Оптимальности заимствован из математического программирования и теории управления. Методологической основой теории оптимизации экономики является принцип народно-хозяйственной оптимальности, т. . изучение экономических явлений с позиций целого, с позиций всего народного хозяйства. К. о. призван помочь обосновать решение. Практические задачи обоснования решения можно условно подразделить на 3 типа. Сущность задач 1-го типа заключается в необходимости выбора наилучшего варианта действий, обеспечивающих достижение вполне определенного, т. е. заданного результата при минимальном расходе ресурсов. В задачах 2-го типа объем имеющихся ресурсов зафиксирован, нужно найти наилучший вариант их использования для получения максимального результата. Задачи, в которых поиск наилучшего варианта ведется при отсутствии жестких ограничений как по объему используемых ресурсов, так и по конечному результату, относятся к 3-му типу. При обосновании решений оперируют понятием степень достижения цели, которую характеризуют определенным показателем. Ресурсы, имеющиеся в распоряжении общества, отрасли или предприятия, ограничены, поэтому объем ресурсов, выделяемых на одну цель , в какой-то степени зависит от того, сколько их выделено на др. цели. Следовательно, любой вариант распределения ресурсов прямо или косвенно касается одновременно несколько целей и поэтому характеризуется несколькими показателями. Решение задачи любого типа в принципе сводится к рассмотрению множества альтернатив с последующей их сравнительной оценкой и выбором наилучшей. Примером задачи 1-го типа может служить т. . транспортная задача. В стране имеется n мест добычи угля, откуда он доставляется т потребителям, расположенным в различных городах страны. Известна стоимость доставки тонны угля из i-го места добычи (i = 1, 2,..., n) в j-й пункт потребления (j = 1, 2,..., m). Количество угля xj, необходимое каждому потребителю, также известно. Следует определить план доставки потребителям требующегося количества угля при минимуме затрат. Решение такой задачи методологически просто, поскольку значения всех показателей, характеризующих результаты действий, - xj зафиксированы (являются ограничениями в виде равенств). Каждый вариант плана обеспечения потребителей углем оценивается одним переменным показателем - затратами, являющимися К. о. Значительно сложнее решать задачи подобного типа, когда, кроме денежных затрат, приходится учитывать расход материальных, трудовых и др. ресурсов, которые иногда не удается выразить в денежной форме. Аналогичные трудности возникают в задачах 2-го типа, поскольку результаты распределения ресурсов характеризуются несколькими показателями, имеющими переменное значение . Случай , когда сравниваются различные варианты капиталовложений в развитие отрасли, производственные объединения или отдельные предприятия и соответствующие им конечные результаты работы, является примером задачи 3-го типа. С такими задачами чаще всего приходится встречаться в процессе планирования, когда нужно решить, что лучше - повысить производственные возможности за счет увеличения капиталовложений или, предположим, оставить те и др. на прежнем уровне. Результаты каждого решения характеризуются сочетанием значений нескольких показателей. Чтобы установить, какое из возможных решений лучше, нужно сравнить их по нескольким показателям. В этом случае может возникнуть необходимость в формировании К. о., который облегчит сравнительную оценку альтернатив. В качестве К. о. можно использовать величину, которая, как и отдельные показатели, измеряется в непрерывной или дискретной шкалах. Причем дискретные оценки могут быть порядковыми и метрическими. Порядковая шкала представляет собой последовательность различных сочетаний значений показателей, составленную исходя из соответствия этих сочетаний определенным целям. При использовании подобной шкалы для сравнения вариантов нельзя установить, насколько один результат лучше другого, можно только определить, какой из вариантов лучше других. Метрическая шкала, в отличие от порядковой, допускает оценку «расстояния» между двумя соседними порядками (рангами), т. е. позволяет установить, насколько одна альтернатива лучше другой. Примером порядковой шкалы для одного показателя могут быть словесные (качественные) определения степени достижения намеченной цели: полное удовлетворение какой-либо потребности , частичное удовлетворение потребности и т. . Показатель, выраженный в метрической шкале, может представлять собой объем продукции определенного назначения. На практике чаще всего приходится сравнивать альтернативы, различающиеся конечными результатами и затратами типа «лучше и дороже», «хуже и дешевле». Причем результаты характеризуются несколькими показателями. Задачи подобного типа иногда называют задачами векторной оптимизации. При этом компонентами вектора являются показатели, характеризующие степень достижения отдельных целей. Среди сравниваемых вариантов обычно выделяют рациональные, к числу которых относятся варианты, обеспечивающие достижение определенного результата при минимуме затрат или достижение максимального результата при определенных затратах. Выбор наилучшего (оптимального) варианта из числа рациональных может производиться с помощью соответствующих К. о. Объективная необходимость сравнивать варианты по нескольким несоизмеримым показателям является основной причиной трудностей, которые нужно преодолеть при формировании К. о. Нельзя считать лучшим вариант, при котором один показатель невозможно дальше увеличивать, не уменьшая значения хотя бы одного из остальных (т. н. оптимум или максимум по Парето). К. о. должен быть таким, чтобы в общем случае можно было сравнивать варианты, когда один из показателей (одна из компонент вектора) возрастает, а другой уменьшается. По-видимому, самое большое, на что можно рассчитывать при сравнении векторов (сочетаний значений нескольких показателей, характеризующих степень достижения различных целей),- это установление предпочтений между ними, т. е. оценка векторов с помощью порядковой шкалы. Следует заметить, что оценки векторов по порядковой шкале вполне достаточно для сравнения вариантов и выбора наилучшего из них. В условиях социалистического общества все решения, принимаемые на различных уровнях в системе планирования и управления, должны в максимально возможной степени соответствовать высшей цели - наиболее полному удовлетворению потребностей общества. Эта цель может быть достигнута при условии постановки и последующего достижения определенной совокупности социально-экономических целей, предусматривающих удовлетворение всех потребностей общества. Для удовлетворения потребностей общество должно производить различную продукцию. Необходимость в этой продукции зависит от уровня удовлетворения личных и др. непроизводственных потребностей сегодня и в будущем. Т. о., уровень развития производства можно рассматривать как аргумент , функцией которого является степень удовлетворения непроизводственных потребностей общества. Одна из задач планирования - определение наиболее рациональных пропорций в производстве различных продуктов. В процессе планирования должны быть рассмотрены варианты распределения трудовых и др. ресурсов, имеющихся в распоряжении общества, и выбран тот вариант, который в наибольшей степени отвечает потребностям общества. Маркс писал, что «общественная потребность, то есть потребительная стоимость в общественном масштабе, - вот что определяет здесь долю всего общественного рабочего времени, которая приходится на различные особые сферы производства» (Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 25, . 