Большой класс систем, которые сложно изучить аналитическими способами, но которые хорошо изучаются методами статистического моделирования, сводится к системам массового обслуживания (СМО).

В СМО подразумевается, что есть типовые пути (каналы обслуживания), через которые в процессе обработки проходят заявки . Принято говорить, что заявки обслуживаются каналами. Каналы могут быть разными по назначению, характеристикам, они могут сочетаться в разных комбинациях; заявки могут находиться в очередях и ожидать обслуживания. Часть заявок может быть обслужена каналами, а части могут отказать в этом. Важно, что заявки, с точки зрения системы, абстрактны: это то, что желает обслужиться, то есть пройти определенный путь в системе. Каналы являются также абстракцией: это то, что обслуживает заявки.

Заявки могут приходить неравномерно, каналы могут обслуживать разные заявки за разное время и так далее, количество заявок всегда весьма велико. Все это делает такие системы сложными для изучения и управления, и проследить все причинно-следственные связи в них не представляется возможным. Поэтому принято представление о том, что обслуживание в сложных системах носит случайный характер.

Примерами СМО (см. табл. 30.1) могут служить: автобусный маршрут и перевозка пассажиров; производственный конвейер по обработке деталей; влетающая на чужую территорию эскадрилья самолетов, которая «обслуживается» зенитками ПВО; ствол и рожок автомата, которые «обслуживают» патроны; электрические заряды, перемещающиеся в некотором устройстве и т. д.

Таблица 30.1. Примеры систем массового обслуживания

СМО	Заявки	Каналы
Автобусный маршрут и перевозка пассажиров	Пассажиры	Автобусы
Производственный конвейер по обработке деталей	Детали, узлы	Станки, склады
Влетающая на чужую территорию эскадрилья самолетов, которая «обслуживается» зенитками ПВО	Самолеты	Зенитные орудия, радары, стрелки, снаряды
Ствол и рожок автомата, которые «обслуживают» патроны	Патроны	Ствол, рожок
Электрические заряды, перемещающиеся в некотором устройстве	Заряды	Каскады технического устройства

Но все эти системы объединены в один класс СМО, поскольку подход к их изучению един. Он состоит в том, что, во-первых , с помощью генератора случайных чисел разыгрываются случайные числа, которые имитируют СЛУЧАЙНЫЕ моменты появления заявок и время их обслуживания в каналах. Но в совокупности эти случайные числа, конечно, подчинены статистическим закономерностям.

К примеру, пусть сказано: «заявки в среднем приходят в количестве 5 штук в час». Это означает, что времена между приходом двух соседних заявок случайны, например: 0.1; 0.3; 0.1; 0.4; 0.2, как это показано на рис. 30.1 , но в сумме они дают в среднем 1 (обратите внимание, что в примере это не точно 1, а 1.1 — но зато в другой час эта сумма, например, может быть равной 0.9); и только за достаточно большое время среднее этих чисел станет близким к одному часу.

Результат (например, пропускная способность системы), конечно, тоже будет случайной величиной на отдельных промежутках времени. Но измеренная на большом промежутке времени, эта величина будет уже, в среднем, соответствовать точному решению. То есть для характеристики СМО интересуются ответами в статистическом смысле.

Итак, систему испытывают случайными входными сигналами, подчиненными заданному статистическому закону, а в качестве результата принимают статистические показатели, усредненные по времени рассмотрения или по количеству опытов. Ранее, в лекции 21 (см. рис. 21.1), мы уже разработали схему для такого статистического эксперимента (см. рис. 30.2 ).

Рис. 30.2. Схема статистического эксперимента для изучения систем массового обслуживания

Во-вторых , все модели СМО собираются типовым образом из небольшого набора элементов (канал, источник заявок, очередь, заявка, дисциплина обслуживания, стек, кольцо и так далее), что позволяет имитировать эти задачи типовым образом. Для этого модель системы собирают из конструктора таких элементов. Неважно, какая конкретно система изучается, важно, что схема системы собирается из одних и тех же элементов. Разумеется, структура схемы будет всегда различной.

Перечислим некоторые основные понятия СМО.

Каналы — то, что обслуживает; бывают горячие (начинают обслуживать заявку в момент ее поступления в канал) и холодные (каналу для начала обслуживания требуется время на подготовку). Источники заявок — порождают заявки в случайные моменты времени, согласно заданному пользователем статистическому закону. Заявки , они же клиенты , входят в систему (порождаются источниками заявок), проходят через ее элементы (обслуживаются), покидают ее обслуженными или неудовлетворенными. Бывают нетерпеливые заявки — такие, которым надоело ожидать или находиться в системе и которые покидают по собственной воле СМО. Заявки образуют потоки — поток заявок на входе системы , поток обслуженных заявок, поток отказанных заявок. Поток характеризуется количеством заявок определенного сорта, наблюдаемым в некотором месте СМО за единицу времени (час, сутки, месяц), то есть поток есть величина статистическая.

Очереди характеризуются правилами стояния в очереди (дисциплиной обслуживания), количеством мест в очереди (сколько клиентов максимум может находиться в очереди), структурой очереди (связь между местами в очереди). Бывают ограниченные и неограниченные очереди. Перечислим важнейшие дисциплины обслуживания. FIFO (First In, First Out — первым пришел, первым ушел): если заявка первой пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание. LIFO (Last In, First Out — последним пришел, первым ушел): если заявка последней пришла в очередь, то она первой уйдет на обслуживание (пример — патроны в рожке автомата). SF (Short Forward — короткие вперед): в первую очередь обслуживаются те заявки из очереди, которые имеют меньшее время обслуживания.

Дадим яркий пример, показывающий, как правильный выбор той или иной дисциплины обслуживания позволяет получить ощутимую экономию по времени.

Пусть имеется два магазина. В магазине № 1 обслуживание осуществляется в порядке очереди, то есть здесь реализована дисциплина обслуживания FIFO (см. рис. 30.3 ).

Рис. 30.3. Организация очереди по дисциплине FIFO

Время обслуживания t обслуж. на рис. 30.3 показывает, сколько времени продавец затратит на обслуживание одного покупателя. Понятно, что при покупке штучного товара продавец затратит меньше времени на обслуживание, чем при покупке, скажем, сыпучих продуктов, требующих дополнительных манипуляций (набрать, взвесить, высчитать цену и т. п). Время ожидания t ожид. показывает, через какое время очередной покупатель будет обслужен продавцом.

В магазине № 2 реализована дисциплина SF (см. рис. 30.4 ), означающая, что штучный товар можно купить вне очереди, так как время обслуживания t обслуж. такой покупки невелико.

Рис. 30.4. Организация очереди по дисциплине SF

Как видно из обоих рисунков, последний (пятый) покупатель собирается приобрести штучный товар, поэтому время его обслуживания невелико — 0.5 минут. Если этот покупатель придет в магазин № 1, он будет вынужден выстоять в очереди целых 8 минут, в то время как в магазине № 2 его обслужат сразу же, вне очереди. Таким образом, среднее время обслуживания каждого из покупателей в магазине с дисциплиной обслуживания FIFO составит 4 минуты, а в магазине с дисциплиной обслуживания КВ — лишь 2.8 минуты. А общественная польза, экономия времени составит: (1 – 2.8/4) · 100% = 30 процентов! Итак, 30% сэкономленного для общества времени — и это лишь за счет правильного выбора дисциплины обслуживания.

Специалист по системам должен хорошо понимать ресурсы производительности и эффективности проектируемых им систем, скрытые в оптимизации параметров, структур и дисциплинах обслуживания. Моделирование помогает выявить эти скрытые резервы .

При анализе результатов моделирования важно также указать интересы и степень их выполнения. Различают интересы клиента и интересы владельца системы. Заметим, что эти интересы совпадают не всегда.

Судить о результатах работы СМО можно по показателям . Наиболее популярные из них:

• вероятность обслуживания клиента системой;
• пропускная способность системы;
• вероятность отказа клиенту в обслуживании;
• вероятность занятости каждого из канала и всех вместе;
• среднее время занятости каждого канала;
• вероятность занятости всех каналов;
• среднее количество занятых каналов;
• вероятность простоя каждого канала;
• вероятность простоя всей системы;
• среднее количество заявок, стоящих в очереди;
• среднее время ожидания заявки в очереди;
• среднее время обслуживания заявки;
• среднее время нахождения заявки в системе.

Судить о качестве полученной системы нужно по совокупности значений показателей. При анализе результатов моделирования (показателей) важно также обращать внимание на интересы клиента и интересы владельца системы , то есть минимизировать или максимизировать надо тот или иной показатель, а также на степень их выполнения. Заметим, что чаще всего интересы клиента и владельца между собой не совпадают или совпадают не всегда. Показатели будем обозначать далее H = {h 1 , h 2 , …} .

Параметрами СМО могут быть: интенсивность потока заявок, интенсивность потока обслуживания, среднее время, в течение которого заявка готова ожидать обслуживания в очереди, количество каналов обслуживания, дисциплина обслуживания и так далее. Параметры — это то, что влияет на показатели системы. Параметры будем обозначать далее как R = {r 1 , r 2 , …} .

Пример. Автозаправочная станция (АЗС) .

1. Постановка задачи . На рис. 30.5 приведен план АЗС. Рассмотрим метод моделирования СМО на ее примере и план ее исследования. Водители, проезжая по дороге мимо АЗС по дороге, могут захотеть заправить свой автомобиль. Хотят обслужиться (заправить машину бензином) не все автомобилисты подряд; допустим, что из всего потока машин на заправку в среднем заезжает 5 машин в час.

Рис. 30.5. План моделируемой АЗС

На АЗС две одинаковые колонки, статистическая производительность каждой из которых известна. Первая колонка в среднем обслуживает 1 машину в час, вторая в среднем — 3 машины в час. Владелец АЗС заасфальтировал для машин место, где они могут ожидать обслуживания. Если колонки заняты, то на этом месте могут ожидать обслуживания другие машины, но не более двух одновременно. Очередь будем считать общей. Как только одна из колонок освободится, то первая машина из очереди может занять ее место на колонке (при этом вторая машина продвигается на первое место в очереди). Если появляется третья машина, а все места (их два) в очереди заняты, то ей отказывают в обслуживании, так как стоять на дороге запрещено (см. дорожные знаки около АЗС). Такая машина уезжает прочь из системы навсегда и как потенциальный клиент является потерянной для владельца АЗС. Можно усложнить задачу, рассмотрев кассу (еще один канал обслуживания, куда надо попасть после обслуживания в одной из колонок) и очередь к ней и так далее. Но в простейшем варианте очевидно, что пути движения потоков заявок по СМО можно изобразить в виде эквивалентной схемы, а добавив значения и обозначения характеристик каждого элемента СМО, получаем окончательно схему, изображенную на рис. 30.6 .

Рис. 30.6. Эквивалентная схема объекта моделирования

2. Метод исследования СМО . Применим в нашем примере принцип последовательной проводки заявок (подробно о принципах моделирования см. лекцию 32). Его идея заключается в том, что заявку проводят через всю систему от входа до выхода, и только после этого берутся за моделирование следующей заявки.

Для наглядности построим временную диаграмму работы СМО, отражая на каждой линейке (ось времени t ) состояние отдельного элемента системы. Временных линеек проводится столько, сколько имеется различных мест в СМО, потоков. В нашем примере их 7 (поток заявок, поток ожидания на первом месте в очереди, поток ожидания на втором месте в очереди, поток обслуживания в канале 1, поток обслуживания в канале 2, поток обслуженных системой заявок, поток отказанных заявок).

Для генерации времени прихода заявок используем формулу вычисления интервала между моментами прихода двух случайных событий (см. лекцию 28):

В этой формуле величина потока λ должна быть задана (до этого она должна быть определена экспериментально на объекте как статистическое среднее), r — случайное равномерно распределенное число от 0 до 1 из ГСЧ или таблицы , в которой случайные числа нужно брать подряд (не выбирая специально).

Задача . Сгенерируйте поток из 10 случайных событий с интенсивностью появления событий 5 шт/час.

Решение задачи . Возьмем случайные числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1 (см. таблицу), и вычислим их натуральные логарифмы (см. табл. 30.2).

Формула пуассоновского потока определяет расстояние между двумя случайными событиями следующим образом: t = –Ln(r рр)/λ . Тогда, учитывая, что λ = 5 , имеем расстояния между двумя случайными соседними событиями: 0.68, 0.21, 0.31, 0.12 часа. То есть события наступают: первое — в момент времени t = 0 , второе — в момент времени t = 0.68 , третье — в момент времени t = 0.89 , четвертое — в момент времени t = 1.20 , пятое — в момент времени t = 1.32 и так далее. События — приход заявок отразим на первой линейке (см. рис. 30.7 ).

Рис. 30.7. Временная диаграмма работы СМО

Берется первая заявка и, так как в этот момент каналы свободны, устанавливается на обслуживание в первый канал. Заявка 1 переносится на линейку «1 канал».

Время обслуживания в канале тоже случайное и вычисляется по аналогичной формуле:

где роль интенсивности играет величина потока обслуживания μ 1 или μ 2 , в зависимости от того, какой канал обслуживает заявку. Находим на диаграмме момент окончания обслуживания, откладывая сгенерированное время обслуживания от момента начала обслуживания, и опускаем заявку на линейку «Обслуженные».

Заявка прошла в СМО весь путь. Теперь можно, согласно принципу последовательной проводки заявок, также проимитировать путь второй заявки.

Если в некоторый момент окажется, что оба канала заняты, то следует установить заявку в очередь. На рис. 30.7 это заявка с номером 3. Заметим, что по условиям задачи в очереди в отличие от каналов заявки находятся не случайное время, а ожидают, когда освободится какой-то из каналов. После освобождения канала заявка поднимается на линейку соответствующего канала и там организуется ее обслуживание.

Если все места в очереди в момент, когда придет очередная заявка, будут заняты, то заявку следует отправить на линейку «Отказанные». На рис. 30.7 это заявка с номером 6.

Процедуру имитации обслуживания заявок продолжают некоторое время наблюдения T н . Чем больше это время, тем точнее в дальнейшем будут результаты моделирования. Реально для простых систем выбирают T н , равное 50—100 и более часов, хотя иногда лучше мерить эту величину количеством рассмотренных заявок.

Анализ временной диаграммы

Анализ проведем на уже рассмотренном примере.

Сначала нужно дождаться установившегося режима. Откидываем первые четыре заявки как нехарактерные, протекающие во время процесса установления работы системы. Измеряем время наблюдения, допустим, что в нашем примере оно составит T н = 5 часов. Подсчитываем из диаграммы количество обслуженных заявок N обс. , времена простоя и другие величины. В результате можем вычислить показатели, характеризующие качество работы СМО.

1. Вероятность обслуживания: P обс. = N обс. /N = 5/7 = 0.714 . Для расчета вероятности обслуживания заявки в системе достаточно разделить число заявок, которым удалось обслужиться за время T н (см. линейку «Обслуженные») N обс. , на число заявок N , которые хотели обслужиться за это же время. Как и раньше вероятность экспериментально определяем отношением свершившихся событий к общему числу событий, которые могли совершиться!
2. Пропускная способность системы: A = N обс. /T н = 7/5 = 1.4 [шт/час] . Для расчета пропускной способности системы достаточно разделить число обслуженных заявок N обс. на время T н , за которое произошло это обслуживание (см. линейку «Обслуженные»).
3. Вероятность отказа: P отк. = N отк. /N = 3/7 = 0.43 . Для расчета вероятности отказа заявке в обслуживании достаточно разделить число заявок N отк. , которым отказали за время T н (см. линейку «Отказанные»), на число заявок N , которые хотели обслужиться за это же время, то есть поступили в систему. Обратите внимание . P отк. + P обс. в теории должно быть равно 1. На самом деле экспериментально получилось, что P отк. + P обс. = 0.714 + 0.43 = 1.144 . Эта неточность объясняется тем, что время наблюдения T н мало и статистика накоплена недостаточная для получения точного ответа. Погрешность это показателя сейчас составляет 14%!
4. Вероятность занятости одного канала: P 1 = T зан. /T н = 0.05/5 = 0.01 , где T зан. — время занятости только одного канала (первого или второго). Измерениям подлежат временные отрезки, на которых происходят определенные события. Например, на диаграмме ищутся такие отрезки, во время которых заняты или первый или второй канал. В данном примере есть один такой отрезок в конце диаграммы длиной 0.05 часа. Доля этого отрезка в общем времени рассмотрения (T н = 5 часов) определяется делением и составляет искомую вероятность занятости.
5. Вероятность занятости двух каналов: P 2 = T зан. /T н = 4.95/5 = 0.99 . На диаграмме ищутся такие отрезки, во время которых одновременно заняты и первый, и второй канал. В данном примере таких отрезков четыре, их сумма равна 4.95 часа. Доля продолжительности этих события в общем времени рассмотрения (T н = 5 часов) определяется делением и составляет искомую вероятность занятости.
6. Среднее количество занятых каналов: N ск = 0 · P 0 + 1 · P 1 + 2 · P 2 = 0.01 + 2 · 0.99 = 1.99 . Чтобы подсчитать, сколько каналов занято в системе в среднем, достаточно знать долю (вероятность занятости одного канала) и умножить на вес этой доли (один канал), знать долю (вероятность занятости двух каналов) и умножить на вес этой доли (два канала) и так далее. Полученная цифра 1.99 говорит о том, что из возможных двух каналов в среднем загружено 1.99 канала. Это высокий показатель загрузки, 99.5%, система хорошо использует ресурс.
7. Вероятность простоя хотя бы одного канала: P * 1 = T простоя1 /T н = 0.05/5 = 0.01 .
8. Вероятность простоя двух каналов одновременно: P * 2 = T простоя2 /T н = 0 .
9. Вероятность простоя всей системы: P * c = T простоя сист. /T н = 0 .
10. Среднее количество заявок в очереди: N сз = 0 · P 0з + 1 · P 1з + 2 · P 2з = 0.34 + 2 · 0.64 = 1.62 [шт] . Чтобы определить среднее количество заявок в очереди, надо определить отдельно вероятность того, что в очереди будет одна заявка P 1з , вероятность того, в очереди будет стоять две заявки P 2з и т. д. и снова с соответствующими весами их сложить.
11. Вероятность того, что в очереди будет одна заявка: P 1з = T 1з /T н = 1.7/5 = 0.34 (всего на диаграмме четырех таких отрезка, в сумме дающих 1.7 часа).
12. Вероятность того, в очереди будет стоять одновременно две заявки: P 2з = T 2з /T н = 3.2/5 = 0.64 (всего на диаграмме три таких отрезка, в сумме дающих 3.25 часа).
13. Среднее время ожидания заявки в очереди:

    

    (Сложить все временные интервалы, в течение которых какая-либо заявка находилась в очереди, и разделить на количество заявок). На временной диаграмме таких заявок 4.

14. Среднее время обслуживания заявки:

    

    (Сложить все временные интервалы, в течение которых какая-либо заявка находилась на обслуживании в каком-либо канале, и разделить на количество заявок).

15. Среднее время нахождения заявки в системе: T ср. сист. = T ср. ож. + T ср. обсл. .
16. Среднее количество заявок в системе:

    

    Разобьем интервал наблюдения, например, на десятиминутки. Получится на пяти часах K подынтервалов (в нашем случае K = 30 ). В каждом подынтервале определим по временной диаграмме, сколько заявок в этот момент находится в системе. Смотреть надо на 2, 3, 4 и 5-ю линейки — какие из них заняты в данный момент. Затем сумму K слагаемых усреднить.

Далее следует оценить точность каждого из полученных результатов. То есть ответить на вопрос: насколько мы можем доверять этим значениям? Оценка точности проводится по методике, описанной в лекции 34 .

Если точность не является удовлетворительной, то следует увеличить время эксперимента и тем самым улучшить статистику. Можно сделать и по-другому. Снова несколько раз запустить эксперимент на время T н . А в последствии усреднить значения этих экспериментов. И снова проверить результаты на критерий точности. Эту процедуру следует повторять до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Далее следует составить таблицу результатов и оценить значения каждого из них с точки зрения клиента и владельца СМО (см. табл. 30.3).. В конце, учитывая сказанное в каждом пункте, следует сделать общий вывод. Таблица должна иметь примерно такой вид, какой показан в табл. 30.3.

Таблица 30.3. Показатели СМО

Показатель	Формула	Значение	Интересы владельца СМО	Интересы клиента СМО
Вероятность обслуживания	P обс. = N обс. /N	0.714	Вероятность обслуживания мала, много клиентов уходят из системы неудовлетворенными, их деньги для владельца потеряны. Это «минус».	Вероятность обслуживания мала, каждый третий клиент хочет, но не может обслужиться. Это «минус».
Среднее количество заявок в очереди	N сз = 0 · P 0з + 1 · P 1з + 2 · P 2з	1.62	Очередь практически все время вся забита. Все места в очереди используются достаточно эффективно. Вложения на организацию очереди окупают затраты на нее. Это «плюс». Клиенты, которые долго стоят в очереди, могут уйти, не дождавшись обслуживания. Клиенты, простаивая, могут нанести ущерб системе, ломать оборудование. Много отказов, потерянных клиентов. Это «минусы».	Очередь практически все время вся забита. Клиенту приходится стоять в очереди, прежде чем он попадет на обслуживание. Клиент может не попасть даже в очередь. Это «минус».
Общий итог:			В интересах владельца: а) увеличить пропускную способность каналов, чтобы не терять клиентов (правда, модернизация каналов стоит денег); б) увеличить число мест в очереди (это тоже стоит денег), чтобы задержать потенциальных клиентов.	Клиенты заинтересованы в значительном увеличении пропускной способности для уменьшения времени ожидания и уменьшения отказов.

Синтез СМО

Мы проделали анализ существующей системы. Это дало возможность увидеть ее недостатки и определить направления улучшения ее качества. Но остаются непонятными ответы на конкретные вопросы, что именно надо сделать — увеличивать количество каналов или увеличивать их пропускную способность, или увеличивать количество мест в очереди, и, если увеличивать, то насколько? Есть и такие вопросы, что лучше — создать 3 канала с производительностью 5 шт/час или один с производительностью 15 шт/час?

Чтобы оценить чувствительность каждого показателя к изменению значения определенного параметра, поступают следующим образом. Фиксируют все параметры кроме одного, выбранного. Затем снимают значение всех показателей при нескольких значениях этого выбранного параметра. Конечно, приходится повторять снова и снова процедуру имитации и усреднять показатели при каждом значении параметра, оценивать точность. Но в результате получаются надежные статистические зависимости характеристик (показателей) от параметра.

Например, для 12 показателей нашего примера можно получить 12 зависимостей от одного параметра: зависимость вероятности отказов P отк. от количества мест в очереди (КМО), зависимость пропускной способности A от количества мест в очереди, и так далее (см. рис. 30.8 ).

Рис. 30.8. Примерный вид зависимостей показателей от параметров СМО

Затем так же можно снять еще 12 зависимостей показателей P от другого параметра R , зафиксировав остальные параметры. И так далее. Образуется своеобразная матрица зависимостей показателей P от параметров R , по которой можно провести дополнительный анализ о перспективах движения (улучшения показателей) в ту или иную сторону. Наклон кривых хорошо показывает чувствительность, эффект от движения по определенному показателю. В математике эту матрицу называют якобианом J , в которой роль наклона кривых играют значения производных ΔP i /ΔR j , см. рис. 30.9 . (Напомним, что производная связана геометрически с углом наклона касательной к зависимости.)

Рис. 30.9. Якобиан — матрица чувствительностей показателей
в зависимости от изменения параметров СМО

Если показателей 12, а параметров, например, 5, то матрица имеет размерность 12 x 5. Каждый элемент матрицы — кривая, зависимость i -го показателя от j -го параметра. Каждая точка кривой — среднее значение показателя на достаточно представительном отрезке T н или усреднено по нескольким экспериментам.

Следует понимать, что кривые снимались в предположении того, что все параметры кроме одного в процессе их снятия были неизменны. (Если бы все параметры меняли значения, то кривые были бы другими. Но так не делают, так как получится полная неразбериха и зависимостей не будет видно.)

Поэтому, если на основании рассмотрения снятых кривых принимается решение о том, что некоторый параметр будет в СМО изменен, то все кривые для новой точки, в которой опять будет исследоваться вопрос о том, какой параметр следует изменить, чтобы улучшить показатели, следует снимать заново .

Так шаг за шагом можно попытаться улучшить качество системы. Но пока эта методика не может ответить на ряд вопросов. Дело в том, что, во-первых, если кривые монотонно растут, то возникает вопрос, где же все-таки следует остановиться. Во-вторых, могут возникать противоречия, один показатель может улучшаться при изменении выбранного параметра, в то время как другой будет одновременно ухудшаться. В-третьих, ряд параметров сложно выразить численно, например, изменение дисциплины обслуживания, изменение направлений потоков, изменение топологии СМО. Поиск решения в двух последних случаях проводится с применением методов экспертизы (см. лекцию 36. Экспертиза) и методами искусственного интеллекта (см. .

Поэтому сейчас обсудим только первый вопрос. Как принять решение, каким должно быть все-таки значение параметра, если с его ростом показатель все время монотонно улучшается? Вряд ли значение бесконечности устроит инженера.

Параметр R — управление, это то, что находится в распоряжении владельца СМО (например, возможность заасфальтировать площадку и тем самым увеличить количество мест в очереди, поставить дополнительные каналы, увеличить поток заявок за счет увеличения затрат на рекламу и так далее). Меняя управление, можно влиять на значение показателя P , цель, критерий (вероятность отказов, пропускную способность, среднее время обслуживания и так далее). Из рис. 30.10 видно, что если увеличивать управление R , то можно добиться всегда улучшение показателя P . Но очевидно, что любое управление связано с затратами Z . И чем больше прилагают усилия для управления, чем больше значение управляющего параметра, тем больше затраты. Обычно затраты на управление растут линейно: Z = C 1 · R . Хотя встречаются случаи, когда, например, в иерархических системах, они растут экспоненциально, иногда — обратно экспоненциально (скидки за опт) и так далее.

Рис. 30.10. Зависимость показателя Р
от управляемого параметра R (пример)

В любом случае ясно, что когда-то вложение все новых затрат просто перестанет себя окупать. Например, эффект от заасфальтированной площадки размером в 1 км 2 вряд ли окупит затраты владельца бензоколонки в Урюпинске, там просто не будет столько желающих заправиться бензином. Иными словами показатель P в сложных системах не может расти бесконечно. Рано или поздно его рост замедляется. А затраты Z растут (см. рис. 30.11 ).

Рис. 30.11. Зависимости эффекта от применения показателя Р

Из рис. 30.11 видно, что при назначении цены C 1 за единицу затрат R и цены C 2 за единицу показателя P , эти кривые можно сложить. Кривые складывают, если их требуется одновременно минимизировать или максимизировать. Если одна кривая подлежит максимизации, а другая минимизации, то следует найти их разность, например по точкам. Тогда результирующая кривая (см. рис. 30.12 ), учитывающая и эффект от управления и затраты на это, будет иметь экстремум. Значение параметра R , доставляющего экстремум функции, и есть решение задачи синтеза .

Рис. 30.12. Суммарная зависимость эффекта от применения показателя Р
и затрат Z на его получение как функции управляемого параметра R

Кроме управления R и показателя P в системах действует возмущение. Возмущения обозначим как D = {d 1 , d 2 , …} , см. рис. 30.13 . Возмущение — это входное воздействие, которое, в отличие от управляющего параметра, не зависит от воли владельца системы. Например, низкие температуры на улице, конкуренция снижают, к сожалению, поток клиентов, поломки оборудования досадно снижают производительность системы. И управлять этими величинами непосредственно владелец системы не может. Обычно возмущение действует «назло» владельцу, снижая эффект P от управляющих усилий R . Это происходит потому, что, в общем случае, система создается для достижения целей, недостижимых самих по себе в природе. Человек, организуя систему, всегда надеется посредством ее достичь некоторой цели P . На это он затрачивает усилия R , идя наперекор природе. Система — организация доступных человеку, изученных им природных компонент для достижения некоторой новой цели, недостижимой ранее другими способами .

Рис. 30.13. Условное обозначение изучаемой системы,
на которую воздействуют управляющие воздействия R и возмущения D

Итак, если мы снимем зависимость показателя P от управления R еще раз (как показано на рис. 30.10 ), но в условиях появившегося возмущения D , то, возможно, характер кривой изменится. Скорее всего, показатель будет при одинаковых значениях управлений находиться ниже, так как возмущение носит «противный» характер, снижая показатели системы (см. рис. 30.14 ). Система, предоставленная сама себе, без усилий управляющего характера, перестает обеспечивать цель, для достижения которой она была создана . Если, как и ранее, построить зависимость затрат, соотнести ее с зависимостью показателя от параметра управления, то найденная точка экстремума сместится (см. рис. 30.15 ) по сравнению со случаем «возмущение = 0» (см. рис. 30.12 ).

Рис. 30.14. Зависимость показателя P от управляющего параметра R
при различных значениях действующих на систему возмущений D

Если снова увеличить возмущение, то кривые изменятся (см. рис. 30.14 ) и, как следствие, снова изменится положение точки экстремума (см. рис. 30.15 ).

Рис. 30.15. Нахождение точки экстремума на суммарной зависимости
при различных значениях действующего возмущающего фактора D

В конечном итоге, все найденные положения точек экстремума переносятся на новый график, где образуют зависимость Показателя P от Управляющего параметра R при изменении Возмущений D (см. рис. 30.16 ).

Рис. 30.16. Зависимость показателя P от управляющего
параметра R при изменении значений возмущений D
(кривая состоит только из точек экстремумов)

Обратите внимание, что на самом деле на этом графике могут быть и другие рабочие точки (график пронизан как бы семействами кривых), но нанесенные нами точки задают такие координаты управляющего параметра, при которых при заданных возмущениях (!) достигается наибольшее из возможных значение показателя P .

Этот график (см. рис. 30.16 ) связывает Показатель P , Управление (ресурс) R и Возмущение D в сложных системах, указывая, как действовать наилучшим образом ЛПР (лицу, принимающему решение) в условиях возникших возмущений. Теперь пользователь может, зная реальную обстановку на объекте (значение возмущения), быстро по графику определить, какое управляющее воздействие на объект необходимо, чтобы обеспечить наилучшее значение интересующего его показателя.

Заметьте, если управляющее воздействие будет меньше оптимального, то суммарный эффект снизится, возникнет ситуация недополученной прибыли. Если управляющее воздействие будет больше оптимального, то эффект также снизится, так как заплатить за очередное увеличение управляющих усилий надо будет по величине больше, чем та, которую вы получите в результате ее использования (ситуация банкротства).

Примечание . В тексте лекции мы использовали слова «управление» и «ресурс», то есть считали, что R = U . Следует пояснить, что управление действительно играет роль некоторой ограниченной ценности для владельца системы. То есть всегда является ценным для него ресурсом, за который всегда приходится платить, и которого всегда не хватает. Действительно, если бы эта величина не была ограничена, то мы бы могли достигать за счет бесконечной величины управлений бесконечно больших значений целей, а вот бесконечно больших результатов в природе явно не наблюдается.

Иногда различают собственно управление U и ресурс R , называя ресурсом некоторый запас, то есть границу возможного значения управляющего воздействия. В этом случае понятия ресурс и управление не совпадают: U < R . Иногда различают предельное значение управления U ≤ R и интегральный ресурс ∫U d t ≤ R .

Задача 1. На диспетчерский пульт поступает поток заявок, который является потоком Эрланга второго порядка. Интенсивность потока заявок равна 6 заявок в час. Если диспетчер в случайный момент оставляет пульт, то при первой же очередной заявке он обязан вернуться к пульту. Найти плотность распределения времени ожидания очередной заявки и построить ее график. Вычислить вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 10 до 20 минут. Решение . Поскольку поток Эрланга второго порядка является стационарным потоком с ограниченным последействием, то для него справедлива формула Пальма

где f1(θ)- плотность распределения вероятностей для времени ожидания первого ближайшего события;
λ - интенсивность потока;
- порядок потока;
(θ) - функция распределения вероятностей для времени между двумя соседними событиями потока Эрланга - го порядка (Э).
Известно, что функция распределения для потока Э имеет вид

. (2)

По условиям задачи поток заявок является Эрланговским порядка =2. Тогда из (1) и (2) получим
.
Из последнего соотношения при λ=6 будем иметь

f1(θ)=3е-6θ(1+6 θ), θ≥0. (3)

Построим график функции f1(θ) . При θ <0 имеем f1(θ) =0 . При θ =0 , f1(0)=3 . Рассмотрим предел

При вычислении предела для раскрытия неопределенности типа использовано правило Лопиталя . По результатам исследований строим график функции f1(θ) (Рис. 1).

Обратим внимание на размерности времени в тексте задачи: для интенсивности это заявки в час, для времени-минуты. Перейдем к одним единицам времени: 10 мин=1/6 час, 20 мин=1/3 час. Для этих значений можно вычислить f1(θ) и уточнить характер кривой

Эти ординаты указаны на графике над соответствующими точками кривой.
Из курса теории вероятностей известно, что вероятность попадания случайной величины Х в отрезок [α, β] численно равна площади под кривой плотности распределения вероятностей f(х) . Эта площадь выражается определенным интегралом

Следовательно, искомая вероятность равна

Этот интеграл легко вычисляется по частям, если положить
U=1+6θ и dV=е-6θ dθ . Тогда dU=6 dθ и V= .
Используя формулу получим

Ответ: вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 10 до 20 минут равна 0,28.

Задача 2. Дисплейный зал имеет 5 дисплеев. Поток пользователей простейший. Среднее число пользователей, посещающих дисплейный зал за сутки, равно 140. Время обработки информации одним пользователем на одном дисплее распределено по показательному закону и составляет в среднем 40 минут. Определить, существует ли стационарный режим работы зала; вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми; среднее число пользователей в дисплейном зале; среднее число пользователей в очереди; среднее время ожидания свободного дисплея; среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале. Решение. Рассматриваемая в задаче СМО относится к классу многоканальных систем с неограниченной очередью. Число каналов =5. Найдем λ-интенсивность потока заявок: где (час.) - среднее время между двумя последовательными заявками входящего потока пользователей. Тогда польз./час.

Найдем -интенсивность потока обслуживания: , где М[Т обсл.]=40 мин=0,67 часа - среднее время обслуживания одного пользователя одним дисплеем,

тогда польз/час.

