных) резервов получаем в результате вычитания из числа раннего начала следующей операции раннего окончания текущей.

Мы рассмотрели практические механизмы составления сетевого графика и расчета основных параметров временной продолжительности проекта. Таким образом, вплотную приблизились к исследованию возможностей анализа, проводимого с целью оптимизации сетевой модели и формирования непосредственно плана действий по улучшению ее качества. Настоящая тема занимает немного места в комплексе знаний проект-менеджера и не так уж и сложна для восприятия. Во всяком случае, каждый РМ обязан уметь воспроизводить визуализацию графика и выполнять сопутствующие расчеты на хорошем профессиональном уровне.

Управление проектными работами по созданию производственного участка осуществляется с помощью сетевого планирования. В данном разделе необходимо на основе разработанной сетевой модели плана работ на предынвестиционном этапе проекта (рис.5) рассчитать основные параметры сети и определить стоимость предпроектных исследований, инженерных и проектных работ (смета затрат) для оценки величины предпроизводственных капитальных вложений.

Исходные данные о длительности выполнения отдельных работ сетевого графика и количестве исполнителей задаются самостоятельно экспертным путем (исходя из продолжительности выполнения всех работ – 60...80 дней) и заносятся в табл. 11 (t min – оптимистическая оценка, t max – пессимистическая оценка, в днях; НС- научный сотрудник, И- инженер-исследователь, Э- экономист).

Рис. 5. Сетевой график разработки инвестиционного проекта

Ожидаемая продолжительность работ сетевого графика рассчитывается по формуле

t ож = (3 t min + 2 t max)/5 , дней. (14)

Дисперсия среднеквадратичного отклонения s ij 2 от ожидаемой продолжительности работ определяется по формуле

s ij 2 = 0,04(t max – t min) 2 . (15)

Результаты расчетов сводятся в табл. 11. Ожидаемая продолжительность проставляется над стрелками сетевого графика (см. рис.5).

Расчет основных параметров сетевого графика выполняется непосредственно на нём самом и в табл. 12. Для этого каждый кружок, изображающий событие, делится на четыре части (рис. 6).

Рис. 6. Параметры события

Заполнение секторов выполняется в построенном сетевом графике по следующим правилам.

1. Заполняются верхние секторы номерами событий i.

2. Заполняются левые секторы в последовательности от исходного (нулевого) события к завершающему с одновременным расчетов ранних сроков событий по формуле Тp j = max (Тp i + t i j) (16)

где t i j – ожидаемая продолжительность работы между предшествующим i и последующим j событиями.

Таблица 11

3. Для завершающего события всегда Т Р = Т n , поэтому цифра из левого сектора переносится в правый сектор.

4. Дальнейшее заполнение правых секторов идет от последнего (завершающего) события к исходному с одновременным расчетом поздних сроков по формуле

Тп i = min (Тп i – t i j). (17)

5. В нижний сектор заносится значение резерва события, вычисляемое как

Ri = Тп i – Тp i . (18)

6. Расчет резервов работ полного Rп ij и свободного Rс ij выполняется по формулам

Rп i j = Тп j – Тp i – t i j ;

Rc i j = Тp j – Тp i – t i j. (19)

7. Критический путь t(L кр) определяется как путь, проходящий через события, не имеющие резервов времени (т.е. Ri = 0, Rп i j = 0, Rc i j = 0).

Рассчитанные значения параметров сетевого графика заносятся в табл. 12.

Таблица 12

Значения коэффициентов напряженности работ Kн i j определяется как отношение несовпадающих отрезков максимального пути к критическому пути, проходящему через одноименные события

(20)

где t′ (L кр) – совпадающие отрезки измеряемого и критического пути.

Градация коэффициентов напряженности проводится по трем зонам: избыточной К Н ij < 0,5 , промежуточной 0,5 £ К Н ij £ 0,8 и критической К Н ij > 0,8. Работы критической и избыточной зон сетевого графика можно выделить цветом на сетевом графике.

Учет колебаний сроков свершения событий (s ij 2 – дисперсия) сетевого графика позволяет оценить вероятность наступления завершающего события в директивный срок. Исходя из допущения, что значение критического пути t (L кр) подчиняется закону нормального распределения, необходимо рассчитать эту вероятность, используя аргумент функции распределения вероятностей χ (функции Лапласа) ______

χ = (t дир – t кр) /(√ ∑(s ij 2)), (21)

где t дир – директивный срок разработки проекта (принять равным 0,95 от t кр); ∑(s ij 2) – сумма дисперсий длительностей работ на критическом пути (находится из табл. 11).

Значения вероятности p к в зависимости от c находятся по табл. 13.