2, . 186). Т. о., сравнительная оценка вариантов народно-хозяйственного плана должна производиться по критерию, отражающему степень соответствия плана общественным потребностям. Планы реализуются во времени и пространстве. Следовательно, в общем случае значения отдельных показателей должны характеризовать изменения степени удовлетворения потребностей в разные годы периода планирования и в различных районах страны. Сравнение вариантов плана по большому числу показателей представляет значительные трудности. Чтобы уменьшить число показателей, прибегают к обобщению информации. Чем выше уровень планирующего органа, тем больше степень обобщения. Так, для принятия решения на высшем уровне степень удовлетворения определенной потребности населения, по-видимому, можно представить как отношение планируемого объема производства продуктов некоторого вида к количеству продуктов (услуг), обеспечивающему данную потребность в соответствии с платежеспособным спросом населения, а также за счет общественных фондов. При этом степень удовлетворения потребности будет характеризоваться одним показателем W. Чтобы избежать необходимости оперировать значениями этого показателя в разные годы, можно учитывать его значение на конец планируемого периода. Это допустимо, если предполагается равномерное увеличение значения показателя по годам. Если исходить из необходимости удовлетворения n потребностей общества, то каждый вариант народно-хозяйственного плана будет характеризоваться, как минимум , сочетанием значений n показателей W1, W2,..., Wn. Сравнительная оценка вариантов плана, разрабатываемого на любом уровне, может производиться либо непосредственно по сочетанию значений показателей, либо по специально сформированному К. о. Главным требованием, которому должен отвечать К. о., используемый на любом уровне, является возможность обеспечить оценку вариантов исходя из поставленной цели. Одним из способов отражения соответствия различных сочетаний значений нескольких показателей высшей цели является упорядоченная последовательность этих сочетаний. Выбор или формирование К. о. - главный вопрос сравнительной оценки альтернатив. При этом основным методологическим принципом является системный подход к оценке возможных решений. Сущность системного подхода заключается в том, что целесообразность тех или иных изменений объекта определяется с учетом его взаимосвязей, исходя из интересов системы, составной частью которой является рассматриваемый объект . Нельзя дать заранее какие-либо рекомендации относительно конкретного содержания К. о. Они могут быть сделаны только после рассмотрения общих целей и установления степени соответствия различных сочетаний значений показателей, характеризующих объект, целям, которые стоят перед системой. При обосновании решений особое значение имеет учет неопределенности, например, характеристик разрабатываемой техники, ее стоимости, условий, в которых она будет использоваться, и т. п. Существует формальная «теория принятия решений», которая рассматривает различные способы формирования критерия оценки альтернатив в условиях неопределенности: критерий максимина, критерий минимаксного сожаления и т. п. Сравнение альтернатив нужно всегда проводить по одному критерию. Однако это не исключает возможности поочередной оценки вариантов сначала по одному, а затем по другому критерию. Вопросам количественного обоснования решений в условиях неопределенности уделено значительное внимание в литературе по анализу систем. Анализ систем представляет собой метод оценки альтернатив в условиях неопределенности при наличии нескольких противоречивых целей. Применение этого метода облегчает обоснование целей действий, а также выявление преимуществ и недостатков альтернативных вариантов действия. Однако окончательный выбор осуществляется руководителем, ответственным за принятие решения. Лит.: Льюс Р. Д., Райфа Х., Игры и решения, пер. с англ., М., 1961; Пугачев . Ф., Оптимизация планирования (теоретические проблемы), М., 1968; Федоренко Н. П., О разработке системы оптимального функционирования экономики, М., 1968; Солнышков . С., Как обосновать решение, М., 1972. Ю. С. Солнышков.
Рис.4
Рис.1
Измененное устройство выдает информацию (в том числе и управляющему устройству) о текущем состоянии объекта. В случае если на основании вектора измерений бывают найдены значения всех координат состояния , не бывают найдены при известном значении вектора измерений , то система будет не полностью наблюдаемой. Управляющее устройства вырабатывает управляющее воздействие . Таких управляющих воздействий будет несколько, в связи с этим полагаем, что вектором - мерный
На вход управляющего устройства поступает задающее воздействие , ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ содержит инструкцию о том, каково должно быть состояние объекта - так называемое ʼʼжелаемое состояниеʼʼ.
На объект управления может поступать возмущающие воздействие , представляющие нагрузку или помеху. Измерение координат объекта измерительным устройством может производиться с некоторыми случайными погрешностями , называемыми шумами измерения.
Задачей управляющего устройства является выработка такого управляющего воздействия , чтобы качество функционирования САУ в целом было бы наилучшим в некотором смысле.
В дальнейшем будем рассматривать только те объекты, которые являются управляемыми, ᴛ.ᴇ. вектор состояния которых можно изменять требуемым образом путем соответствующего измерения вектора управления. Вместе с тем, объект предполагается полностью наблюдаемым, ᴛ.ᴇ. в данном случае, очевидно, можно не делать разницы между векторами и .
Отметим, что в дальнейшем измеряемые внешние воздействия и при рассмотрении задач управления для упрощения задачи не учитывается. Кроме того мы ограничимся рассмотрением объектов, динамика которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями. С учетом всего сказанного функциональная схема САУ должна быть приведены к виду рис.2
|
Уточним и конкретизируем постановку задачи оптимального управления. Ранее при обсуждении типовых задач ОУ 5 и 6, речь шла об несколько абстрактных понятиях – управления связи.