Таким образом, классификатор данной системы имеет вид СМО (5, ∞; 5,85; 1,49).
Вычислим коэффициент загрузки СМО . Известно, что для СМО такого класса стационарный режим существует, если отношение коэффициента загрузки системы к числу каналов меньше единицы. Находим это отношение
.
Следовательно, стационарный режим существует. Предельное распределение вероятностей состояний вычисляется по формулам

Поскольку =5, имеем

Вычислим Р*- вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми. Очевидно, она равна сумме вероятностей таких событий: все дисплеи заняты, очереди нет (р5); все дисплеи заняты, один пользователь в очереди (р6); все дисплеи заняты, два пользователя в очереди (р7) и так далее. Поскольку для полной группы событий сумма вероятностей этих событий равна единице, то справедливо равенство

Р*=р5+р6+р7+…=1 - ро - р1 - р2 - р3 - р4.

Найдем эти вероятности: ро =0,014; р1 =3,93*0,014; р2 =7,72*0,014; р3 =10,12*0,014; р4 =9,94*0,014.
Вынося за скобки общий множитель, получим
Р*=1-0,0148*(1+3,93+7,72+10,12+9,94)=1-0,014*32,71=1-0,46=0,54.
Используя формулы для вычисления показателей эффективности? найдем:

• 1. среднее число пользователей в очереди

2. среднее число пользователей в дисплейном зале

3. среднее время ожидания свободного дисплея

4. среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале

Ответ: стационарный режим работы дисплейного зала существует и характеризуется следующими показателями Р* =0,54; пользователя; пользователя; ; .

Задача 3. В двухканальную систему массового обслуживания (СМО) с отказами поступает стационарный пуассоновский поток заявок. Время между поступлениями двух последовательных заявок распределено по показательному закону с параметром λ=5 заявок в минуту. Длительность обслуживания каждой заявки равна 0,5 мин. Методом Монте-Карло найти среднее число обслуженных заявок за время 4 мин. Указание: провести три испытания. Решение. Изобразим статистическое моделирование работы заданной СМО с помощью временных диаграмм. Введем следующие обозначения для временных осей:
Вх -входящий поток заявок, здесь ti -моменты поступления заявок; Ti -интервалы времени между двумя последовательными заявками. Очевидно, что ti =ti -1 +Т i .
К1-первый канал обслуживания;
К2-второй канал обслуживания; здесь жирные линии на временной оси обозначают интервалы занятости канала. Если оба канала свободны, то заявка становится под обслуживание в канал К1, в случае его занятости заявка обслуживается каналом К2.
Если заняты оба канала, то заявка покидает СМО необслуженной.
Вых ОБ-выходящий поток обслуженных заявок.
Вых ПТ-выходящий поток потерянных заявок за счет отказов СМО (случай занятости обоих каналов).
Статистические испытания продолжаются в течение временного интервала . Очевидно, что любое превышение времени tmax влечет за собой сброс заявки в выходящий поток Вых ПТ. Так на рис. 3 заявка №10, пришедшая в систему в момент t10 , не успевает обслужиться до момента tmax , так как t10+Тобсл.>tmax . Следовательно, она не принимается свободным каналом К1 на обслуживание и сбрасывается в Вых ПТ, получая отказ.

Рис. 3

Из временных диаграмм видно, что необходимо научиться моделировать интервалы Т i . Применим метод обратных функций. Поскольку случайная величина Тi распределена по показательному закону с параметром λ =5, то плотность распределения имеет вид f (τ)=5е-5τ . Тогда значение F(Ti) функции распределения вероятностей определяется интегралом

.

Известно, что область значений функции распределения F (T ) есть отрезок . Выбираем из таблицы случайных чисел число и определяем Т i из равенства , откуда . Однако, если . Поэтому можно сразу получать из таблицы случайных чисел реализации . Следовательно,
е-5Т i = ri , или –5Т i = lnri , откуда . Результаты вычислений удобно заносить в таблицу.
Для проведения испытания №1 были взяты случайные числа из приложения 2, начиная с первого числа первой строки. Далее выборка осуществлялась по строкам. Проведем еще два испытания.
Обратите внимание на выборку случайных чисел из таблицы приложения 2, если в испытании №1 последнее случайное число для заявки №16 было 0,37 (первое случайное число во второй строке), то испытание №2 начинается со следующего за ним случайного числа 0,54. Испытание №2 содержит последним случайное число 0,53 (пятое число в третьей строке). Следовательно, третье испытание начнется с числа 0,19. Вообще в пределах одной серии испытаний случайные числа из таблицы выбираются без пропусков и вставок по определенному порядку, например, по строкам.

Таблица 1. ИСПЫТАНИЕ №1

№ зая-вки i	Сл. число ri		-ln ri Тi	Момент поступления заявки ti=ti-1+Ti	Момент окончания обслужив. ti+0,50		Счетчик заявок
					К1

Таблица 2 ИСПЫТАНИЕ №2

№ зая-вки i	Сл. число ri		-ln ri Т i	Момент поступления заявки ti=ti-1+Ti	Момент окончания обслужив. ti+0,50		Счетчик заявок

Таблица №3 ИСПЫТАНИЕ №3

№ зая-вки i		Сл. число ri		-ln ri Т i	Момент поступления заявки ti=ti-1+Ti	Момент окончания обслужив. ti+0,50		Счетчик заявок
						К1

Таким образом, по результатам трех испытаний число обслуженных заявок составило соответственно: х1 =9, х2 =9, х3 =8. Найдем среднее число обслуженных заявок:

Ответ: среднее число заявок, обслуженных СМО за 4 минуты, равно 8,6(6).

Примеры решения задач систем массового обслуживания

Требуется решить задачи 1–3. Исходные данные приведены в табл. 2–4.

Некоторые обозначения, применяемые в теории массового обслуживания, для формул:

n – число каналов в СМО;

λ – интенсивность входящего потока заявок П вх;

v – интенсивность выходящего потока заявок П вых;

μ – интенсивность потока обслуживания П об;

ρ – показатель нагрузки системы (трафик);

m – максимальное число мест в очереди, ограничивающее длину очереди заявок;

i – число источников заявок;

p к – вероятность k-го состояния системы;

p о – вероятность простаивания всей системы, т. е. вероятность того, что все каналы свободны;

p сист – вероятность принятия заявки в систему;

p отк – вероятность отказа заявке в принятии ее в систему;

р об – вероятность того, что заявка будет обслужена;

А – абсолютная пропускная способность системы;

Q – относительная пропускная способность системы;

Оч – среднее число заявок в очереди;

Об – среднее число заявок под обслуживанием;

Сист – среднее число заявок в системе;

Оч – среднее время ожидания заявки в очереди;

Об – среднее время обслуживания заявки, относящееся только к обслуженным заявкам;

Сис – среднее время пребывания заявки в системе;

Ож – среднее время, ограничивающее ожидание заявки в очереди;

– среднее число занятых каналов.

Абсолютная пропускная способность СМО А – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

Относительная пропускная способность СМО Q – отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок.

При решении задач массового обслуживания необходимо придерживаться нижеприведенной последовательности:

1) определение типа СМО по табл. 4.1;

2) выбор формул в соответствии с типом СМО;

3) решение задачи;

4) формулирование выводов по задаче.

1.Схема гибели и размножения. Мы знаем, что, имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения

решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «схему гибели и размножения».

Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 19.1. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S 1 , S 2 ,…,S n-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний - правым и левым, а крайние состояния (S 0 , S n) - только с одним соседним состоянием. Термин «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции.

Схема гибели и размножения очень часто встречается в разных задачах практики, в частности - в теории массового обслуживания, поэтому полезно, один раз и навсегда, найти для нее финальные вероятности состояний.

Предположим, что все потоки событии, переводящие систему по стрелкам графа,- простейшие (для краткости будем называть и систему S и протекающий в ней процесс - простейшими).

Пользуясь графом рис. 19.1, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состоянии), существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, в число состояний конечно). Для первого состояния S 0 имеем:

(19.1)

Для второго состояния S 1:

В силу (19.1) последнее равенство приводится к виду

где k принимает все значения от 0 до п. Итак, финальные вероятности p 0 , p 1 , ..., р n удовлетворяют уравнениям

(19.2)

кроме того, надо учесть нормировочное условие

p 0 + p 1 + p 2 +…+ p n =1. (19.3)

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (19.2)выразим p 1 через р 0 :

p 1 = p 0. (19.4)

Из второго, с учетом (19.4), получим:

(19.5)

Из третьего, с учетом (19.5),

(19.6)

и вообще, для любого k (от 1 до n ):

(19.7)

Обратим внимание на формулу (19.7). В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного состояния S k), а в знаменателе - произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до S k).

Таким образом, все вероятности состояний р 0 , p 1 , ..., р n выражены через одну из них (р 0). Подставим эти выражения в нормировочное условие (19.3). Получим, вынося за скобку р 0:

отсюда получим выражение для р 0 :

(скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные вероятности выражены через р 0 (см. формулы (19.4) - (19.7)). Заметим, что коэффициенты при р 0 в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (19.8). Значит, вычисляя р 0 , мы уже нашли все эти коэффициенты.

Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.

^ 2. Формула Литтла. Теперь мы выведем одну важную формулу, связывающую (для предельного, стационарного режима) среднее число заявок L сист, находящихся в системе массового обслуживания (т. е. обслуживаемых или стоящих в очереди), и среднее время пребывания заявки в системе W сист.

Рассмотрим любую СМО (одноканальную, многоканальную, марковскую, немарковскую, с неограниченной или с ограниченной очередью) и связанные с нею два потока событий: поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих СМО. Если в системе установился предельный, стационарный режим, то среднее число заявок, прибывающих в СМО за единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют одну и ту же интенсивность λ.

Обозначим: X(t} - число заявок, прибывших в СМО до момента t. Y (t ) - число заявок покинувших СМО

до момента t. И та, и другая функции являются случайными и меняются скачком (увеличиваются на единицу) в моменты приходов заявок (X (t )) и уходов заявок (Y(t)). Вид функций X(t) и Y(t) показан на рис. 19.2; обе линии - ступенчатые, верхняя - X(t), нижняя-Y(t). Очевидно, что для любого момента t их разность Z (t ) = X(t) - Y(t) есть не что иное, как число заявок, находящихся в СМО. Когда линии X(t) и Y(t) сливаются, в системе нет заявок.

Рассмотрим очень большой промежуток времени Т (мысленно продолжив график далеко за пределы чертежа) и вычислим для него среднее число заявок, находящихся в СМО. Оно будет равно интегралу от функции Z(t) на этом промежутке, деленному на длину интервала Т:

L сист. = . (19.9) о

Но этот интеграл представляет собой не что иное, как площадь фигуры, заштрихованной на рис. 19.2. Разглядим хорошенько этот рисунок. Фигура состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребывания в системе соответствующей заявки (первой, второй и т. д.). Обозначим эти времена t 1 , t 2 ,... Правда, под конец промежутка Т некоторые прямоугольники войдут в заштрихованную фигуру не полностью, а частично, но при достаточно большом Т эти мелочи не будут играть роли. Таким образом, можно считать, что

(19.10)

где сумма распространяется на все заявки, пришедшие за время Т.

Разделим правую и левую часть (.19.10) на длину интервала Т. Получим, с учетом (19.9),

L сист. = . (19.11)

Разделим и умножим правую часть (19.11) на интенсивность X:

L сист. = .

Но величина Тλ есть не что иное, как среднее число заявок, пришедших за время ^ Т. Если мы разделим сумму всех времен t i на среднее число заявок, то получим среднее время пребывания заявки в системе W сист. Итак,

L сист. = λW сист. ,

W сист. = . (19.12)

Это и есть замечательная формула Литтла: для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания, при любой дисциплине обслуживания среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Точно таким же образом выводится вторая формула Литтла, связывающая среднее время пребывания заявки в очереди ^ W оч и среднее число заявок в очереди L оч:

W оч = . (19.13)

Для вывода достаточно вместо нижней линии на рис. 19.2 взять функцию U(t) - количество заявок, ушедших до момента t не из системы, а из очереди (если заявка, пришедшая в систему, не становится в очередь, а сразу идет под обслуживание, можно все же считать, что она становится в очередь, но находится в ней нулевое время).

Формулы Литтла (19.12) и (19.13) играют большую роль в теории массового обслуживания. К сожалению, в большинстве существующих руководств эти формулы (доказанные в общем виде сравнительно недавно) не приводятся 1).

§ 20. Простейшие системы массового обслуживания и их характеристики

В этом параграфе мы рассмотрим, некоторые простейшие СМО и выведем выражения для их характеристик (показателей эффективности). При этом мы продемонстрируем основные методические приемы, характерные для элементарной, «марковской» теории массового обслуживания. Мы не будем гнаться за количеством образцов СМО, для которых будут выведены конечные выражения характеристик; данная книга - не справочник по теории массового обслуживания (такую роль гораздо лучше выполняют специальные руководства). Наша цель - познакомить читателя с некоторыми «маленькими хитростями», облегчающими путь сквозь теорию массового обслуживания, которая в ряде имеющихся (даже претендующих на популярность) книг может показаться бессвязным набором примеров.

Все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, в данном параграфе мы будем считать простейшими (не оговаривая это каждый раз специально). В их числе будет и так называемый «поток обслуживании». Под ним разумеется поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом. В этом потоке интервал между событиями, как и всегда в простейшем потоке, имеет показательное распределение (во многих руководствах вместо этого говорят: «время обслуживания - показательное», мы и сами в дальнейшем будем пользоваться таким термином).

1) В популярной книжке дан несколько иной, по сравнению с вышеизложенным, вывод формулы Литтла. Вообще, знакомство с этой книжкой («Беседа вторая») полезно для первоначального ознакомления с теорией массового обслуживания.

В данном параграфе показательное распределение времени обслуживания будет само собой разуметься, как всегда для «простейшей» системы.

Характеристики эффективности рассматриваемых СМО мы будем вводить по ходу изложения.

^ 1. п -канальная СМО с отказами (задача Эрланга). Здесь мы рассмотрим одну из первых по времени, «классических» задач теории массового обслуживания;

эта задача возникла из практических нужд телефонии и была решена в начале нашего века датским математиком Эрлантом. Задача ставится так: имеется п каналов (линий связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживании имеет интенсивность μ (величина, обратная среднему времени обслуживания t об). Найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

^ А - абсолютную пропускную способность, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Q - относительную пропускную способность, т. е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

^ Р отк - вероятность отказа, т. е. того, что заявка покинет СМО не обслуженной;

k - среднее число занятых каналов.

Решение. Состояния системы ^ S (СМО) будем нумеровать по числу заявок, находящихся в системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов):

S 0 - в СМО нет ни одной заявки,

S 1 - в СМО находится одна заявка (один канал занят, остальные свободны),

S k - в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные свободны),

S n - в СМО находится п заявок (все n каналов заняты).

Граф состояний СМО соответствует схеме гибели в размножения (рис. 20.1). Разметим этот граф - проставим у стрелок интенсивности потоков событий. Из S 0 в S 1 систему переводит поток заявок с интенсивностью λ (как только приходит заявка, система перескакивает из S 0 в S 1). Тот же поток заявок переводит

Систему из любого левого состояния в соседнее правое (см. верхние стрелки на рис. 20.1).

Проставим интенсивности у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии ^ S 1 (работает один канал). Он производит μ обслуживании в единицу времени. Проставляем у стрелки S 1 → S 0 интенсивность μ. Теперь представим себе, что система находится в состоянии S 2 (работают два канала). Чтобы ей перейти в S 1 , нужно, чтобы либо закончил обслуживание первый канал, либо второй; суммарная интенсивность их потоков обслуживании равна 2μ; проставляем ее у соответствующей стрелки. Суммарный поток обслуживании, даваемый тремя каналами, имеет интенсивность 3μ, k каналами - kμ. Проставляем эти интенсивности у нижних стрелок на рис. 20.1.

А теперь, зная все интенсивности, воспользуемся уже готовыми формулами (19.7), (19.8) для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения. По формуле (19.8) получим:

Члены разложения будут представлять собой коэффициенты при р 0 в выражениях для p 1

Заметим, что в формулы (20.1), (20.2) интенсивности λ и μ входят не по отдельности, а только в виде отношения λ/μ. Обозначим

λ/μ = ρ (20.3)

И будем называть величину р «приведенной интенсивностью потока заявок». Ее смысл-среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, перепишем формулы (20.1), (20.2) в виде:

Формулы (20.4), (20.5) для финальных вероятностей состояний называются формулами Эрланга - в честь основателя теории массового обслуживания. Большинство других формул этой теории (сегодня их больше, чем грибов в лесу) не носит никаких специальных имен.

Таким образом, финальные вероятности найдены. По ним мы вычислим характеристики эффективности СМО. Сначала найдем ^ Р отк . - вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ (не будет обслужена). Для этого нужно, чтобы все п каналов были заняты, значит,

Р отк = р n = . (20.6)

Отсюда находим относительную пропускную способность - вероятность того, что заявка будет обслужена:

Q = 1 – P отк. = 1 - (20.7)

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок λ, на Q:

A = λQ = λ . (20.8)

Осталось только найти среднее число занятых каналов k. Эту величину можно было бы найти «впрямую», как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями 0, 1, ..., п и вероятностями этих значений р 0 р 1 , ..., р n:

k = 0 · р 0 + 1 · p 1 + 2 · р 2 + ... + п · р n .

Подставляя сюда выражения (20.5) для р k , (k = 0, 1, ..., п) и выполняя соответствующие преобразования, мы, в конце концов, получили бы верную формулу для k. Но мы выведем ее гораздо проще (вот она, одна из «маленьких хитростей»!) В самом деле, нам известна абсолютная пропускная способность А. Это - не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок. Каждый занятый i .шал в единицу времени обслуживает в среднем |л заявок. Значит, среднее число занятых каналов равно

k = A/μ, (20.9)

или, учитывая (20.8),

k = (20.10)

Рекомендуем читателю самостоятельно решить пример. Имеется станция связи с тремя каналами (n = 3), интенсивность потока заявок λ = 1,5 (заявки в минуту); среднее время обслуживания одной заявки t об = 2 (мин.), все потоки событий (как и во всем этом параграфе) - простейшие. Найти финальные вероятности состояний и характеристики эффективности СМО: А, Q, P отк, k. На всякий случай сообщаем ответы: p 0 = 1/13, p 1 = 3/13, p 2 = 9/26, р 3 = 9/26 ≈ 0,346,

А ≈ 0,981, Q ≈ 0,654, P отк ≈ 0,346, k ≈ 1,96.

Из ответов видно, между прочим, что наша СМО в значительной мере перегружена: из трех каналов занято в среднем около двух, а из поступающих заявок около 35% остаются не обслуженными. Предлагаем читателю, если он любопытен и неленив, выяснить: сколько потребуется каналов для того, чтобы удовлетворить не менее 80% поступающих заявок? И какая доля каналов при этом будет простаивать?

Тут уже проглядывает некоторый намек на оптимизацию. В самом деле, содержание каждого канала в единицу времени обходится в какую-то сумму. Вместе с тем, каждая обслуженная заявка приносит какой-то доход. Умножая этот доход на среднее число заявок А, обслуживаемых в единицу времени, мы получим средний доход от СМО в единицу времени. Естественно, при увеличении числа каналов этот доход растет, но растут и расходы, связанные с содержанием каналов. Что перевесит - увеличение доходов или расходов? Это зависит от условий операции, от «платы за обслуживание заявки» и от стоимости содержания канала. Зная эти величины, можно найти оптимальное число каналов, наиболее эффективное экономически. Мы такой задачи решать не будем, предоставляя все тому же «неленивому и любопытному читателю» придумать пример и решить. Вообще, придумывание задач больше развивает, чем решение уже поставленных кем-то.

^ 2. Одноканальная СМО с неограниченной очередью. На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ, выполняющая заказы пользователей). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем). Поэтому мы уделим одноканальной СМО с очередью особое внимание.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью λ; поток обслуживании имеет интенсивность μ, обратную среднему времени обслуживания заявки t об. Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

L сист. - среднее число заявок в системе,

W сист. - среднее время пребывания заявки в системе,

^ L оч - среднее число заявок в очереди,

W оч - среднее время пребывания заявки в очереди,

P зан - вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Что касается абсолютной пропускной способности А и относительной Q, то вычислять их нет надобности:

в силу того, что очередь неограниченна, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому А = λ, по той же причине Q = 1.

Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

S 0 - канал свободен,

S 1 - канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,

S 2 - канал занят, одна заявка стоит в очереди,

S k - канал занят, k - 1 заявок стоят в очереди,

Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состоянии имеет вид, показанный на рис. 20.2. Это - схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью λ переводит систему слева направо, а справа налево - поток обслуживании с интенсивностью μ.

Прежде всего спросим себя, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при t → ∞ очередь может неограниченно возрастать! Да, так оно и есть: финальные вероятности для такой СМО существуют не всегда, а только когда система не перегружена. Можно доказать, что если ρ строго меньше единицы (ρ< 1), то финальные вероятности существуют, а при ρ ≥ 1 очередь при t → ∞ растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при ρ = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле - не так. При ρ = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот - регулярен, и время обслуживания - тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживании стать хотя бы чуточку случайными - и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» - абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но позволим себе вольность - воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (19.8), (19.7). В нашем случае число слагаемых в формуле (19.8) будет бесконечным. Получим выражение для р 0:

p 0 = -1 =

= (1 + р + р 2 + ... + р k +… .) -1 . (20.11)

Ряд в формуле (20.11) представляет собой геометрическую прогрессию. Мы знаем, что при ρ < 1 ряд сходится - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р. При р ≥ 1 ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний р 0 , p 1 , ..., p k , ... существуют только при р<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и ρ <1. Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

1 + ρ + ρ 2 + ... + ρ k + ... = ,

p 0 = 1 - ρ. (20.12)

Вероятности р 1 , р 2 , ..., р k , ... найдутся по формулам:

p 1 = ρp 0 , p 2 = ρ 2 p 0 ,…,p k = ρp 0 , ...,

Откуда, с учетом (20.12), найдем окончательно:

p 1 = ρ (1 - ρ), p 2 = ρ 2 (1 - ρ), . . . , p k = ρ k (1 - ρ), . . .(20.13)

Как видно, вероятности p 0 , p 1 , ..., p k , ... образуют геометрическую прогрессию со знаменателем р. Как это ни странно, максимальная из них р 0 - вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок (ρ<1), самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Найдем среднее число заявок в СМО ^ L сист . . Тут придется немного повозиться. Случайная величина Z - число заявок в системе - имеет возможные значения 0, 1, 2, .... k, ... с вероятностями p 0 , р 1 , р 2 , ..., p k , ... Ее математическое ожидание равно

L сист = 0 · p 0 + 1 · p 1 + 2 · p 2 +…+k · p k +…= (20.14)

(сумма берется не от 0 до ∞, а от 1 до ∞, так как нулевой член равен нулю).

Подставим в формулу (20.14) выражение для p k (20.13):

L сист. =

Теперь вынесем за знак суммы ρ (1-ρ):

L сист. = ρ (1-ρ)

Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: k ρ k -1 есть не что иное, как производная по ρ от выражения ρ k ; значит,

L сист. = ρ (1-ρ)

Меняя местами операции дифференцирования п суммирования, получим:

L сист. = ρ (1-ρ) (20.15)

Но сумма в формуле (20.15) есть не что иное, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом ρ и знаменателем ρ; эта сумма

равна , а ее производная .Подставляя это выражение в (20.15), получим:

L сист = . (20.16)

Ну, а теперь применим формулу Литтла (19.12) и найдем среднее время пребывания заявки в системе:

W сист = (20.17)

Найдем среднее число заявок в очереди L оч. Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус число заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди L оч равно среднему числу заявок в системе L сист минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили Р зан). Очевидно, Р зан равно единице минус вероятность р 0 того, что канал свободен:

Р зан = 1 - р 0 = ρ. (20.18)

Следовательно, среднее число заявок под обслуживанием равно

^ L об = ρ, (20.19)

L оч = L сист – ρ =

и окончательно

L оч = (20.20)

По формуле Литтла (19.13) найдем среднее время пребывания заявки в очереди:

(20.21)

Таким образом, все характеристики эффективности СМО найдены.

Предложим читателю самостоятельно решить пример: одноканальная СМО представляет собой железнодорожную сортировочную станцию, на которую поступает простейший поток составов с интенсивностью λ = 2 (состава в час). Обслуживание (расформирование)

состава длится случайное (показательное) время со средним значением t об = 20 (мин.). В парке прибытия станции имеются два пути, на которых могут ожидать обслуживания прибывающие составы; если оба пути заняты, составы вынуждены ждать на внешних путях. Требуется найти (для предельного, стационарного режима работы станции): среднее, число составов l сист, связанных со станцией, среднее время W сист пребывания состава при станции (на внутренних путях, на внешних путях и под обслуживанием), среднее число L оч составов, ожидающих очереди на расформирование (все равно, на каких путях), среднее время W оч пребывания состава на очереди. Кроме того, попытайтесь найти среднее число составов, ожидающих расформирования на внешних путях L внеш и среднее время этого ожидания W внеш (две последние величины связаны формулой Литтла). Наконец, найдите суммарный суточный штраф Ш, который придется заплатить станции за простои составов на внешних путях, если за один час простоя одного состава станция платит штраф а (руб.). На всякий случай сообщаем ответы: L сист. = 2 (состава), W сист. = 1 (час), L оч = 4/3 (состава), W оч = 2/3 (часа), L внеш = 16/27 (состава), W внеш = 8/27 ≈ 0,297 (часа). Средний суточный штраф Ш за ожидание составов на внешних путях получим, перемножая среднее число составов, прибывающих на станцию за сутки, среднее время ожидания состава на внешних путях и часовой штраф а : Ш ≈ 14,2а .

^ 3. re-канальная СМО с неограниченной очередью. Совершенно аналогично задаче 2, но чуточку более сложно, решается задача об n -канальной СМО с неограниченной очередью. Нумерация состояний - опять по числу заявок, находящихся в системе:

S 0 - в СМО заявок нет (все каналы свободны),

S 1 - занят один канал, остальные свободны,

S 2 - занято два канала, остальные свободны,

S k - занято k каналов, остальные свободны,

S n - заняты все п каналов (очереди нет),

S n+1 - заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди,

S n+r - заняты вес п каналов, r заявок стоит в очереди,

Граф состояний показан на рис. 20.3. Предлагаем читателю самому обдумать и обосновать значения интенсивностей, проставленных у стрелок. Граф рис. 20.3

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

μ 2μ kμ (k+1)μ nμ nμ nμ nμ nμ

есть схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. Сообщим без доказательства естественное условие существования финальных вероятностей: ρ/n <1. Если ρ/n ≥ 1, очередь растет до бесконечности.

Предположим, что условие ρ/n < 1 выполнено, и финальные вероятности существуют. Применяя все те же формулы (19.8), (19.7) для схемы гибели и размножения, найдем эти финальные вероятности. В выражении для р 0 будет стоять ряд членов, содержащих факториалы, плюс сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем ρ/n . Суммируя ее, найдем

(20.22)

Теперь найдем характеристики эффективности СМО. Из них легче всего находится среднее число занятых каналов k == λ/μ, = ρ (это вообще справедливо для любой СМО с неограниченной очередью). Найдем среднее число заявок в системе L сист и среднее число заявок в очереди L оч. Из них легче вычислить второе, по формуле

L оч =

выполняя соответствующие преобразования по образцу задачи 2

(с дифференцированием ряда), получим:

L оч = (20.23)

Прибавляя к нему среднее число заявок под обслуживанием (оно же - среднее число занятых каналов) k = ρ, получим:

L сист = L оч + ρ. (20.24)

Деля выражения для L оч и L сист на λ, по формуле Литтла получим средние времена пребывания заявки в очереди и в системе:

(20.25)

А теперь решим любопытный пример. Железнодорожная касса по продаже билетов с двумя окошками представляет собой двухканальную СМО с неограниченной очередью, устанавливающейся сразу к двум окошкам (если одно окошко освобождается, ближайший в очереди пассажир его занимает). Касса продает билеты в два пункта: А и В. Интенсивность потока заявок (пассажиров, желающих купить билет) для обоих пунктов А и В одинакова: λ А = λ В = 0,45 (пассажира в минуту), а в сумме они образуют общий поток заявок с интенсивностью λ А + λ В = 0,9. Кассир тратит на обслуживание пассажира в среднем две минуты. Опыт показывает, что у кассы скапливаются очереди, пассажиры жалуются на медленность обслуживания, Поступило рационализаторское предложение: вместо одной кассы, продающей билеты и в А и в В, создать две специализированные кассы (по одному окошку в каждой), продающие билеты одна - только в пункт А , другая - только в пункт В. Разумность этого предложения вызывает споры - кое-кто утверждает, что очереди останутся прежними. Требуется проверить полезность предложения расчетом. Так как мы умеем считать характеристики только для простейших СМО, допустим, что все потоки событий - простейшие (на качественной стороне выводов это не скажется).

Ну, что же, возьмемся за дело. Рассмотрим два варианта организации продажи билетов - существующий и предлагаемый.

Вариант I (существующий). На двухканальную СМО поступает поток заявок с интенсивностью λ = 0,9; интенсивность потока обслуживании μ = 1/2 = 0,5; ρ = λ/μ = l,8. Так как ρ/2 = 0,9<1, финальные вероятности существуют. По первой формуле (20.22) находим р 0 ≈ 0,0525. Среднее, число заявок в очереди находим по формуле (20.23): L оч ≈ 7,68; среднее время, проводимое заявкой в очереди (по первой из формул (20.25)), равно W оч ≈ 8,54 (мин.).

Вариант II (предлагаемый). Надо рассмотреть две одноканальные СМО (два специализированных окошка); на каждую поступает поток заявок с интенсивностью λ = 0,45; μ. по-прежнему равно 0,5; ρ = λ/μ = 0,9<1; финальные вероятности существуют. По формуле (20.20) находим среднюю длину очереди (к одному окошку) L оч = 8,1.

Вот тебе и раз! Длина очереди, оказывается, не только не уменьшилась, а увеличилась! Может быть, уменьшилось среднее время ожидания в очереди? Посмотрим. Деля L оч на λ = 0,45, получим W оч ≈ 18 (минут).

Вот так рационализация! Вместо того чтобы уменьшиться, и средняя длина очереди, и среднее время ожидания в ней увеличились!

Давайте попробуем догадаться, почему так произошло? Пораскинув мозгами, приходим к выводу: произошло это потому, что в первом варианте (двухканальная СМО) меньше средняя доля времени, которую простаивает каждый из двух кассиров: если он не занят обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт А, он может заняться обслуживанием пассажира, покупающего билет в пункт В, и наоборот. Во втором варианте такой взаимозаменяемости нет: незанятый кассир просто сидит, сложа руки...

Ну, ладно,- готов согласиться читатель,- увеличение можно объяснить, но почему оно такое существенное? Нет ли тут ошибки в расчете?

И на этот вопрос мы ответим. Ошибки нет. Дело в том, что в нашем примере обе СМО работают на пределе своих возможностей; стоит немного увеличить время обслуживания (т. е. уменьшить μ), как они уже перестанут справляться с потоком пассажиров, и очередь начнет неограниченно возрастать. А «лишние простои» кассира в каком-то смысле равносильны уменьшению его производительности μ.

Таким образом, кажущийся сначала парадоксальным (или даже просто неверным) результат вычислений оказывается на поверку правильным и объяснимым.

Такого рода парадоксальными выводами, причина которых отнюдь не очевидна, богата теория массового обслуживания. Автору самому неоднократно приходилось «удивляться» результатам расчетов, которые потом оказывались правильными.

Размышляя над последней задачей, читатель может поставить вопрос так: ведь если касса продает билеты только в один пункт, то, естественно, время обслуживания должно уменьшиться, ну, не вдвое, а хоть сколько-нибудь, а мы считали, что оно по-прежнему в среднем равно 2 (мин.). Предлагаем такому придирчивому читателю ответить на вопрос: а насколько надо его уменьшить, чтобы «рационализаторское предложение» стало выгодным? Снова мы встречаемся хотя и с элементарной, но все же задачей оптимизации. С помощью ориентировочных расчетов даже на самых простых, марковских моделях удается прояснить качественную сторону явления - как выгодно поступать, а как - невыгодно. В следующем параграфе мы познакомимся с некоторыми элементарными немарковскими моделями, которые еще расширят наши возможности.

После того, как читатель ознакомился с приемами вычисления финальных вероятностей состояний и характеристик эффективности для простейших СМО (овладел схемой гибели и размножения и формулой Литтла), ему можно предложить для самостоятельного рассмотрения еще две простейшие СМО.

^ 4. Одноканальная СМО с ограниченной очередью. Задача отличается от задачи 2 только тем, что число заявок в очереди ограничено (не может превосходить некоторого заданного т). Если новая заявка приходит в момент, когда все места в очереди заняты, она покидает СМО не обслуженной (получает отказ).

Надо найти финальные вероятности состояний (кстати, они в этой задаче существуют при любом ρ - ведь число состояний конечно), вероятность отказа Р отк, абсолютную пропускную способность А, вероятность того, что канал занят Р зан, среднюю длину очереди L оч, среднее число заявок в СМО L сист , среднее время ожидания в очереди W оч , среднее время пребывания заявки в СМО W сист. При вычислении характеристик очереди можно пользоваться тем же приемом, какой мы применяли в задаче 2, с той разницей, что суммировать надо не бесконечную прогрессию, а конечную.

^ 5. Замкнутая СМО с одним каналом и m источниками заявок. Для конкретности поставим задачу в следующей форме: один рабочий обслуживает т станков, каждый из которых время от времени требует наладки (исправления). Интенсивность потока требований каждого работающего станка равна λ. Если станок вышел из строя в момент, когда рабочий свободен, он сразу же поступает на обслуживание. Если он вышел из строя в момент, когда рабочий занят, он становится в очередь и ждет, пока рабочий освободится. Среднее время наладки станка t об = 1/μ. Интенсивность потока заявок, поступающих к рабочему, зависит от того, сколько станков работает. Если работает k станков, она равна k λ. Найти финальные вероятности состояний, среднее число работающих станков и вероятность того, что рабочий будет занят.

Заметим, что и в этой СМО финальные вероятности

будут существовать при любых значениях λ и μ = 1/t об, так как число состояний системы конечно.