Таблица 13

Для оценки полученного значения p к имеются вполне определенные границы:

p к > 0,65 – на критическом пути имеются избыточные ресурсы;

p к < 0,35 – вероятность срыва директивных сроков очень велика, необходимо перепланирование сети;

0,35 £ p к £ 0,65 – наступление директивного срока достаточно вероятно.

Составление сметы затрат проектных работ следует начать с расчета заработной платы исполнителей по отдельным этапам работ. Расчет заработной платы выполняется в табл. 14.

• 1. Выделить критический путь и найти его длину;
• 2. Определить резервы времени каждого события;
• 3. Определить резервы времени всех работ и коэффициент напряженности работы предпоследней работы

Решение

Для решения задачи применим следующие обозначения.

Для определения резервов времени по событиям сети рассчитывают наиболее ранние t p и наиболее поздние t п сроки свершения событий. Любое событие не может наступить прежде, чем свершаться все предшествующие ему события и не будут выполнены все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок tp(i) свершения i-ого события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

t p (i) = max(t(L ni)) (1)

где L ni - любой путь, предшествующий i-ому событию, то есть путь от исходного до i-ого события сети.

Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле:

t p (j) = max (2)

Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из следующих за ним путей не превысит длины критического пути. Поэтому поздний (или предельный) срок t п (i) свершения i-ого события равен:

t п (i) = t kp - max(t(L ci)) (3)

где Lci - любой путь, следующий за i-ым событием, т.е. путь от i-ого до завершающего события сети.

Если событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле:

t п (i) = min

Резерв времени R(i) i-ого события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

R(i) = t п (i) - t p (i)

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события. Таким образом, определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути.

При определении ранних сроков свершения событий tp(i) двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1), (2).

Расчет сроков свершения событий.

Для i=0 (начального события), очевидно tp(0)=0.

i=1: t p (1) = t p (0) + t(0,1) = 0 + 0 = 0.

i=2: t p (2) = t p (1) + t(1,2) = 0 + 8 = 8.

i=3: t p (3) = t p (1) + t(1,3) = 0 + 3 = 3.

i=4: max(t p (2) + t(2,4);t p (3) + t(3,4)) = max(8 + 6;3 + 3) = 14.

i=5: tp(5) = tp(4) + t(4,5) = 14 + 0 = 14.

i=6: max(t p (4) + t(4,6);t p (5) + t(5,6)) = max(14 + 5;14 + 3) = 19.

i=7: t p (7) = t p (6) + t(6,7) = 19 + 9 = 28.

i=8: max(t p (2) + t(2,8);t p (6) + t(6,8);t p (7) + t(7,8)) = max(8 + 18;19 + 5;28 + 4) = 32.

i=9: max(t p (5) + t(5,9);t p (7) + t(7,9)) = max(14 + 2;28 + 4) = 32.

i=10: max(t p (4) + t(4,10);t p (7) + t(7,10);t p (9) + t(9,10)) = max(14 + 4;28 + 2;32 + 0) = 32.

i=11: max(t p (8) + t(8,11);t p (10) + t(10,11)) = max(32 + 12;32 + 4) = 44.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 11: t kp =tp(11)=44

При определении поздних сроков свершения событий t п (i) двигаемся по сети в обратном направлении, то есть справа налево и используем формулы (3), (4).

Для i=11 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): t п (11)= t р (11)=44

i=10: t п (10) = t п (11) - t(10,11) = 44 - 4 = 40.

i=9: t п (9) = t п (10) - t(9,10) = 40 - 0 = 40.

Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 8.

i=8: t п (8) = t п (11) - t(8,11) = 44 - 12 = 32.

Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 7.

i=7: min(t п (8) - t(7,8);t п (9) - t(7,9);t п (10) - t(7,10)) = min(32 - 4;40 - 4;40 - 2) = 28.

i=6: min(t п (7) - t(6,7);t п (8) - t(6,8)) = min(28 - 9;32 - 5) = 19.

Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 5.

i=5: min(t п (6) - t(5,6);t п (9) - t(5,9)) = min(19 - 3;40 - 2) = 16.

i=4: min(t п (5) - t(4,5);t п (6) - t(4,6);t п (10) - t(4,10)) = min(16 - 0;19 - 5;40 - 4) = 14.

Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 3.

i=3: t п (3) = t п (4) - t(3,4) = 14 - 3 = 11.

i=2: min(t п (4) - t(2,4);t п (8) - t(2,8)) = min(14 - 6;32 - 18) = 8.

i=1: min(t п (2) - t(1,2);t п (3) - t(1,3)) = min(8 - 8;11 - 3) = 0.

(0,1): 0 - 0 = 0;

Таблица 1 - Расчет резерва событий

Заполнение таблицы 2.

Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы. При этом работы следует записывать в графу 2 последовательно: сначала начиная с номера 0, затем с номера 1 и т.д.