, где
и задавалось начальное и конечное значения вектора .
Существует много различных путей решения рассматриваемой задачи. Но только один способ управления объектом дает наилучший в некотором смысле результат. Этот способ управления и реализующую его систему называют оптимальными.
Чтобы иметь количественные основания для предпочтения одного способа управления всем другим, крайне важно определить цель управления, а затем ввести меру, характеризующую эффективность достижения цели –критерий оптимальности управления. Обычно критерий оптимальности- это числовая величина, зависящая от изменяющихся во времени и пространстве координат и параметров системы так, что каждому закону управления соответствует определенное значение критерия. В качестве критерия оптимальности бывают выбраны различные технические и экономические показатели рассматриваемого процесса.
Иногда к системе управления предъявляются различные, подчас противоречивые требования. Законы управления, который одновременно наилучшим образом удовлетворял бы каждому требованию, не существует.
По этой причине из всех требований нужно выбрать одно главное, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ должно удовлетворяться наилучшим образом. Другие требования играют роль ограничений.
Следовательно, выбор критерия оптимальности должен производиться, только на основании изучения технологии и экономики рассматриваемого объекта и среды. Эта задача выходит за рамки теории ОУ.
В качестве критерия, характеризующего качество процесса управления, чаще всего выбирается функционал
или 
Относительно подынтегральной функции будем предполагать, что она непрерывна по всем аргументам и имеет непрерывные частные производные по переменным .
Для выполнения задачи управления мы располагаем ограниченными энергетическими и материальными ресурсами. Учёт ограничений, естественно, стесняет выбор закона управления и одновременно делает задачу более определенной. Некоторые задачи более определенной. Некоторые задачи, сформулированные без учета ограничений, вообще не имеют смысла.
К примеру, задача о предельном воздействии в линейной системе (в случае с нажимным устройством прокатного стана) при неограниченных управляющих воздействиях лишена смысла. Время процесса в данном случае будет равно нулю, а воздействия бесконечны.
Математически ограничения часто имеют вид неравенств, относящихся к координатам, управляющим воздействиям или их функциям. К примеру, используемая нами ранее в типовой задаче ʼʼ6ʼʼ запись
Носит достаточно абстрактный характер, говорит лишь о том, что соответствующая величина не может или не должна выходить за допустимые границы, вид которой здесь конкретизирован. Чаше всего эта граница задается многомерным параллелепипедом
Так, к примеру, для параллелепипед предстает прямоугольником, за границы которого конец вектора управления не должен выходить. Такое управление принято называть допустимым.
Максимально допустимые значения координат или воздействий определяются характеристиками технологического процесса и оборудования. Заметим, что учет ограничений – существенно влияет на постановку задачи об оптимальном управлении.
Основную задачу определения оптимального управления можно сформировать следующим образом.
В фазовом пространстве заданы начальное и конечное состояния ОУ. Среди всех допустимых управлений , для которых соответствующих траектории проходят через начальное и конечное состояния (если такие управления существуют), крайне важно выбрать такое , для которого функционал (2) принимал минимальное (максимальное) значение.
Проиллюстрируем сказанное. Рассмотрим два пространства- управлений и состояний для .
Отметим в них начальное и конечное состояние векторов состояние управления
Кривые в пространстве управлений есть фазовые траектории вектора управления фазовые траектории вектора управления. Траектории допустимые траектории 5,6 –недопустимые т.к. выходят за область ограничений. Аналогично в пространстве состоящие фазовые траектории состояний допустимые, а недопустимые. Предполагается, что фазовой траектории под определенным номером в пространстве управлений соответствует фазовая траектория в пространстве состояний под тем же номером. Требуется из допустимых управлений (кривая 4 не рассматривается, т.тк.ая 4 нерассматривается авлений ом. тствует фазовая траекттория к. она вызывает недопустимую траекторию состояния 4) выбрать такую, которая, вызывает допустимые траектории состояния доставляет экстремум функционалу (2).
Это шестая типовая задача у управления, как уже отмечалось выше, принято называть неклассической вариационной задачей оптимального управления. В случае если же ограничения на координаты и управления (3) отсутствуют, и все вектора управления и состояния являются допустимыми, то возникает пята я типовая задача или классическая вариационная задача оптимального управления, (исследованию которой и посвящена настоящая глава).
Второй важной задачей оптимального управления является синтез оптимального регулятора, ᴛ.ᴇ. определение оптимального управления как функции либо вектора наблюдения , либо вектора состояния объекта , а не , как мы только что рассматривали.
Выше уже говорилось, что в теории оптимального управления в качестве критериев оптимальности, как правило, применяются интегральные функционалы вида (2). Учитывая зависимость отвида подынтегральной функции бывают получены различные критерии оптимизации, применяемые в практике проектирования оптимальных САУ.
Одним из наиболее распространенных критериев, для которого методика синтеза оптимального управления достаточно хорошо разработана, является время переходного процесса объекта управления из начального состояния в конечное . Этот критерий представляет собой частный случай функционала (2) при 
тогда
Казалось бы логично пользоваться интегральным критерием вида
, где
Отклонения регулируемой координаты от нового установившегося значения, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ она будут иметь после завершения переходного процесса.
Геометрически интеграл (5) интегрируется как площадь под кривой . Эта площадь, а, следовательно, и величина критерия оптимальности, будет тем меньше, чем быстрее затухает переходной процесс и чем меньше величина отклонения в совокупности. Значит управление системой нужно выбирать так, что минимизировать критерий (5). Неудобством этой интегральной оценки является то, что она годится только для монотонных процессов, когда не меняется . В случае если же имеет место колебательный процесс рис.5, то при вычислении интеграла (5) площади будут складываться алгебраически и минимум этого интеграла может соответствовать колебаниям с малым затуханием или вообще без затухания. Что избежать риски подобных ситуаций, следует использовать квадратичный, интегральный функционал
который не зависит от знаков отклонений, а значит и от формы переходного процесса (монотонный или колебательный).
В случае если при проектировании системы оптимального управления ставится задача ограничить резкие изменения выходной переменной во время изменения переходного процесса, при которых 1-ая производная может принимать достаточно большие значения, используется функция:
, где
Весовой коэффициент.
Минимизация этой формулы означает, что составляющая запрещает значительные отклонения от установившегося значения, составляющая 
запрещает существование больших производных . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, получается не только быстрый, но и плавный, без разных колебаний переходной процесс. Иногда для этих целей применяется и более сложные оценки вида:
Выбор того или иного функционала определяется техническими показателями и условиями работы проектируемой САУ и во многом зависит от инструкции и опыта инженера – проектировщика.
Критерий оптимальности - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Критерий оптимальности" 2017, 2018.
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
Критерий оптимальности (критерий оптимизации) - характерный показатель решения задачи, по значению которого оценивается оптимальность найденного решения, то есть максимальное удовлетворение поставленным требованиям. В одной задаче может быть установлено несколько критериев оптимальности.
Оптимизационные задачи
Примером задачи многопараметрической (двухпараметрической) оптимизации будет задача выбора диаметра трубопровода с горячей жидкостью или паром, так как одновременно выбирается диаметр трубопровода и толщина тепловой изоляции при постоянстве остальных. При этом оба параметра дискретны, так как существуют как сортамент труб , так и типовые параметры готовых теплоизоляционных сегментов . Оптимизации подлежат параметры многих технологических процессов , объёмы производства предприятий , уровни надёжности продукции и мн. др.Большие сложности вызывают «неисчисляемые» критерии оптимальности, которые касаются, например, гуманитарных вопросов, художественного впечатления, изменения ландшафта и т. п. (например, максимум удобства, красоты). Для учёта таких критериев могут применяться экспертные оценки .
Наиболее разработаны методы однокритериальной оптимизации, в большинстве случаев позволяющие получить однозначное решение. В задачах многокритериальной оптимизации абсолютно лучшее решение выбрать невозможно (за исключением частных случаев), так как при переходе от одного варианта к другому, как правило, улучшаются значения одних критериев, но ухудшаются значения других. Состав таких критериев называется противоречивым, и окончательно выбранное решение всегда будет компромиссным. Компромисс разрешается введением тех или иных дополнительных ограничений или субъективных предположений. Поэтому невозможно говорить об объективном единственном решении такой задачи.
Часто многокритериальную задачу сводят к однокритериальной применением «свёртки» критериев в один комплексный, называемый целевой функцией (или функцией полезности). Например, в конкурсных процедурах выбора подрядчиков и поставщиков целевая функция рассчитывается на основе балльных критериев. В ряде случаев успешно применяются ранжирование и последовательное применение критериев оптимальности, метод анализа иерархий .
Иногда общим методом для многокритериальных задач называют оптимальность по Парето , которое позволяет найти ряд «неулучшаемых» решений, однако этот метод не гарантирует глобальной оптимальности решений. Менее известна «оптимальность по Слейтеру».
Нормирование критериев
Для удобства и однозначности восприятия критерии K i (где i = 1,…, m ; m - число критериев) нормируют , то есть обычно приводят к следующему виду:
- K i ≥ 0;
- критерии K i убывают с улучшением решения, с ростом качества проектируемого объекта (встречается и обратное требование).
- предпочтительно критерии приводить к безразмерному виду.
- как следствие, наилучшее значение критерия равно нулю. Решения, у которого все критерии нулевые (K i = 0), соответствует идеальному конечному результату (ИКР ), когда объекта нет, но его функция выполняется.
См. также
Напишите отзыв о статье "Критерий оптимальности"
Примечания
Литература
- Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. - М .: Наука, 1988. - С. 206.
- Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации в теории управления. - СПб. : Питер, 2004. - С. 256. - ISBN 5-94723-514-5 .
- Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения. - М .: Радио и связь, 1992. - С. 504.
Отрывок, характеризующий Критерий оптимальности
Пьер тоже нагнул голову и отпустил руки. Не думая более о том, кто кого взял в плен, француз побежал назад на батарею, а Пьер под гору, спотыкаясь на убитых и раненых, которые, казалось ему, ловят его за ноги. Но не успел он сойти вниз, как навстречу ему показались плотные толпы бегущих русских солдат, которые, падая, спотыкаясь и крича, весело и бурно бежали на батарею. (Это была та атака, которую себе приписывал Ермолов, говоря, что только его храбрости и счастью возможно было сделать этот подвиг, и та атака, в которой он будто бы кидал на курган Георгиевские кресты, бывшие у него в кармане.)Французы, занявшие батарею, побежали. Наши войска с криками «ура» так далеко за батарею прогнали французов, что трудно было остановить их.
С батареи свезли пленных, в том числе раненого французского генерала, которого окружили офицеры. Толпы раненых, знакомых и незнакомых Пьеру, русских и французов, с изуродованными страданием лицами, шли, ползли и на носилках неслись с батареи. Пьер вошел на курган, где он провел более часа времени, и из того семейного кружка, который принял его к себе, он не нашел никого. Много было тут мертвых, незнакомых ему. Но некоторых он узнал. Молоденький офицерик сидел, все так же свернувшись, у края вала, в луже крови. Краснорожий солдат еще дергался, но его не убирали.
Пьер побежал вниз.
«Нет, теперь они оставят это, теперь они ужаснутся того, что они сделали!» – думал Пьер, бесцельно направляясь за толпами носилок, двигавшихся с поля сражения.
Но солнце, застилаемое дымом, стояло еще высоко, и впереди, и в особенности налево у Семеновского, кипело что то в дыму, и гул выстрелов, стрельба и канонада не только не ослабевали, но усиливались до отчаянности, как человек, который, надрываясь, кричит из последних сил.
Главное действие Бородинского сражения произошло на пространстве тысячи сажен между Бородиным и флешами Багратиона. (Вне этого пространства с одной стороны была сделана русскими в половине дня демонстрация кавалерией Уварова, с другой стороны, за Утицей, было столкновение Понятовского с Тучковым; но это были два отдельные и слабые действия в сравнении с тем, что происходило в середине поля сражения.) На поле между Бородиным и флешами, у леса, на открытом и видном с обеих сторон протяжении, произошло главное действие сражения, самым простым, бесхитростным образом.
Сражение началось канонадой с обеих сторон из нескольких сотен орудий.
Потом, когда дым застлал все поле, в этом дыму двинулись (со стороны французов) справа две дивизии, Дессе и Компана, на флеши, и слева полки вице короля на Бородино.
От Шевардинского редута, на котором стоял Наполеон, флеши находились на расстоянии версты, а Бородино более чем в двух верстах расстояния по прямой линии, и поэтому Наполеон не мог видеть того, что происходило там, тем более что дым, сливаясь с туманом, скрывал всю местность. Солдаты дивизии Дессе, направленные на флеши, были видны только до тех пор, пока они не спустились под овраг, отделявший их от флеш. Как скоро они спустились в овраг, дым выстрелов орудийных и ружейных на флешах стал так густ, что застлал весь подъем той стороны оврага. Сквозь дым мелькало там что то черное – вероятно, люди, и иногда блеск штыков. Но двигались ли они или стояли, были ли это французы или русские, нельзя было видеть с Шевардинского редута.
Солнце взошло светло и било косыми лучами прямо в лицо Наполеона, смотревшего из под руки на флеши. Дым стлался перед флешами, и то казалось, что дым двигался, то казалось, что войска двигались. Слышны были иногда из за выстрелов крики людей, но нельзя было знать, что они там делали.
Наполеон, стоя на кургане, смотрел в трубу, и в маленький круг трубы он видел дым и людей, иногда своих, иногда русских; но где было то, что он видел, он не знал, когда смотрел опять простым глазом.
Он сошел с кургана и стал взад и вперед ходить перед ним.
Изредка он останавливался, прислушивался к выстрелам и вглядывался в поле сражения.
Не только с того места внизу, где он стоял, не только с кургана, на котором стояли теперь некоторые его генералы, но и с самых флешей, на которых находились теперь вместе и попеременно то русские, то французские, мертвые, раненые и живые, испуганные или обезумевшие солдаты, нельзя было понять того, что делалось на этом месте. В продолжение нескольких часов на этом месте, среди неумолкаемой стрельбы, ружейной и пушечной, то появлялись одни русские, то одни французские, то пехотные, то кавалерийские солдаты; появлялись, падали, стреляли, сталкивались, не зная, что делать друг с другом, кричали и бежали назад.
С поля сражения беспрестанно прискакивали к Наполеону его посланные адъютанты и ординарцы его маршалов с докладами о ходе дела; но все эти доклады были ложны: и потому, что в жару сражения невозможно сказать, что происходит в данную минуту, и потому, что многие адъютапты не доезжали до настоящего места сражения, а передавали то, что они слышали от других; и еще потому, что пока проезжал адъютант те две три версты, которые отделяли его от Наполеона, обстоятельства изменялись и известие, которое он вез, уже становилось неверно. Так от вице короля прискакал адъютант с известием, что Бородино занято и мост на Колоче в руках французов. Адъютант спрашивал у Наполеона, прикажет ли он пореходить войскам? Наполеон приказал выстроиться на той стороне и ждать; но не только в то время как Наполеон отдавал это приказание, но даже когда адъютант только что отъехал от Бородина, мост уже был отбит и сожжен русскими, в той самой схватке, в которой участвовал Пьер в самом начале сраженья.
Прискакавший с флеш с бледным испуганным лицом адъютант донес Наполеону, что атака отбита и что Компан ранен и Даву убит, а между тем флеши были заняты другой частью войск, в то время как адъютанту говорили, что французы были отбиты, и Даву был жив и только слегка контужен. Соображаясь с таковыми необходимо ложными донесениями, Наполеон делал свои распоряжения, которые или уже были исполнены прежде, чем он делал их, или же не могли быть и не были исполняемы.
Маршалы и генералы, находившиеся в более близком расстоянии от поля сражения, но так же, как и Наполеон, не участвовавшие в самом сражении и только изредка заезжавшие под огонь пуль, не спрашиваясь Наполеона, делали свои распоряжения и отдавали свои приказания о том, куда и откуда стрелять, и куда скакать конным, и куда бежать пешим солдатам. Но даже и их распоряжения, точно так же как распоряжения Наполеона, точно так же в самой малой степени и редко приводились в исполнение. Большей частью выходило противное тому, что они приказывали. Солдаты, которым велено было идти вперед, подпав под картечный выстрел, бежали назад; солдаты, которым велено было стоять на месте, вдруг, видя против себя неожиданно показавшихся русских, иногда бежали назад, иногда бросались вперед, и конница скакала без приказания догонять бегущих русских. Так, два полка кавалерии поскакали через Семеновский овраг и только что въехали на гору, повернулись и во весь дух поскакали назад. Так же двигались и пехотные солдаты, иногда забегая совсем не туда, куда им велено было. Все распоряжение о том, куда и когда подвинуть пушки, когда послать пеших солдат – стрелять, когда конных – топтать русских пеших, – все эти распоряжения делали сами ближайшие начальники частей, бывшие в рядах, не спрашиваясь даже Нея, Даву и Мюрата, не только Наполеона. Они не боялись взыскания за неисполнение приказания или за самовольное распоряжение, потому что в сражении дело касается самого дорогого для человека – собственной жизни, и иногда кажется, что спасение заключается в бегстве назад, иногда в бегстве вперед, и сообразно с настроением минуты поступали эти люди, находившиеся в самом пылу сражения. В сущности же, все эти движения вперед и назад не облегчали и не изменяли положения войск. Все их набегания и наскакивания друг на друга почти не производили им вреда, а вред, смерть и увечья наносили ядра и пули, летавшие везде по тому пространству, по которому метались эти люди. Как только эти люди выходили из того пространства, по которому летали ядра и пули, так их тотчас же стоявшие сзади начальники формировали, подчиняли дисциплине и под влиянием этой дисциплины вводили опять в область огня, в которой они опять (под влиянием страха смерти) теряли дисциплину и метались по случайному настроению толпы.
Генералы Наполеона – Даву, Ней и Мюрат, находившиеся в близости этой области огня и даже иногда заезжавшие в нее, несколько раз вводили в эту область огня стройные и огромные массы войск. Но противно тому, что неизменно совершалось во всех прежних сражениях, вместо ожидаемого известия о бегстве неприятеля, стройные массы войск возвращались оттуда расстроенными, испуганными толпами. Они вновь устроивали их, но людей все становилось меньше. В половине дня Мюрат послал к Наполеону своего адъютанта с требованием подкрепления.
Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта. Иным образом, критерий оптимальности – это главный признак, по которому судят о том, насколько хорошо функционирует технологическая система, работает данный процесс, и т.д., а также, насколько хорошо решена задача оптимизации .
Критерий оптимальности является одним из выходов системы, и, к нему предъявляются следующие требования:
Критерий оптимальности должен выражаться количественно;
Критерий оптимальности должен быть единственным;
Величина критерия оптимальности должна изменяться монотонно (без разрывов и скачков);
Критерий оптимальности должен отражать наиболее существенные стороны процесса;
Желательно чтобы критерий оптимальности имел ясный физический смысл и легко рассчитывался.
На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации. Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.
Наиболее общей постановкой оптимальной задачи является выражение критерия оптимальности в виде экономической оценки (производительность, себестоимость продукции, прибыль, рентабельность). Однако в частных задачах оптимизации, когда объект является частью технологического процесса, не всегда удается или не всегда целесообразно выделять прямой экономический показатель, который бы полностью характеризовал эффективность работы рассматриваемого объекта. В таких случаях критерием оптимальности может служить технологическая характеристика, косвенно оценивающая экономичность работы агрегата (время контакта, выход продукта, степень превращения, температура). Например, устанавливается оптимальный температурный профиль, длительность цикла - "реакция - регенерация" и т.п.. Однако, в любом случае критерий оптимальности имеет экономическую природу.
Различают простые и сложные критерии оптимизации. Критерий оптимальности называется простым , если требуется определить экстремум целевой функции без задания условий на какие-либо другие величины. Такие критерии обычно используются при решении частных задач оптимизации (например, определение максимальной концентрации целевого продукта, оптимального времени пребывания реакционной смеси в аппарате и др.).
Критерий оптимальности называется сложным , если необходимо установить экстремум целевой функции при некоторых условиях, которые накладываются на ряд других величин и ограничений. Таким образом, процедура решения задачи оптимизации обязательно включает, помимо выбора управляющих параметров, еще и установление ограничений на эти параметры. Ограничения могут накладываться как по технологическим, так и по экономическим соображениям. Различают следующие основные ограничения:
По количеству и качеству сырья и продукции (состав сырья, качество продукции, производительность и др.);
По условиям технологии (размеры аппарата, время пребывания, температура зажигания и деструктурирования катализатора и др.);
По экономическим соображениям;
По охране труда и окружающей среды;
Таким образом, для решения задачи оптимизации необходимо:
составить математическую модель объекта оптимизации;
выбрать критерий оптимальности и составить целевую функцию;
установить возможные ограничения, которые должны накладываться на переменные;
выбрать метод оптимизации, который позволит найти экстремальные значения искомых величин.
Критерий оптимальности
Термин "критерий" широко используется как во всех областях знаний, так и в обыденной жизни в интуитивно понятном смысле. Ввиду особой важности этого термина для исследования операций дадим краткие пояснения. Греческое слово kriterion означает мерило, оценку, средство для суждения. Именно в этом смысле используется понятие критерия в ИСО. Поставленная в операции цель может быть достигнута по-разному и в разной степени в зависимости от принимаемых решений. Критерий есть тот показатель, который характеризует (оценивает) эффективность решений с точки зрения достижения цели, а следовательно, позволяет выбрать среди них наилучшее. В ИСО применяют равнозначные термины: критерий оптимальности, критерий эффективности, целевая функция. Последний термин подчеркивает неразрывную связь критерия с целью. Таким образом, решение может быть оптимальным только в смысле конкретного критерия в пределах адекватности используемой модели.
В исследовании операций к критерию предъявляются определенные требования. Наиболее важные из них следующие.
1. Критерий должен быть количественной и неслучайной величиной.
2. Критерий должен правильно и полно отражать поставленную цель. Его можно рассматривать как количественную модель качественной цели.
3. Критерий должен иметь простой и понятный ЛПР физический смысл.
4. Критерий должен быть чувствителен к управляемым (искомым) переменным.
При исследовании действующих систем к критерию могут предъявляться дополнительные требования, такие как измеримость, статистическая однозначность, статистическая эффективность и др.
Многочисленные примеры из практики показывают огромную важность правильного выбора критерия оптимальности. Из истории второй мировой войны известен случай неверного выбора критерия для оценки эффективности мероприятий по охране караванов судов, доставляющих грузы в северные советские порты (об одном из таких караванов написан роман В. Пикуля). С целью защиты караванов от воздушных налетов немцев на судах стали устанавливать зенитные системы. Через некоторое время решили оценить эффективность принятых мер, чтобы определить дальнейшие действия, и в качестве критерия взяли число самолетов противника, сбиваемых установленными зенитными системами. Этот показатель оказался очень низким, что объяснялось непрофессиона-льностью орудийных расчетов, а также отсутствием стабилизационных платформ на используемых судах. Исходя из такой оценки, предлагалось демонтировать зенитные орудия, передав их береговым батареям, и искать другие способы защиты караванов. Но вовремя спохватились, поняв, что принятый критерий не отражает поставленную цель, которая заключается в повышении живучести судов, а не в уничтожении самолетов противника (поражение самолетов - это только одно из средств). Достижение такой цели с помощью рассматриваемого мероприятия должно определяться по проценту судов, приходящих в порты назначения. Проведенный анализ показал, что для караванов с зенитными системами этот критерий значимо вырос и, следовательно, предложенный способ эффективен. А объясняется данный феномен тем, что при стрельбе из зенитных орудий немецкие летчики боялись приближаться к судам и бомбометание производили с больших высот и расстояний, что значительно снижало эффективность налетов.
В истории советского периода немало примеров, когда нарушение требований к выбору критерия приводило к печальным последствиям. Это прежде всего критерии развития экономики, например, пресловутый вал, который привел к тому, что мы выпускали самое тяжелое и энергоемкое оборудование, больше всех металла, угля, тракторов и, в то же время использовали их с самой низкой эффективностью и т.п. А сколько человеческих судеб искалечено из-за тех критериев, которые применяла КПСС к людям?!
Множество показателей, которые в ИСО используются в качестве критериев, можно условно разделить на ряд групп: социальные (среднедушевой доход, обеспеченность жильем и т.п.), экономические (прибыль, рентабельность, себестоимость и др.), технико-экономические (производительность, урожайность и др.), технико-технологические (прочность, чистота материала, другие физические или химические показатели), прочие. Они приведены в порядке убывания глобальности применения: первые применяются в системах более высокого уровня (страна, регион, предприятие), последние - в основном на уровне процесса, объекта.
Однако во многих случаях не удается полностью отразить поставленную цель одним критерием и тем более это невозможно, когда в операции преследуется более одной цели. Например, цели типа повышение уровня жизни, улучшение экологической обстановки и т.п. нельзя "покрыть" одним критерием. В таких ситуациях вводится несколько показателей, характеризующих достижение цели. Как правило, оптимальные решения, получаемые по разным показателям-критериям, не совпадают, что создает неопределенность в выборе окончательного решения. Задачи, в которых приходится определять наилучшее решение по нескольким критериям, называются многокритериальными или задачами векторной оптимизации. Они составляют особый и более сложный класс задач исследования операций, который рассмотрен в последней главе настоящего пособия.
Виды математических моделей ИСО
Не останавливаясь на классификации моделей, в том числе и математических, рассмотрим их только в одном аспекте, который обусловливает принципиальные различия математических моделей и методов отыскания на них оптимальных решений.
Вид модели определяется типом связи между решениями (альтернативами, стратегиями) и результатами, который в свою очередь зависит от условий, в которых протекает операция и приходится принимать решения.
1. Решения принимаются в условиях определенности. Это значит, что каждому решению можно поставить в соответствие (пусть даже путем сложных расчетов) определенный результат, то есть имеет место детерми-нированный тип связи. Модели, описывающие такие ситуации, называются детерминированными . Этот тип модели на практике применяется наиболее широко, так как он "удобен в работе". По этой причине такие модели часто используют в качестве первого приближения и в условиях, отличающихся от ситуации определенности.
Приведем простой пример детерминированной модели. Пусть в пункте A , возле которого проходит прямая дорога, расположена пожарная часть, а на лугу в точке C - некоторое строение (рис.1.1). В случае возгорания строения пожарная машина должна быстро прибыть к месту пожара. Известны расстояния AB и BC и скорости движения машины по дороге и по лугу . Требуется определить кратчайший путь движения машины. Если правомерно допущение об отсутствии влияния на скорость машины каких-либо случайных факторов, то описанная ситуация характеризуется полной определенностью. Очевидно, что оптимальный маршрут машины надо искать в классе ломаных линий, включающих не более двух отрезков прямых (любой другой путь будет заведомо хуже). Такой путь полностью определяется точкой излома - расстоянием от пункта A до места съезда машины с дороги. Выбрав в качестве критерия оптимальности время движения машины, можем представить математическую модель операции в виде
Как видно из модели, каждой альтернативе в выборе маршрута (значению ) ставится в соответствие его показатель T . Детерминизм данной модели отражает определенность ситуации.
2. Решения принимаются в условиях риска. Между решениями и результатами имеет место стохастическая связь: определенному решению может соответствовать более одного результата, вероятности появления которых известны. Адекватным отображением таких условий являются вероятностные (стохастические) модели. Если под результатом имеется в виду значение критерия, то исходная постановка задачи (и модель!) некорректна: нельзя максимизировать или минимизировать случайную величину. В этом случае в качестве критерия следует выбирать не исходный показатель, а одну из его вероятностных характеристик, например, математическое ожидание или дисперсию. Неоднозначность обусловлена наличием случайных факторов. Но осреднение случайных аргументов и осреднение результатов, на которые первые влияют, далеко не всегда одно и то же. Это объясняется тем, что в общем случае не выполняется равенство
где - случайные величины; M - знак математического ожидания.
Рассмотрим пример такой ситуации. Пусть фирма "Апельсин" постоянно занимается продажей фруктов. Для простоты будем считать, что поставка и продажа фруктов осуществляется целыми контейнерами, а единицей времени является неделя. Спрос на фрукты C колеблется случайным образом, но вероятность спроса в случайно взятую неделю P (C ) известна. При заключении договора с поставщиком на очередной период фирма должна определить наиболее выгодное для нее количество контейнеров, которое будет поставляться еженедельно, если известны прибыль от реализации одного контейнера и убыток при его невостребовании. Так как спрос случаен, то и результат - доход за неделю D , для фиксированного числа заказываемых контейнеров n будет случайной величиной: в случае, когда спрос превысит предложение, то есть при C>n ,
D = dn , (1.2)
если же предложение окажется выше спроса (C £n ), доход
D = dC- (n-C )b . (1.3)
Таким образом, доход D является функцией управляемой величины n и случайного фактора C . Очевидно, что максимизация такого показателя бессмысленна. В качестве критерия оптимальности разумно взять математическое ожидание дохода за неделю, так как его максимизация обеспечит максимум дохода за весь период. Поскольку вероятность появления случаев (1.2) и (1.3) определяется P (C ), модель задачи будет иметь вид
где означает "целое". При составлении этой модели в явном виде учитывалась стохастичность ситуации и, следовательно, принимаемые по ней решения в такой же степени учитывают фактор случайности. Упрощенное представление операции может базироваться на аппрок-симации реальной ситуации детерминированной. В этом случае спрос рассматривается как неслучайная величина, равная его математическому ожиданию . При этом доход
также неслучаен. На такой моделиоптимальное решение, максимизирующее , определяется просто: n ° = .
Чтобы показать отличие результатов при использовании упрощенной модели и модели (1.4), произведем расчет для исходных данных =30, =5 и вероятности спроса:
Р (С ) |
Вычисляем средний спрос: . Тогда по упрощенной модели получим: n ° = 3, D =90. Такой доход имел бы место при детерминированном и неизменяемом уровне спроса. Но при случайном спросе величина D =90 будет достигаться только в те недели, когда спрос окажется не меньше 3, а в другие недели доход будет ниже и, следовательно, средний доход за весь период станет меньше 90. Чтобы показать это и одновременно определить оптимальное число контейнеров при случайном спросе, вычислим значения среднего дохода по модели (1.4) при всех возможных n :
По результатам вычислений видно, что решение n ° =3, полученное на детерминированной модели, не обеспечивает максимального среднего дохода. Кроме того, видно, что в условиях случайного спроса оптимальным является решение n * =4, при котором средний доход составляет 81.5 против 74.25 при n ° =3. Это пример операции, для которой не выполняется равенство (1.1), хотя случайный фактор имеет симметричное распределение. Судя по разнице результатов на двух моделях, в данной операции стохастичность оказывает значимое влияние и поэтому ее нельзя не учитывать.
Однако наличие случайных факторов не всегда влечет за собой неоднозначность результатов. Возможны случаи, когда элементарные составляющие процесса или системы ведут себя случайно, а результаты системы в целом не случайны. Характерным примером такой системы является идеальный газ, поведение которого подчиняется детерминированному закону БойляМариотта. Неслучайное поведение на макроуровне при наличии элементов случайности на микроуровне называют стохастическим детерминизмом.
3.Решения принимаются в условиях неопределенности. Это ситуация, противоположная первой рассмотренной. Природа неопределенности может быть различной, но в общем случае она проявляется в том, что определенному решению соответствует более одного результата, а вероятностные характеристики результатов неизвестны. Математические модели, описывающие неопределенный тип связи, разнообразны и не имеют единого названия. В частности, к этому классу относятся матричные модели, модели типа "игра", "аукционный торг", нечеткие модели.
Во многих случаях ситуацию неопределенности можно представить (или аппроксимировать) матрицей вида
Состояние среды |
||||
(где - результат (исход) выбора альтернативы при условии, что среда окажется в состоянии ; может иметь смысл прибыли, дохода, выигрыша или затрат, проигрыша, убытков и т.п.).
Прежде чем выбирать решение на этой модели, нужно определиться с принципом оптимальности, на основе которого будут сравниваться альтернативы, так как только одно желание ЛПР получить наилучший результат не дает такой основы. Принцип оптимальности зависит от точки зрения на ситуацию ЛПР, его отношения к риску, от предположений относительно поведения среды. Наиболее характерной гипотезой поведения среды является представление, что среда ведет себя наихудшим образом ("как назло"). Это самый пессимистический взгляд на ситуацию, свойственный ЛПР, не склонному к риску. В этом случае выбор решения основывается на принципе гарантированного результата (иногда его называют критерием Вальда). Он состоит в том, что эффективность каждой альтернативы оценивается наихудшим из исходов, возможных при выборе данной альтернативы. Такой результат гарантируется, то есть будет не хуже, при любом фактическом состоянии среды. Теперь очевидно, что наилучшим решением в смысле принятого принципа оптимальности будет выбор той альтернативы, которая имеет наилучший гарантированный результат. Так, если имеет смысл прибыли, то оценкой -м состоянии среды и выигрышем при выборе отражают разный уровень риска ЛПР. Возможны и другие подходы к выбору оптимальных решений в условиях неопределенности, но все они, как и последние два, не гарантируют достижение расчетных результатов.
Как следует из вышерассмотренного, выбор вида модели требует от исследователя интуиции и опыта наряду с глубокими знаниями моделируемой области. Следует особо отметить, что построение модели основывается на представлениях аналитика, которые могут не соответствовать реальным связям в большей или меньшей степени. При этом большое значение имеют оценка влияния случайных факторов, факторов неопределенности, уровень агрегирования, допустимая сложность модели. Так, нередко возникает дилемма: построить высокоточную, но очень сложную модель, на которой можно будет получить только приближенное к оптимальному решение, либо поступиться точностью моделирования и иметь возможность применять на модели точные методы оптимизации. Какое решение окажется ближе к истинному оптимальному, заранее сказать невозможно. К сожалению, не существует готовых рецептов построения математических моделей. Это один из этапов операционного исследования, который, следуя Саати, можно отнести к области искусства.
Лабораторных и самостоятельных занятий. Общая постановка задачи об оптимизации . Основные понятия и определения. Графики... энергосистемы О рациональном управлении энергосистемой. Постановка задачи оптимизации режима энергосистемы и основные этапы ее...
Оптимизация в системах управления
ЗадачаАдаптивными или экстремальными регуляторами. При постановке задачи оптимизации разработчику системы (устройства) необходимо... поэтому широко применяются при расчетах. Задача оптимизации - задача нелинейного программирования Мы познакомились с...
Оптимизация конструктивных параметров и алгоритмов управления радиального электромагнитного подвеса
Автореферат диссертацииХарактеристики и динамические параметры РЭМП. - Постановка задачи оптимизации РЭМП и методика ее реализации, основанная... второй главе сформулирована постановка задачи оптимизации РЭМП, выбраны критерии (параметры) оптимизации и варьируемые факторы. ...