Модели теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания представляет собой область при­кладной математики, использующую методы теории случайных про­цессов и теории вероятностей для исследования различной природы сложных систем. Теория массового обслуживания непосредственно не связана с оптимизацией. Назначение ее состоит в том, чтобы на осно­ве результатов наблюдений за «входом» в систему предсказать ее воз­можности и организовать наилучшее обслуживание для конкретной ситуации и понять, как последнее отразится на стоимости системы в целом.

Модели теории массового обслуживания описывают процессы массового спроса на обслуживание с учетом случайного характера поступления требований и продолжитель­ности обслуживания.

Назначение моделей теории массового обслуживания состоит в том, чтобы на основе информации о входящем случайном потоке требова­ний предсказать возможности системы обслуживания, организовать наилучшее выполнение требований для конкретной ситуации и оце­нить, как это отразится на ее стоимости.

Система массового обслуживания (СМО) возникает тогда, когда происходит массовое появление заявок (требований) на обслуживание и их последующее удовлетворение.

Особенностью СМО является случайный характер исследуе­мых явлений. Типичный пример СМО - телефонная сеть (снятием трубки с рычага телефонного аппарата абонент дает заявку на обслуживание разговора по одной из линий телефонной сети).

Основными элементами СМО являются:

Входящий поток заявок (требований) на обслуживание;

Очередь заявок на обслуживание;

Приборы (каналы) обслуживания;

Выходящий поток обслуженных заявок (рисунок 8.5).

Такой элемент СМО как очередь может отсутствовать в не­которых системах, но в тоже время СМО может иметь и другие элементы, например, выходящий поток не обслуженных заявок.

Для систем, относящихся к системам массового обслуживания, существует определенный класс задач, решение которых позволяет от­ветить, например, на следующие вопросы:

Рисунок 8.5 - Обобщенная схема СМО

С какой ин­тенсивностью должно проходить обслуживание или должен выполнять­ся процесс при заданной интенсивности и других параметрах входящего потока требований, чтобы минимизировать очередь или задержку в подготовке документа или другого вида информации?

Каковы вероят­ность появления задержки или очереди и ее величина? Сколько време­ни требование находится в очереди и каким образом минимизировать его задержку?

Какова вероятность потери требования (клиента)?

Ка­кова должна быть оптимальная загрузка обслуживающих каналов? При каких параметрах системы достигаются минимальные потери прибы­ли?

К этому перечню можно добавить еще целый ряд задач.

Как системы массового обслуживания могут быть представ­лены следующие работы и процессы: посадка самолетов в аэро­порту, обслуживание автомобилей на автозаправочных станциях, разгрузка судов на причалах, обслуживание покупателей в ма­газинах, прием больных в поликлинике, обслуживание клиентов в ремонтной мастерской и др.

Часто входной поток заявок представляется в виде про­стейшего потока, обладающего свойством стационарности, от­сутствия последствия и ординарности.

Поток является стационарным, если вероятный режим не зависит от времени. Ординарность потока наступает, если ве­роятность появления двух и более заявок за промежуток вре­мени τ является бесконечно малой величиной по сравнению с τ. Поток обладает свойством отсутствия последствия, если поступление заявок не зависит от предистории процесса.

Для простейшего потока поступление заявок в СМО описы­вается законом распределения Пуассона

Р к (τ ) ,

где Р к (τ ) -вероятность поступления к заявок за время τ ;

λ - интенсивность входного потока.

Важное для исследования свойство, которым обладает пуассоновский поток, заключается в том, что процедура разделения и объединения дает снова пуассоновские потоки. Тогда, если входной по­ток формируется из N независимых источников, каждый из которых порождает пуассоновский поток интенсивностью λ i (i = 1, 2, ..., N), то его интенсивность будет определяться по формуле

λ = λ l + λ 2 +...+ λ N .

В случае разделения пуассоновского потока на N независимых по­токов получим, что интенсивность потока λ i будет равна r i λ ,где r i - доля i-го потока во входном потоке требований.

Очередью является множество заявок (требований), ожи­дающих обслуживание.

В зависимости от допустимости и характера формирования очереди системы массового обслуживания подразделяются:

1. СМО с отказами - формирование очереди не разрешено, поэтому заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и теряется. Пример: АТС (выполнение заказов к определенному сроку), система ПВО объекта (цель в зоне об­стрела пребывает мало времени).

2. СМО с неограниченным ожиданием - поступившая заяв­ка, застав все обслуживающие приборы занятыми, становится в очередь и дожидается обслуживания. Число мест для ожидания (длина очереди) не ограничено. Не ограничивается и время ожидания. Пример: предприятия бытового обслуживания, такие как мастерские по ремонту часов, обуви.

3. СМО смешанного типа. В этих системах имеется очередь,
на которую накладываются ограничения. Например: на макси­мальную длину очереди (I тип – с ограниченной ДО) или на время ожидания заявки в очереди (П тип – с ограниченным ВО). Примерами СМО I-го типа являются мастер­ские по ремонту радиоаппаратуры с ограниченными площадями для ее хранения. Торговые точки по продаже фруктов, овощей, которые могут храниться ограниченное время, являются смешан­ными СМО II -го типа.

Порядок поступления заявок на обслужива­ние называется дисциплиной обслуживания.

В СМО с очередью могут быть следующие варианты дисцип­лины обслуживания:

а) в порядке поступления заявок (первым пришел – первым обслужился) - магазины, предприятия бытового обслуживания;

б) в порядке обратном поступлению, т. е. последняя заявка обслуживается первой (последним пришел - первым обслужился) - выемка заготовок из бункера;

в) в соответствии с приоритетом (участники ВОВ в поликлинике);

г) в случайном порядке (в системе ПВО объекта при отра­жении воздушного налета противника).

Основным параметром процесса обслужи­вания считается время обслуживания заявки каналом (обслуживающим прибором j) – t j (j=1,2,…,m).

Величина t j в каждом конкретном случае определяется рядом факторов: интенсивностью поступления заявок, квалификацией ис­полнителя, технологией работ, окружающей средой и т.д. Законы рас­пределения случайной величины t j могут быть самыми различными, но наибольшее распространение в практических приложениях полу­чил экспоненциальный закон распределения. Функция распределения случайной величины t j имеет вид:

F(t) = l – e - μt ,

где m - положительный параметр, определяющий интенсивность обслужи­вания требований;

где Е (t) - математическое ожидание случайной величины обслуживания тре­бования t j .

Важнейшее свойство экспоненциального распределения заключа­ется в следующем. При наличии нескольких однотипных каналов об­служивания и равной вероятности их выбора при поступлении заявки распределение времени обслуживания всеми m каналами будет пока­зательной функцией вида:

Если СМО состоит из неоднородных каналов, то , если
же все каналы однородные, то .

По количеству обслуживающих приборов (каналов) СМО де­лятся на:

Одноканальные;

Многоканальные.

Структура СМО и характерис­тика ее элементов приведены на рисунке 8.6.

Исследование СМО заключается в нахождении показателей, харак­теризующих качество и условия работы обслуживающей системы и показателей, отражающих экономические последствия принятых ре­шений.

Важнейшим понятием в анализе СМО является понятие сос­тояния системы. Состояние есть некоторое описание системы, на основании которого можно предсказать ее будущее поведение.

Рисунок 8.6 – Структура и характеристика элементов СМО

При анализе СМО определяют усредненные показатели об­служивания. В зависимости от решаемой задачи ими могут быть:

средняя длина очереди,

среднее время ожидания в очереди,

средний процент обслуживаемых (или получивших отказ) заявок, среднее число занятых (или простаивающих) каналов,

среднее время пребывания в СМО и др.

В качестве критерия оптимизации применяют:

Максимум прибыли от эксплуатации СМО;

Минимум суммарных потерь, связанных с простоем кана­лов, простоем заявок в очереди и уходом необслуженных за­явок;

Обеспечение заданной пропускной способности.

Варьируемыми параметрами обычно являются: количество каналов, их производительность, длина и дисциплина очереди, приоритетность обслуживания.

Вопросы для самопроверки

1. Понятие о математических моделях и моделировании.

2. Что представляет собой экономико-статистическая модель и производственная функция?

3. Применение графических и графоаналитических моделей в управлении.

4. Использование корреляционного анализа для выявления связи между параметрами

5. Виды и методы построения регрессионных моделей.

6. Статистическое исследование причинно-следственных связей.

7. Классификация математических моделей по четырем аспектам детализации (по В.А. Кардашу).

8. Классификация моделей по применяемому математическому аппарату. Понятие о балансовых моделях.

9. Этапы моделирования. Проверка модели на адекватность.

10. Понятие о системах массового обслуживания (СМО). Составные части СМО.

11. СМО с отказами и с очередью. Разновидности очередей.

12. Одноканальные и многоканальные СМО. Дисциплины обслуживания

13. Моделирование СМО. Показатели, получаемые при экспериментах на модели СМО.

14. Критерии оптимизации систем массового обслуживания.

Цели

Основы знаний об очередях, иногда называемые теорией оче­редей или теорией массового обслуживания, составляют важную часть теории управления производством. Очереди - обычное яв­ление. Они могут носить форму ожидания ремонта автомобиля в центре автосервиса или ожидания студентами консультации у про­фессора. В таблице перечислены некоторые примеры возникно­вения очередей в системах массового обслуживания:

Модели очередей (как и линейное программирование, модели управления запасами, методы сетевого анализа проектов) исполь­зуются и в сфере управления материальным производством, и в сфере обслуживания. Анализ очередей в терминах длины очере­ди, среднего времени ожидания, среднего времени обслуживания и других факторов помогает нам лучше понять принципы орга­низации системы обслуживания. Ожидание пациента в приемной врача и ожидание починки сломанной дрели в ремонтной мастер­ской имеют много общего с точки зрения управления процессом обслуживания. Оба процесса используют человеческие ресурсы и ресурсы оборудования для удовлетворения потребностей клиентов.

Профессиональный менеджер, принимая о совершен­ствовании системы массового обслуживания, оценивает измене­ния, возникающие в затратах на функционирование системы и в издержках, связанных с ожиданием клиентов. Можно нанять большое количество сотрудников, которые будут быстро обслуживать клиентов. Так, администратор супермаркета может умень­шить очереди в кассы, увеличивая в часы пик количество продав­цов и кассиров. Для работы в кассах банков или аэропортов в часы пик могут быть привлечены дополнительные сотрудники. Одна­ко снижение времени ожидания обычно сопряжено с издержка­ми на создание и оснащение рабочих мест, с оплатой труда до­полнительного персонала. Эти издержки могут быть весьма зна­чительны.

Можно сэкономить на трудозатратах. Но тогда клиент может не дождаться обслуживания или потерять охоту вернуться еще раз. В последнем случае система массового обслуживания будет нести потери, которые можно назвать издержками ожидания. В некоторых системах обслуживания, например в скорой помо­щи, затраты, связанные с длительным ожиданием, могут оказать­ся чрезвычайно высокими. Основной экономический принцип совершенствования систем массового обслуживания состоит в оценке общих ожидаемых затрат, включающих затраты на обслу­живание и потери, которые несет система в результате ожидания клиента.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономи­ческого анализа следующие понятия:

Система массового обслуживания;

Очередь;

Темп поступления заявок;

Темп обслуживания;

Среднее время, которое заявка проводит в очереди;

Средняя длина очереди;

Среднее время, которое заявка проводит в системе обслужи­вания;

Среднее число клиентов в системе обслуживания;

Издержки функционирования системы обслуживания;

Издержки ожидания.

Модели

Классификационные признаки систем массового обслуживания.