Во второй графе поставим число, характеризующее количество непосредственно предшествующих работ (КПР) тому событию, с которого начинается рассматриваемая работа.

Так, для работы (1,2) в графу 1 поставим число 1, т.к. на номер 1 оканчиваются 1 работы: (0,1).

Графу 4 получаем из таблицы 1 (t p (i)). Графу 7 получаем из таблицы 1 (t п (i)).

Значения в графе 5 получаются в результате суммирования граф 3 и 4.

В графе 6 позднее начало работы определяется как разность позднего окончания этих работ и их продолжительности (из значений графы 7 вычитаются данные графы 3);

Содержимое графы 8 (полный резерв времени R(ij)) равно разности граф 6 и 4 или граф 7 и 5. Если R(ij) равен нулю, то работа является критической

Таблица 2 - Анализ сетевой модели по времени

Следует отметить, что кроме полного резерва времени работы, выделяют еще три разновидности резервов. Частный резерв времени первого вида R 1 - часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. R 1 находится по формуле:

R(i,j)= R п (i,j) - R(i)

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени Rc работы (i,j) представляет собой часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Rc находится по формуле:

R(i,j)= R п (i,j) - R(j)

Значение свободного резерва времени работы указывает на расположение резервов, необходимых для оптимизации.

Независимый резерв времени Rн работы (i,j) - часть полного резерва, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие начинаются в ранние сроки. Rн находится по формуле:

R(i,j)= Rп(i,j)- R(i) - R(j)

Критический путь : (0,1)(1,2)(2,4)(4,6)(6,7)(7,8)(8,11)

Продолжительность критического пути: 44

Найдем коэффициент напряженности работы предпоследней работы. Так как длина критического пути 44, максимальный путь, проходящий через работу (1,10) равен 32, тогда

К(1,10)=(32-28)/(44-28)=0,296.

4. Интернет-провайдер в небольшом городе имеет 5 выделенных каналов обслуживания. В среднем на обслуживание одного клиента уходит 25 минут. В систему в среднем поступает 6 акзаов в час. Если свобдных каналов нет, следует отказ. Определить характеристики обслуживания: вероятность отказа, среднее число занятых обслуживанием линий связи, абсолютную и относительную пропускные способности, вероятность обслуживания. Найти число выделенных каналов, при котором относительная пропускная способность системы будет не менее 0,95. Считать, что потоки заявок и обслуживаний простейшие

Интенсивность потока обслуживания:

Интенсивность нагрузки:

с = л * t обс = 6 * 25/60 = 2.5

Интенсивность нагрузки с=2.5 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p 1 = с 1 /1! p 0 = 2.5 1 /1! * 0.0857 = 0.214

заняты 2 канала:

p 2 = с 2 /2! p 0 = 2.5 2 /2! * 0.0857 = 0.268

заняты 3 канала:

p 3 = с 3 /3! p 0 = 2.5 3 /3! * 0.0857 = 0.223

заняты 4 канала:

p 4 = с 4 /4! p 0 = 2.5 4 /4! * 0.0857 = 0.139

заняты 5 канала:

p 5 = с 5 /5! p 0 = 2.5 5 /5! * 0.0857 = 0.0697

Вероятность отказа- это доля заявок, получивших отказ:

Значит, 7% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

Вероятность обслуживания поступающих заявок -вероятность того, что клиент будет обслужен:

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p отк + p обс = 1

Относительная пропускная способность Q = p обс .

p обс = 1 - p отк = 1 - 0.0697 = 0.93

Следовательно, 93% из числа поступивших заявок будут обслужены. Среднее число каналов, занятых обслуживанием

n з = с * p обс = 2.5 * 0.93 = 2.326 канала.

Среднее число простаивающих каналов .

n пр = n - n з = 5 - 2.326 = 2.7 канала.

Коэффициент занятости каналов обслуживанием .

Следовательно, система на 50% занята обслуживанием.

Абсолютная пропускная способность

A = pобс * л = 0.93 * 6 = 5.581 заявок/час.

Среднее время простоя СМО .

t пр = p отк * t обс = 0.0697 * 0.417 = 0.029 час.

Среднее число обслуживаемых заявок .

L обс = с * Q = 2.5 * 0.93 = 2.326 ед.

Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла).

Число заявок, получивших отказ в течение часа: л * p 1 = 0.418 заявок в час.

Номинальная производительность СМО: 5 / 0.417 = 12.002 заявок в час.

Фактическая производительность СМО: 5.581 / 12.002 = 47% от номинальной производительности.

Определим количество каналов, необходимых для обеспечения работоспособности системы с вероятностью P ? 0.95

Для этого находим n из условия:

Найдем вероятность того, что если в системе будет 6 каналов и все они будут заняты: