Суть состоит в следующем: этот показатель измеряет меру зависимости вариации одной величины от многих других. Он применяется для оценки качества линейной регрессии.
Формула расчета:
R^2 \equiv 1-{\sum_i (y_i — f_i)^2 \over \sum_i (y_i-\bar{y})^2},
- \bar{y} – ср. арифметическое зависимой переменной;
- fi – знач. зависимой переменной, предполагаемое по уравнению регрессии;
- yi – значение исследуемой зависимой переменной.
Детерминация, что это такое — определение
Коэффициент детерминации – часть дисперсии переменной (зависимой), которая обуславливается конкретной моделью зависимости. Так эта единица поможет вычесть долю необъясненной дисперсии в дисперсии зависимой переменной.
Данный показатель может принимать значения в пределах от 0 до 1. Чем его значение ближе к 1, тем связаннее результативный признак с исследуемыми факторами.
Т.к. преступление является результатом связи поведения и личностных качеств, этот показатель в деятельности заинтересованных органов рассчитывается для оценки качества преступного поведения, дает представление, что послужило вероятностной причиной преступления, что является мотивацией, какие этому были причины и условия.
Коэффициент детерминации, что показывает?
Этот коэффициент показывает варианты результативного признака от влияния факторного признака, он тесно связан с числом корреляции. Если связь отсутствует, то показатель равняется нулю, при ее наличии – единице.
Есть определение детерминизма как принципа устройства мира. Основой этого представления является взаимосвязанность всех явления. Это учение отрицает существование вещей вне взаимосвязи с миром.
Противоположностью является индетерминизм, он связан с отрицанием объективных отношений детерминации, или отрицанием причинности.
Генетический детерминизм – вера в то, что любой организм развивается под генетическим контролем.
Под детерминантами преступности в криминологии понимают социальные явления, действия которых могут вызвать преступность.
С помощью расчетов такого рода можно оценить вероятностное социокультурное влияние различных факторов на развитие личности и предположить, как себя будет вести человек, например, в деловом общении, объективно оценить, подходит ли он для государственного управления, или воинской службы.
Так же коэффициент определяет, правильно ли выбран индекс для подсчета коэффициентов бета и альфа. Если в % цифра ниже 75 к определенному индексу, значения бета и альфа к нему будут некорректны.
Индекс детерминации
Индекс детерминации – это квадрат инд. корреляции нелинейных связей. Этим значением характеризуют, на какое количество процентов моделью регрессии объясняются варианты показателей результативной переменной по отношению к своему среднему уровню.
Формула
Коэффициент детерминации скорректированный
Суть данного понятия состоит в следующем: этот индекс показывает долю дисперсии (общей) результативной переменной, объясняющей вариантами факторных переменных, включаемых в модель регрессии: (с увеличением, уменьшением).
Как уж ранее отмечалось, в случае линейной регрессии основными показателями качества построенного уравнения регрессии служат коэффициент детерминации и критерий Фишера. Использование этих показателей обосновывается в теории дисперсионного анализа. Здесь рассматриваются следующие суммы:
· – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (TSS );
· 
– сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS
);
· – сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов (ESS ).
Напомним, что для моделей, линейных относительно параметров, выполняется следующее равенство
Исходя из этого равенства, вводился коэффициент детерминации
. (6.22)
В силу определения R 2 принимает значения между 0 и 1, . Чем ближе R 2 к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные , тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Если R 2 =1, то эмпирические точки (x i ,y i) лежат на линии регрессии и между переменными Y и X существует функциональная зависимость . Если R 2 =0, то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтённых в модели переменных . Величина R 2 показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной .
Однако для моделей, нелинейных относительно параметров, равенство (6.21) не выполняется , т.е. . В связи с этим может получиться, что или . Это означает, что коэффициент детерминации, определяемый по формулам (6.22), может быть больше единицы или меньше нуля. Следовательно, R 2 для нелинейных моделей не является вполне адекватной характеристикой качества построенного уравнения регрессии.
На практике обычно в качестве коэффициента детерминации принимается величина
Эта величина имеет тот же самый смысл, что и для линейной модели, но при его использовании нужно учитывать все рассмотренные выше оговорки.
Замечание. Величину R 2 для нелинейных моделей иногда называют индексом детерминации , корень из данной величины R называют индексом корреляции.
Если после преобразования нелинейное уравнение регрессии принимает форму линейного парного уравнения регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции , где z – преобразованная величина независимой переменной, например z =1/x или z =lnx .
Иначе обстоит дело, когда преобразования уравнения в линейную форму связаны с результативным признаком. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям даёт лишь приближённую оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции.
Вследствие близости результатов и простоты расчётов с использованием компьютерных программ для характеристики тесноты связи по нелинейным функциям широко используется линейный коэффициент корреляции ( или ). Несмотря на близость значений R yx и или R yx и , следует помнить, что эти значения не совпадают. Это связано с тем, что для нелинейной регрессии , в отличие от линейной регрессии .
Коэффициент детерминации можно сравнивать с квадратом коэффициента корреляции для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина меньше . Близость этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию. Практически, если величина ( – ) не превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным. В противном случае проводится оценка существенности различия этих показателей, вычисленных по одним и тем же исходным данным.
Коэффициент детерминации можно использовать при сравнении двух альтернативных уравнений регрессии. Можно выбрать наилучшую из них по максимальному значению коэффициента детерминации. При рассмотрении альтернативных моделей с одним и тем же определением зависимой переменной предложенный способ выбора достаточно проста и очевидна. Однако нельзя сравнивать, например, линейную и логарифмические модели. Значения lnY значительно меньше соответствующих значений Y , поэтому неудивительно, что остатки также значительно меньше, но это ничего не решает. Величина R 2 безразмерна, однако в двух уравнениях она относится к разным понятиям. В одном уравнении она измеряет объясненную регрессией долю дисперсии Y , а в другом – объясненную регрессией долю дисперсии lnY . Если для одной модели коэффициент R 2 значительно больше, чем для другой, то можно сделать оправданный выбор без особых раздумий, однако, если значения R 2 для двух моделей приблизительно равны, то проблема выбора существенно усложняется.
Более подробно проблемы спецификации рассматриваются в дополнении 3.
Отметим, что критерий Фишера можно применять только для нормальной линейной классической регрессионной модели . Однако в общем случае, в первую для моделей нелинейных по параметрам, критерий Фишера применять нельзя! Иногда критерий Фишера применяют для линеаризованных моделей, однако здесь следует помнить, что исходное и линеаризованное уравнения не одно и то же, т.е. здесь нужны серьезные оговорки.
Более подробно использования критерия Фишера для линеаризированных моделей смотрите в дополнении 2.
ПРИМЕРЫ
Пример 6.1. Вычислить полулогарифмическую функцию регрессии зависимости доли расходов на товары длительного пользования в общих расходах семьи (Y , %) от среднемесячного дохода семьи (X , тыс. $ ):
| X | ||||||
| Y | 13,4 | 15,4 | 16,5 | 18,6 | 19,3 |
Решение. Используем стандартные процедуры линейного регрессионного анализа. Для расчетов воспользуемся данными таблицы 6.1:
Табл. 6.1.
| № | x | u= lnx | y | uy | u 2 | y 2 | A | |||
| 9,88 | 0,12 | 1,241 | 0,0154 | |||||||
| 0,693 | 13,4 | 9,29 | 0,48 | 179,56 | 13,43 | -0,03 | 0,232 | 0,0010 | ||
| 1,099 | 15,4 | 16,92 | 1,21 | 237,16 | 15,51 | -0,11 | 0,718 | 0,0122 | ||
| 1,386 | 16,5 | 22,87 | 1,92 | 272,25 | 16,99 | -0,49 | 2,946 | 0,2363 | ||
| 1,609 | 18,6 | 29,94 | 2,59 | 345,96 | 18,13 | 0,47 | 2,524 | 0,2203 | ||
| 1,792 | 19,1 | 34,22 | 3,21 | 364,81 | 19,07 | 0,03 | 0,180 | 0,0012 | ||
| Итого | 6,579 | 113,24 | 9,41 | 1499,74 | 7,840 | 0,4864 | ||||
| Среднее значение | 3,5 | 1,097 | 15,5 | 18,87 | 1,57 | 249,96 | 1,307 |
В соответствии с формулами (6.103) вычисляем
, .