В системах массового обслуживания различают три основных эта­па, которые проходит каждая заявка:

1) появление заявки на входе в систему;

2) прохождение очереди;

3) процесс обслуживания, после которого заявка покидает систему.

На каждом этапе используются определенные характеристики, которые следует обсудить прежде, чем строить математические модели.

Характеристики входа:

1) число заявок на входе (размер популяции);

2) режим поступления заявок в систему обслуживания;

3) поведение клиентов.

Число заявок на входе. Число потенциально возможных заявок (размер популяции) может считаться либо бесконечным (неогра­ниченная популяция), либо конечным (ограниченная популяция). Если число заявок, поступивших на вход системы с момента на­чала процесса обслуживания до любого заданного момента вре­мени, является лишь малой частью потенциально возможного числа клиентов, популяция на входе рассматривается как Неогра­ниченная. Примеры неограниченных популяций: автомобили, проходящие через пропускные пункты на скоростных дорогах, покупатели в супермаркете и т. п. В большинстве моделей очередей на входе рассматриваются именно неограниченные популяции.

Если количество заявок, которые могут поступить в систему, сравнимо с числом заявок, уже находящихся в системе массо­вого обслуживания, популяция считается Ограниченной. Пример ограниченной популяции: компьютеры, принадлежащие конкрет­ной организации и поступающие на обслуживание в ремонтную мастерскую.

Режим поступления заявок, в систему обслуживания. Заявки могут поступать в систему обслуживания в соответствии с опреде­ленным графиком (например, один пациент на прием к стомато­логу каждые 15 мин, один автомобиль на конвейере каждые 20 мин) или случайным образом. Появления клиентов считаются Случай­ными, если они независимы друг от друга и точно непредсказу­емы. Часто в задачах массового обслуживания число появлений в единицу времени может быть оценено с помощью пуассоновского распределения вероятностей. При заданном темпе поступления (например, два клиента в час или четыре грузовика в минуту) дискретное распределение Пуассона описывается следующей фор­мулой:

Где Р (х) - вероятность поступления Х заявок в единицу вре­мени;

Х - число заявок в единицу времени;

L - среднее число заявок в единицу времени (темп по­ступления заявок);

Соответствующие значения вероятностей Р(х) нетрудно опре­делить с помощью таблицы пуассоновского распределения. Если, например, средний темп поступления заявок - два клиента в час, то вероятность того, что в течение часа в систему не поступит ни одной заявки, равна 0,135, вероятность появления одной заявки - около 0,27, двух - также около 0,27, три заявки могут появиться с вероятностью 0,18, четыре - с вероятностью около 0,09 и т. д. Вероятность того, что за час в систему поступят 9 заявок или бо­лее, близка нулю.

На практике вероятности появления заявок, разумеется, не всегда подчиняются пуассоновскому распределению (они могут иметь какое-то другое распределение). Поэтому требуется прово­дить предварительные исследования для того, чтобы проверить, что пуассоновское распределение может служить хорошей аппрок­симацией.

Поведение клиентов. Большинство моделей очередей основы­вается на предположении, что поведение клиентов является стан­дартным, т. е. каждая поступающая в систему заявка встает в оче­редь, дожидается обслуживания и не покидает систему до тех пор, пока ее не обслужат. Другими словами, клиент (человек или ма­шина), вставший в очередь, ждет до тех пор, пока он не будет обслужен, не покидает очередь и не переходит из одной очереди в другую.

Жизнь значительно сложнее. На практике клиенты могут по­кинуть очередь потому, что она оказалась слишком длинной. Может возникнуть и другая ситуация: клиенты дожидаются сво­ей очереди, но по каким-то причинам уходят необслуженными. Эти случаи также являются предметом теории массового обслу­живания, однако здесь не рассматриваются.

Характеристики очереди:

2) правило обслуживания.

Длина очереди. Длина может быть ограничена либо не ограни­чена. Длина очереди (очередь) Ограничена, если она по каким-либо причинам (например, из-за физических ограничений) не может увеличиваться до бесконечности. Если очередь достигает своего максимального размера, то следующая заявка в систему не допускается и происходит отказ. Длина очереди Не ограничена, Если в очереди может находиться любое число заявок. Например, очередь автомобилей на бензозаправке.

Правило обслуживания. Большинство реальных систем исполь­зует правило «первым пришел - первым ушел» (FIFO - first in, first out). В некоторых случаях, например в приемном покое боль­ницы, в дополнение к этому правилу могут устанавливаться раз­личные Приоритеты. Пациент с инфарктом в критическом со­стоянии, по-видимому, будет иметь приоритет в обслуживании по сравнению с пациентом, сломавшим палец. Порядок запуска компьютерных программ - другой пример установления приорите­тов в обслуживании.

Характеристики процесса обслуживания:

1) конфигурация системы обслуживания (число каналов и чис­ло фаз обслуживания);

2) режим обслуживания.

Конфигурация системы обслуживания. Системы обслуживания различаются по Числу каналов обслуживания. Обычно количество каналов можно определить как число клиентов, обслуживание которых может быть начато одновременно, например: число мас­теров в парикмахерской. Примеры Одноканальной системы об­служивания: банк, в котором открыто единственное окошко для обслуживания клиентов, или ресторан, обслуживающий клиентов в автомобилях. Если же в банке открыто несколько окошек для обслуживания, клиент ожидает в общей очереди и подходит к пер­вому освободившемуся окну, то мы имеем дело с Многоканаль­ной однофазовой системой обслуживания. Большинство банков, также, как почтовые отделения и авиакассы, являются многока­нальными системами обслуживания.

Другая характеристика - Число фаз (или последовательных этапов) Обслуживания одного клиента. Однофазовыми являют­ся такие системы, в которых клиент обслуживается в одном пун­кте (на одном рабочем месте), затем покидает систему. Ресторан для обслуживания автомобилей, в котором официант получает деньги и приносит заказ в автомобиль, является примером од­нофазовой системы. Если же в ресторане нужно сделать заказ в одном месте, оплатить его в другом и получить пищу в третьем, то мы имеем дело с Многофазовой (три фазы) системой обслу­живания.

На рис. 1 приведены системы обслуживания различной кон­фигурации.

Режим обслуживания. Как и режим поступления заявок, режим обслуживания может характеризоваться либо постоянным, либо случайным временем обслуживания. При Постоянном времени на обслуживание любого клиента затрачивается одинаковое вре­мя. Такая ситуация может наблюдаться на автоматической мойке автомобилей. Однако более часто встречаются ситуации, когда время обслуживания имеет Случайное распределение. Во многих случаях можно предположить, что время обслуживания подчиня­ется экспоненциальному распределению с функцией распреде­ления

F(T) = P(T< t) =1 – е–tm, где Р (T < t) - вероятность того, что фактическое время T обслу­живания заявки не превысит заданной величи­ны t;

M - среднее число заявок, обслуживаемых в едини­цу времени;

Е = 2,7182 - основание натурального логарифма.

Параметры моделей очередей. При анализе систем массового обслуживания используются технические и экономические харак­теристики.

Наиболее часто используются следующие Технические характери­стики:

1) среднее время, которое клиент проводит в очереди;

2) средняя длина очереди;

3) среднее время, которое клиент проводит в системе обслужи­вания (время ожидания плюс время обслуживания);

4) среднее число клиентов в системе обслуживания;

5) вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой;

6) вероятность определенного числа клиентов в системе.

Среди Экономических характеристик наибольший интерес пред­ставляют следующие:

1) издержки ожидания в очереди;

2) издержки ожидания в системе;

3) издержки обслуживания.

Модели систем массового обслуживания. В зависимости от со­четания приведенных выше характеристик могут рассматривать­ся различные модели систем массового обслуживания.

Здесь мы ознакомимся с несколькими наиболее известными моделями. Все они имеют следующие общие характеристики:

А) пуассоновское распределение вероятностей поступления заявок;

Б) стандартное поведение клиентов;

В) правило обслуживания FIFO (первым пришел - первым об­служен);

Г) единственная фаза обслуживания.

I. Модель А - модель одноканальной системы массового об­служивания М/М/ 1 с Пуассоновским входным потоком заявок и Экспоненциальным временем обслуживания.

Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют одну очередь к единственному пункту обслуживания. Предположим, что для систем этого типа выполняются следующие условия:

1. Заявки обслуживаются по принципу «первым пришел - пер­вым обслужен» (FIFO), причем каждый клиент ожидает своей очереди до конца независимо от длины очереди.

2. Появления заявок являются независимыми событиями, од­нако среднее число заявок, поступающих в единицу времени, не­изменно.

3. Процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограниченного множества.

4. Время обслуживания описывается экспоненциальным рас­пределением вероятностей.

5. Темп обслуживания выше темпа поступления заявок.

Пусть l - число заявок в единицу времени;

M - число клиентов, обслуживаемых в единицу времени;

П - число заявок в системе.

Тогда система массового обслуживания описывается уравнени­ями, приведенными ниже.

Формулы для описания системы М/М/ 1:

- среднее число клиентов в системе;

Среднее время обслуживания одного клиента в системе (время ожидания плюс время обслуживания);

Среднее число клиентов в очереди;

Среднее время ожидания клиента в очереди;

Характеристика загруженности системы (доля време­ни, в течение которого система занята обслуживанием);

Вероятность отсутствия заявок в системе;

Вероятность того, что в системе находится бо­лее чем K заявок.

II. Модель В - многоканальная система обслуживания M/ M/ S. В многоканальной системе для обслуживания открыты два ка­нала или более. Предполагается, что клиенты ожидают в общей очереди и обращаются в первый освободившийся канал обслужи­вания.

Пример такой многоканальной однофазовой системы можно увидеть во многих банках: из общей очереди клиенты обращают­ся в первое освободившееся окошко для обслуживания.

В многоканальной системе поток заявок подчиняется Пуассоновскому закону, а время обслуживания - Экспоненциальному. Приходящий первым обслуживается первым, и все каналы обслу­живания работают в одинаковом темпе. Формулы, описывающие модель В, достаточно сложны для использования. Для расчета параметров многоканальной системы обслуживания удобно ис­пользовать соответствующее программное обеспечение.

Время нахождения заявки в очереди;

Время нахождения заявки в системе.

III. Модель С- модель с постоянным временем обслуживания M/ D/ 1.

Некоторые системы имеют Постоянное, а не экспоненциально распределенное время обслуживания. В таких системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для модели С С постоянным темпом обслуживания значения величин Lq и Wq Вдвое меньше, чем соответствующие значения в модели А, име­ющей переменный темп обслуживания.

Формулы, описывающие модель С:

- средняя длина очереди;

- среднее время ожидания в очереди;

Среднее число клиентов в системе;

Среднее время ожидания в системе.

IV. Модель D - модель с ограниченной популяцией.

Если число потенциальных клиентов системы обслуживания Ограничено, мы имеем дело со специальной моделью. Такая за­дача может возникнуть, например, если речь идет об обслужива­нии оборудования фабрики, имеющей пять станков.

Особенность этой модели по сравнению с тремя рассмотрен­ными ранее в том, что существует Взаимозависимость между длиной очереди и темпом поступления заявок.

V. Модель Е - модель с ограниченной очередью. Модель от­личается от предыдущих тем, что число мест в очереди Ограни­чено. В этом случае заявка, прибывшая в систему, когда все ка­налы и места в очереди заняты, покидает систему необслуженной, т. е. получает отказ.

Как частный случай модели с ограниченной очередью можно рассматривать Модель с отказами, если количество мест в очере­ди сократить до нуля.

Сравнительная характеристика различных моделей систем массового обслуживания приведена в следующей таблице.