В результате, получим уравнение полулогарифмической регрессии:
Подставляя в уравнение (6.24) фактические значения x i , получаем теоретические значения результата . Используя программу Excel ,
| ВЫВОД ИТОГОВ | |||||||
| Регрессионная статистика | |||||||
| Множественный R | 0,9958 | ||||||
| R -квадрат | 0,9916 | ||||||
| Нормированный R -квадрат | 0,9896 | ||||||
| Стандартная ошибка | 0,3487 | ||||||
| Наблюдения | |||||||
| ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ | |||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||
| Регрессия | 57,75 | 57,75 | 474,93 | 0,000026 | |||
| Остаток | 0,49 | 0,12 | |||||
| Итого | 58,24 | ||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | |
| Y -пересечение | 9,8759 | 0,2947 | 33,51 | 0,0000047 | 9,0576 | 10,6942 |
| Переменная lnX | 5,1289 | 0,2353 | 21,79 | 0,0000262 | 4,4755 | 5,7823 |
Из этих данных видно, в частности, что все коэффициенты регрессии статистически значимы. Оценим качество уравнения регрессии. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации
,
т.е. с точки зрения этого показателя уравнение регрессии подобрано очень хорошо.
Вычислим теперь средний коэффициент эластичности
Таким образом, при возрастании среднемесячного дохода семьи на 1% доля расходов на товары длительного пользования в общих расходах семьи возрастет на 0,25% .
Коэффициент детерминации для данной модели совпадает с квадратом коэффициента корреляции . По данным таблицы 6.3 получаем
И 
.
Коэффициент детерминации показывает, что уравнение регрессии на 99% объясняет вариацию значений признака y , т.е. с точки зрения коэффициента детерминации построенное уравнение регрессии очень хорошо описывает исходные данные.
Для оценки качества данной модели можно использовать критерий Фишера (при предположении, что мы имеем дело с нормальной классической линейной моделью). В этом случае получаем
, 
.
Поскольку F набл >F крит , то гипотеза о случайной природе оцениваемых параметров отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность, т.е. построенное уравнение регрессии признается статистически значимым. â
Пример 6.2. Имеются данные о просроченной задолженности по заработной плате за 9 месяцев 2000 г. по Санкт-Петербургу.
. Оцените качество построенной регрессии. б) Оцените МНК коэффициенты обратной модели 
, линеаризуя модель. Оцените качество построенной регрессии. в) Оцените МНК коэффициенты обратной модели 
, используя численные методы (метод Маркуардта)? г) Проанализируйте полученные результаты.
Решение. а) Используя стандартные процедуры линейного регрессионного анализа (считая, как обычно, t =1 для января 2000 г.), получим:
| ВЫВОД ИТОГОВ | |||||||
| Регрессионная статистика | |||||||
| Множественный R | 0,846 | ||||||
| R -квадрат | 0,716 | ||||||
| Нормированный R -квадрат | 0,675 | ||||||
| Стандартная ошибка | 12,233 | ||||||
| Наблюдения | |||||||
| ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ | |||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||
| Регрессия | 2640,07 | 2640,07 | 17,64 | 0,00403 | |||
| Остаток | 1047,58 | 149,65 | |||||
| Итого | 3687,64 | ||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | ||
| Y-пересечение | 410,12 | 8,89 | 46,15 | 5,87E-10 | 389,11 | 431,14 | |
| Переменная X 1 | -6,63 | 1,58 | -4,20 | 4,03E-03 | -10,37 | -2,90 | |
,
 |
причём все коэффициенты регрессии значимы. Коэффициент детерминации равен , т.е. линейная модель удовлетворительно описывает исходные данные. На графике поле корреляции и линейное уравнение регрессии будут выглядеть следующим образом:
В соответствии с построенным уравнением просроченная задолженность по заработной плате за 9 месяцев 2000 г. ежемесячно снижалась на 6,6 млн. руб. Расчётное значение просроченной задолженности за декабрь 1999 г. составило 410,1 млн. руб. Точечный прогноз за октябрь составила: млн. руб.
Оценим точность прогноза. В соответствии с линейным регрессионным анализом, находим предельную ошибку индивидуального прогноза (на уровне значимости a=0,05):
.
Точность прогноза составила 
.
б) Линеаризуем модель, полагая v =1/y . Составляем расчётную таблицу.
| Месяцы | t | y | v= 1/y | tv | t 2 | v 2 | |||
| Январь | 387,6 | 0,00258 | 0,0026 | 0,0000067 | 0,00247 | 0,0001134 | 0,00000001286 | ||
| Февраль | 399,9 | 0,00250 | 0,0050 | 0,0000063 | 0,00252 | -0,0000145 | 0,00000000021 | ||
| Март | 404,0 | 0,00248 | 0,0074 | 0,0000061 | 0,00256 | -0,0000885 | 0,00000000783 | ||
| Апрель | 383,1 | 0,00261 | 0,0104 | 0,0000068 | 0,00261 | -0,0000020 | 0,00000000000 | ||
| Май | 376,9 | 0,00265 | 0,0133 | 0,0000070 | 0,00266 | -0,0000076 | 0,00000000006 | ||
| Июнь | 377,7 | 0,00265 | 0,0159 | 0,0000070 | 0,00271 | -0,0000618 | 0,00000000382 | ||
| Июль | 358,1 | 0,00279 | 0,0195 | 0,0000078 | 0,00276 | 0,0000345 | 0,00000000119 | ||
| Август | 371,9 | 0,00269 | 0,0215 | 0,0000072 | 0,00281 | -0,0001177 | 0,00000001385 | ||
| Сентябрь | 333,4 | 0,00300 | 0,0270 | 0,0000090 | 0,00286 | 0,0001442 | 0,00000002081 | ||
| Итого: | 3392,6 | 0,02395 | 0,1227 | 0,0000639 | 0,02395 | 0,00000006063 | |||
| Среднее | 376,96 | 0,002661 | 0,0136 | 31,67 | 0,0000071 |
Вычисляем
В результате, получим уравнение обратной регрессии:
.
Используя программу Excel получим следующие данные (на уровне значимости a=0,05):
| ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ | ||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | ||
| Регрессия | 1,41557E-07 | 1,41557E-07 | 16,34 | 0,00492 | ||
| Остаток | 6,06323E-08 | 8,66176E-09 | ||||
| Итого | 2,02189E-07 | |||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | |
| Y -пересечение | 0,002418 | 6,76E-05 | 35,76 | 3,47E-09 | 0,00226 | 0,00258 |
| Переменная lnX | 0,0000486 | 1,20E-05 | 4,04 | 0,00492 | 2,02E-05 | 7,70E-05 |
R 2 =0,7). Этот вывод подтверждается и с точки зрения критерия Фишера (отметим, что для линеаризованных моделей, при определённых оговорках, можно применить критерий Фишера). Однако в рассматриваемом случае МНК применялся не к y , а к обратным значениям 1/y
| t | y | A | |||||
| 387,6 | 405,42 | -17,821 | 317,58 | 113,30 | 810,26 | 4,60 | |
| 399,9 | 397,59 | 2,309 | 5,33 | 526,45 | 425,83 | 0,58 | |
| 404,0 | 390,06 | 13,942 | 194,37 | 731,40 | 171,68 | 3,45 | |
| 383,1 | 382,81 | 0,294 | 0,09 | 37,75 | 34,22 | 0,08 | |
| 376,9 | 375,82 | 1,082 | 1,17 | 0,00 | 1,29 | 0,29 | |
| 377,7 | 369,08 | 8,620 | 74,30 | 0,55 | 62,02 | 2,28 | |
| 358,1 | 362,58 | -4,480 | 20,07 | 355,53 | 206,64 | 1,25 | |
| 371,9 | 356,31 | 15,595 | 243,19 | 25,56 | 426,43 | 4,19 | |
| 333,4 | 350,24 | -16,844 | 283,71 | 1897,09 | 713,52 | 5,05 | |
| 3392,6 | 2,696 | 1139,81 | 3687,64 | 2851,90 | 21,77 | ||
| 376,96 | 2,42 |
.
Отметим, что для нелинейных моделей, оцененных МНК, эта сумма всегда равна нулю. Следовательно, оценки исходной нелинейной модели будут смещёнными .
Отсюда, в частности, следует, что равенство не выполняется. Действительно,
В связи с этим, для коэффициента детерминации можно получить два разных значения:
, или 
.
Это означает, что коэффициент детерминации для нелинейных моделей не всегда является адекватной характеристикой. Отметим, что в компьютерных программах для вычисления коэффициента детерминации в основном используют второе равенство.
Сделаем прогноз по полученному уравнению обратной модели и оценим его точность. Точечный прогноз за октябрь составит:
Млн. руб.
Оценим точность прогноза. В соответствии с линейным регрессионным анализом, находим предельную ошибку индивидуального прогноза по линеаризированному уравнению (на уровне значимости a=0,05):
В результате, доверительный интервал для прогнозного значения будет иметь вид
Точность прогноза для преобразованной переменной v составляет 9,4%. Однако мы имеем дело нес обратными величинами v =1/y , а с y . Переходя к исходной переменной, получим следующий доверительный интервал
.
Точность прогноза для непреобразованной переменной y составляет уже 18,9%. Этот результат показывает, что исходное и преобразованное уравнения дают, вообще говоря, разный результат.
в) Оценим МНК коэффициенты обратной модели
,
используя численные методы (метод Левенберга-Маркуардта). Для этого воспользуемся программой STATISTIKA. Программа выдаёт следующие результаты.
Уравнение регрессии имеет вид
с коэффициентом детерминации R 2 =0,6947. Для сравнений приведем результаты вычислений.
Видно, что численные методы дают вполне удовлетворительный результат. Более того, они позволяют провести также и некоторый статистический анализ полученной модели (хотя и не такой полный по-сравнению с линейными моделями). Таким образом, как показывает данный пример, линеаризация не всегда даёт более лучший результат по-сравнению с численными методами.
г) Сделаем некоторые выводы. Отметим, что коэффициенты детерминации для обеих моделей (линейной и обратной) практически не отличаются друг от друга: R 2 =0,716 для линейной модели и R 2 =0,691 для обратной модели. Поэтому обе модели с точки зрения коэффициента детерминации равноценны. Однако при оценке точности прогноза лучше использовать, как мы видели, линейную модель. Таким образом, использование обратной модели для интерпретации имеющихся результатов не совсем оправдано. С точки зрения статистических свойств в данном случае лучше использовать линейную модель. â
Пример 6.3. Имеются данные о зависимости расхода топлива (Y , г /на т·км ) от мощности двигателя грузовых автомобилей общего назначения (X , л.с. ):
| X | |||||||||||
| Y |
а) Оцените МНК коэффициенты линейной модели . Оцените качество построенной регрессии. б) Оцените МНК коэффициенты степенной модели , линеаризуя модель. Оцените качество построенной регрессии.
Решение. а) Используя стандартные процедуры линейного регрессионного анализа, получим:
| ВЫВОД ИТОГОВ | |||||||
| Регрессионная статистика | |||||||
| Множественный R | 0,8378 | ||||||
| R -квадрат | 0,7019 | ||||||
| Нормированный R -квадрат | 0,6688 | ||||||
| Стандартная ошибка | 12,8383 | ||||||
| Наблюдения | |||||||
| ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ | |||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||
| Регрессия | 3493,3 | 3493,3 | 21,19 | 0,001284 | |||
| Остаток | 1483,4 | 164,8 | |||||
| Итого | 4976,7 | ||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | ||
| Y-пересечение | 103,866 | 9,993 | 10,39 | 0,0000 | 81,261 | 126,471 | |
| Переменная X | -0,3388 | 0,0736 | -4,60 | 0,0013 | -0,5053 | -0,1723 | |
Таким образом, линейное уравнение регрессии будет иметь вид
,
причём все коэффициенты регрессии значимы. Коэффициент детерминации равен , т.е. линейная модель удовлетворительно описывает исходные данные.
На графике поле корреляции и линейное уравнение регрессии будут выглядеть следующим образом:
Используя программу Excel получим следующие данные (на уровне значимости a=0,05):
| ВЫВОД ИТОГОВ | |||||||
| Регрессионная статистика | |||||||
| Множественный R | 0,8233 | ||||||
| R -квадрат | 0,6778 | ||||||
| Нормированный R -квадрат | 0,6420 | ||||||
| Стандартная ошибка | 0,2653 | ||||||
| Наблюдения | |||||||
| ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ | |||||||
| df | SS | MS | F | Значимость F | |||
| Регрессия | 1,3327 | 1,3327 | 18,93 | 0,001847 | |||
| Остаток | 0,6336 | 0,0704 | |||||
| Итого | 1,9663 | ||||||
| Коэффициенты | Стандартная ошибка | t-статистика | P-Значение | Нижние 95% | Верхние 95% | ||
| Y -пересечение | 8,141 | 0,946 | 8,609 | 0,0000123 | 6,002 | 10,280 | |
| Переменная lnX | -0,864 | 0,198 | -4,351 | 0,0018473 | -1,313 | -0,415 | |
Качество линеаризованного уравнения довольно высокое (R 2 =0,678). Этот вывод подтверждается и с точки зрения критерия Фишера (напомним, что для линеаризованных моделей, при определённых оговорках, можно применить критерий Фишера). Однако в рассматриваемом случае МНК применялся не к y , а к их логарифмам lny , а это существенная разница. Проанализируем исходную, нелинеаризированную, модель.
Из таблицы видно, что для данной модели
.
Следовательно, оценки исходной нелинейной модели будут смещёнными.
Для коэффициента детерминации можно получить два разных значения:
, или 
.
Это означает, что полученное уравнение достаточно хорошо описывает исходные данные и этот коэффициент выше, чем для коэффициента детерминации линейной регрессии. Хотя средний коэффициент аппроксимации не очень низкий .
Сделаем прогноз по полученному уравнению степенной модели и оценим его точность. При мощности двигателя x =70 л.с. расход топлива на 1 т-км составит
Одним из показателей, описывающих качество построенной модели в статистике, является коэффициент детерминации (R^2), который ещё называют величиной достоверности аппроксимации. С его помощью можно определить уровень точности прогноза. Давайте узнаем, как можно произвести расчет данного показателя с помощью различных инструментов программы Excel.
В зависимости от уровня коэффициента детерминации, принято разделять модели на три группы:
- 0,8 – 1 — модель хорошего качества;
- 0,5 – 0,8 — модель приемлемого качества;
- 0 – 0,5 — модель плохого качества.
В последнем случае качество модели говорит о невозможности её использования для прогноза.
Выбор способа вычисления указанного значения в Excel зависит от того, является ли регрессия линейной или нет. В первом случае можно использовать функцию КВПИРСОН , а во втором придется воспользоваться специальным инструментом из пакета анализа.
Способ 1: вычисление коэффициента детерминации при линейной функции
Прежде всего, выясним, как найти коэффициент детерминации при линейной функции. В этом случае данный показатель будет равняться квадрату коэффициента корреляции. Произведем его расчет с помощью встроенной функции Excel на примере конкретной таблицы, которая приведена ниже.
Способ 2: вычисление коэффициента детерминации в нелинейных функциях
Но указанный выше вариант расчета искомого значения можно применять только к линейным функциям. Что же делать, чтобы произвести его расчет в нелинейной функции? В Экселе имеется и такая возможность. Её можно осуществить с помощью инструмента «Регрессия» , который является составной частью пакета «Анализ данных» .
- Но прежде, чем воспользоваться указанным инструментом, следует активировать сам «Пакет анализа» , который по умолчанию в Экселе отключен. Перемещаемся во вкладку «Файл» , а затем переходим по пункту «Параметры» .
- В открывшемся окне производим перемещение в раздел «Надстройки» при помощи навигации по левому вертикальному меню. В нижней части правой области окна располагается поле «Управление» . Из списка доступных там подразделов выбираем наименование «Надстройки Excel…» , а затем щелкаем по кнопке «Перейти…» , расположенной справа от поля.
- Производится запуск окна надстроек. В центральной его части расположен список доступных надстроек. Устанавливаем флажок около позиции «Пакет анализа» . Вслед за этим требуется щелкнуть по кнопке «OK» в правой части интерфейса окна.
- Пакет инструментов «Анализ данных» в текущем экземпляре Excel будет активирован. Доступ к нему располагается на ленте во вкладке «Данные» . Перемещаемся в указанную вкладку и клацаем по кнопке «Анализ данных» в группе настроек «Анализ» .
- Активируется окошко «Анализ данных» со списком профильных инструментов обработки информации. Выделяем из этого перечня пункт «Регрессия» и клацаем по кнопке «OK» .
- Затем открывается окно инструмента «Регрессия»
. Первый блок настроек – «Входные данные»
. Тут в двух полях нужно указать адреса диапазонов, где находятся значения аргумента и функции. Ставим курсор в поле «Входной интервал Y»
и выделяем на листе содержимое колонки «Y»
. После того, как адрес массива отобразился в окне «Регрессия»
, ставим курсор в поле «Входной интервал Y»
и точно таким же образом выделяем ячейки столбца «X»
.
Около параметров «Метка» и «Константа-ноль» флажки не ставим. Флажок можно установить около параметра «Уровень надежности» и в поле напротив указать желаемую величину соответствующего показателя (по умолчанию 95%).
В группе «Параметры вывода» нужно указать, в какой области будет отображаться результат вычисления. Существует три варианта:
- Область на текущем листе;
- Другой лист;
- Другая книга (новый файл).
Остановим свой выбор на первом варианте, чтобы исходные данные и результат размещались на одном рабочем листе. Ставим переключатель около параметра «Выходной интервал» . В поле напротив данного пункта ставим курсор. Щелкаем левой кнопкой мыши по пустому элементу на листе, который призван стать левой верхней ячейкой таблицы вывода итогов расчета. Адрес данного элемента должен высветиться в поле окна «Регрессия» .
Группы параметров «Остатки» и «Нормальная вероятность» игнорируем, так как для решения поставленной задачи они не важны. После этого клацаем по кнопке «OK» , которая размещена в правом верхнем углу окна «Регрессия» .
- Программа производит расчет на основе ранее введенных данных и выводит результат в указанный диапазон. Как видим, данный инструмент выводит на лист довольно большое количество результатов по различным параметрам. Но в контексте текущего урока нас интересует показатель «R-квадрат» . В данном случае он равен 0,947664, что характеризует выбранную модель, как модель хорошего качества.
Способ 3: коэффициент детерминации для линии тренда
Кроме указанных выше вариантов, коэффициент детерминации можно отобразить непосредственно для линии тренда в графике, построенном на листе Excel. Выясним, как это можно сделать на конкретном примере.
- Мы имеем график, построенный на основе таблицы аргументов и значений функции, которая была использована для предыдущего примера. Произведем построение к нему линии тренда. Кликаем по любому месту области построения, на которой размещен график, левой кнопкой мыши. При этом на ленте появляется дополнительный набор вкладок – «Работа с диаграммами» . Переходим во вкладку «Макет» . Клацаем по кнопке «Линия тренда» , которая размещена в блоке инструментов «Анализ» . Появляется меню с выбором типа линии тренда. Останавливаем выбор на том типе, который соответствует конкретной задаче. Давайте для нашего примера выберем вариант «Экспоненциальное приближение» .
- Эксель строит прямо на плоскости построения графика линию тренда в виде дополнительной черной кривой.
- Теперь нашей задачей является отобразить собственно коэффициент детерминации. Кликаем правой кнопкой мыши по линии тренда. Активируется контекстное меню. Останавливаем выбор в нем на пункте «Формат линии тренда…»
.
Для выполнения перехода в окно формата линии тренда можно выполнить альтернативное действие. Выделяем линию тренда кликом по ней левой кнопки мыши. Перемещаемся во вкладку «Макет» . Клацаем по кнопке «Линия тренда» в блоке «Анализ» . В открывшемся списке клацаем по самому последнему пункту перечня действий – «Дополнительные параметры линии тренда…» .
- После любого из двух вышеуказанных действий запускается окошко формата, в котором можно произвести дополнительные настройки. В частности, для выполнения нашей задачи необходимо установить флажок напротив пункта «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2)» . Он размещен в самом низу окна. То есть, таким образом мы включаем отображение коэффициента детерминации на области построения. Затем не забываем нажать на кнопку «Закрыть» внизу текущего окна.
- Значение достоверности аппроксимации, то есть, величина коэффициента детерминации, будет отображено на листе в области построения. В данном случае эта величина, как видим, равна 0,9242, что характеризует аппроксимацию, как модель хорошего качества.
- Абсолютно точно таким образом можно устанавливать показ коэффициента детерминации для любого другого типа линии тренда. Можно менять тип линии тренда, произведя переход через кнопку на ленте или контекстное меню в окно её параметров, как было показано выше. Затем уже в самом окне в группе «Построение линии тренда» можно переключиться на другой тип. Не забываем при этом контролировать, чтобы около пункта «Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации» был установлен флажок. Завершив вышеуказанные действия, щелкаем по кнопке «Закрыть» в нижнем правом углу окна.
- При линейном типе линия тренда уже имеет значение достоверности аппроксимации равное 0,9477, что характеризует эту модель, как ещё более достоверную, чем рассматриваемую нами ранее линию тренда экспоненциального типа.
- Таким образом, переключаясь между разными типами линии тренда и сравнивая их значения достоверности аппроксимации (коэффициент детерминации), можно найти тот вариант, модель которого наиболее точно описывает представленный график. Вариант с самым высоким показателем коэффициента детерминации будет наиболее достоверным. На его основе можно строить самый точный прогноз.
Например, для нашего случая опытным путем удалось установить, что самый высокий уровень достоверности имеет полиномиальный тип линии тренда второй степени. Коэффициент детерминации в данном случае равен 1. Это говорит о том, что указанная модель абсолютно достоверная, что означает полное исключение погрешностей.
Но, в то же время, это совсем не значит, что для другого графика тоже наиболее достоверным окажется именно этот тип линии тренда. Оптимальный выбор типа линии тренда зависит от типа функции, на основании которой был построен график. Если пользователь не обладает достаточным объемом знаний, чтобы «на глаз» прикинуть наиболее качественный вариант, то единственным выходом определения лучшего прогноза является как раз сравнение коэффициентов детерминации, как было показано на примере выше.
Таким образом можно выделить следующие свойства коэффициента детерминации:
1. ; в силу определения
2. =0;в этом случае RSS = 0, т. е. наша регрессия не объясняет, ничего не дает по сравнению с тривиальным прогнозом. Данные позволяют сделать вывод о независимости y и x, изменение в переменной x никак не влияет на изменение среднего значения переменной y. То есть увеличивается разброс точек на корреляционном поле относительно построенной линии регрессии(или статистическая зависимость очень слабая, или уравнение регрессии подобрано неверно).
3. =1; в этом случае все точки () лежат на одной прямой (ESS = 0). Тогда на основании имеющихся данных можно сделать вывод о наличии функциональной, а именно, линейной, зависимости между переменными y и x. Изменение переменной y полностью объясняется изменением переменной x.Для парной линей регрессии коэффициент детерминации точно равен квадрату коэффициента корреляции:
Вообще говоря, значение коэффициента детерминации не говорит о том, есть ли между факторами зависимость и насколько она тесная. Оно говорит только о качестве того уравнения, которое мы построили.
Удобно сравнивать коэффициенты детерминации для нескольких разных уравнений регрессии построенных по одним и тем же данным наблюдений. Из нескольких уравнений лучше то, у которого больше коэффициент детерминации.
3. Скорректированный коэффициент детерминации
Одним из свойств коэффициента детерминации является то, что это не убывающая функция от числа факторов, входящих в модель. Это следует из определения детерминации. Действительно в равенстве
Числитель не зависит, а знаменатель зависит от числа факторов модели. Следовательно, с увеличением числа независимых переменных в модели, коэффициент детерминации никогда не уменьшается. Тогда, если сравнить две регрессионные модели с одной и тоже зависимой переменной, но разным числом факторов, то более высокий коэффициент детерминации будет получен в модели с большим числом факторов. Поэтому необходимо скорректировать коэффициент детерминации с учетом количества факторов, входящих в модель.
Скорректированный (исправленный или оцененный) коэффициент детерминации определяют следующим образом:
Свойства скорректированного коэффициента детерминации:
1. Несложно заметить что при >1 исправленный коэффициент детерминации меньше коэффициента детерминации ().
2. , но может принимать отрицательные значения. При этом, если скорректированный принимает отрицательное значение, то принимает значение близкое к нулю ().
Таким образом скорректированный коэффициент детерминации является попыткой устранить эффект, связанный с ростом R 2 при увеличении числа регрессоров. - "штраф" за увеличение числа независимых переменных.
Вариация признака определяется различными факторами, часть этих факторов можно выделить, если статистическую совокупность разделить на группы по определенному признаку. Тогда, наряду с изучением вариации признака по совокупности в целом, можно изучить вариацию для каждой из составляющих ее группы и между этими группами. В простом случае, когда совокупность разделена на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством вычисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.
Эмпирический коэффициент детерминации
Эмпирический коэффициент детерминации широко применяется в статистическом анализе и является показателем, представляющим долю межгруппопой дисперсии в результативного признака и характеризует силу влияния группировочного признака на образование общей вариации. Он может быть рассчитан по формуле:
Показывает долю вариации результативного признака у под влиянием факторного признака х, он связан с коэффициентом корреляции квадратичной зависимостью. При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной связи - единице.
Например, когда изучается зависимость производительности труда рабочих от их квалификации коэффициент детерминации равен 0,7, то на 70% вариация производительности труда рабочих обусловлена различиями в их квалификации и на 30% - влиянием прочих факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение - это квадратный корень из коэффициента детерминации. Отношение показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками. Эмпирическое корреляционное отношение принимает значения от -1 до 1. Если связи нет, то корреляционное отношение равняется нулю, т.е. все групповые средние равняются между собой и межгрупповой вариации нет. Значит, группировочный признак не влияет на образование общей вариации.
Если связь функциональная, то корреляционное отношение равняется единице. В таком случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии, т.е. внутригрупповой вариации нет. Это значит, что группировочный признак полностью определяет вариацию результативного признака.
Чем ближе значение корреляционного отношения к единице, тем сильнее и ближе к функциональной зависимости связь между признаками. Для качественной оценки силы связи на основе показателя эмпирического коэффициента корреляции можно использовать соотношение Чэддока.
Соотношение Чэддока
- Связь весьма тесная — коэффициент корреляции находится в интервале 0,9 — 0,99
- Связь тесная — Rxy = 0,7 — 0,9
- Связь заметная — Rxy = 0,5 — 0,7
- Связь умеренная — Rxy = 0,3 — 0,5
- Связь слабая — Rxy = 0,1 — 0,3
