Как посчитать сетевой график. Расчет плановых параметров сетевых графиков

Расчетные параметры СГ:

i - j – код данной работы;

i – код начального события данной работы;

j – код конечного события данной работы;

h – i - код работ, предшествующих данной работе;

h – код событий, предшествующих начальному событию данной работы;

j - k – код работ, последующих за конечным событием данной работы;

k – код событий, последующих конечному событию данной работы;

L – путь;

L кр – критический путь;

t L – продолжительность пути;

T L кр – продолжительность критического пути и критический срок;

t i - j – продолжительность работы;

T р.н i - j –раннее начало работы;

T р.о i - j –раннее окончание работы;

T i p – ранний срок свершения события I ;

T п.н i - j – позднее начало работы i - j ;

T п.о i - j – позднее окончание работы i - j ;

T n j – поздний срок свершения события j ;

R i - j – общий (полный) резерв времени работы i - j ;

r i - j – частный (свободный) резерв времени работы i - j ;

Общая схема кодирования работ и события показана на рис.3.18.

Рис. 3.18. Общая схема кодирования работ и событий

Расчет сетевого графика аналитическим путем. Расчет времен­ных параметров СГ может выполняться по работам или по событиям, как это будет показано ниже.

Рис. 3.19. Сетевой график

Расчет ранних сроков. Ранние сро­ки начала и окончания работ и свершения событий СГ рассчитывают, начиная от ис­ходного события последовательно по всем путям СГ прямым ходом расчета. В резуль­тате этого расчета кроме ранних сроков ус­танавливают также общую продолжитель­ность работы по графику в целом и по от­дельным его участкам (рис. 3.19).

Расчет по работам. Раннее начало работы T р.н i - j – самое раннее из возможных время начала работы - определяют продолжительностью самого длинного пути от исходного события до начального события данной работы:

T р . н i-j =max t h-i (3.1)

Например, для работы 6-8 (рис. 3.19) раннее начало:

Так как продолжительность наибольшего пути 1-2, 2-5, 5-6 состав­ляет 16, то работу 6-8 можно начать на 17-й день. Раннее окончание работы T р.о i - j – время окончания работы (она нача­та в самый ранний из возможных сроков) – определяют суммой раннего начала и продолжительности данной работы:

T р . о i-j = T р . н i-j + t h-i . (3.2)

Например, для работы 6-8 раннее окончание:

T р.о 6-8 = T р.н 6-8 + t 6-8 =16+6=22.

Расчет по событиям. Ранний срок свершения начального собы­тия Т p i определяют максимальной величиной суммы ранних сроков свершения предшествующих событий и продолжительности работ, вхо­дящих в данное событие:

T p i = max { T p h + t h -1 }. (3.3)

Например,

Естественно, что расчет раннего срока свершения конечного со­ бытия работы выполняют по той же формуле.

Расчет поздних сроков. Расчет поздних сроков окончания и начала работ сетевого графика и свершения событий производят после того, как определены все ранние сроки и общая продолжительность. Расчет ведут обратным ходом от завершающего события к исходному последовательно по всем путям СГ.

Расчет по работам. Позднее окончание работы – самый поздний из допустимых сроков окончания работы, при котором не увеличивается общая продолжительность работ сетевого графика.

Позднее окончание рассматриваемой работы равно минимально­му из сроков поздних начал последующих работ:

T п . о i- j = minT п . н . j-k (3.4)

Определение позднего начала через позднее окончание основано на том, что расчет ведут от завершающего события, у которого ранние и поздние сроки совпадают, т. е. T р k = T n k . , поэтому, рассчитав ранние сроки работ, мы установили тем самым и поздний срок завершающего события:

T п.о j - k = T кр = max T p .о j - k . (3.5)

Например, для работы 2-5 позднее окончание:

Позднее начало работы T п.н i - j – самый поздний из допустимых сро ков начала работы, при котором не увеличивается общая продолжитель­ ность работ. Позднее начало работы равно разности между величинами ее позднего окончания и продолжительности:

T п.н 2-5 = T п. o i - j – t i - j . (3.6)

Например, для работы 2-5 позднее начало:

T п.н 2-5 = T 2-5 – t 2-5 =15 – 12 = 3.

Расчет по событиям. Поздний срок Т n j свершения события j опре­ деляется минимальной величиной из значений разности поздних сроков свершения конечных событий k и продолжительности работ, выходящих из данного события j :

T n i = min {T n k – t j-k }. (3.7)

Например, для события 5:

Сопоставление ранних и поздних сроков работ и событий по­зволяет рассчитать резерв времени, критический путь и провести анализ параметров графика.

Если ранние и поздние характеристики работ совпадают, то ра­ боты лежат на критическом пути. Критическими являются те события, на которых совпадают ранние и поздние сроки свершений.

Для критических работ соблюдаются следующие условия:

ранние и поздние сроки начала работы и соответственно их окончания равны, т. е.

T р.н i - j = T п.н. i - j = T н i - j ; T р.о. i - j = T п.о. i - j = T o i - j (3.8)

или при расчете по событиям ранние и поздние сроки свершения событий, ограничивающих данную работу, соответственно равны, т. е.

T р i = T п i ; T р j = T п j ; (3.9)

2) разность между возможными сроками окончания и начала работы равна ее продолжительности, т. е.

T o i-j – T H i-j = t i-j , (3.10)

или разность между сроками свершения конечного и начально­го событий равна продолжительности данной работы, т. е.

T j – T i = T i - j (3.11)

Например, для критической работы 3-7 первое условие T p.н 3-7 = T п.н 3-7 =10 , а также T p.о 3-7 = T п.о 3-7 =15 соблюдено. Второе условие:

Общий (полный) и частный резервы времени для работ критиче­ ского пути равны нулю. Для остальных работ определяют различные ви­ды резервов времени.

Общий (полный) резерв времени работы – это максимальное вре­ мя, за которое можно задержать начало работы или увеличить ее про­ должительность без изменения общего срока строительства. Величина Ri - j определяется разностью поздних и ранних сроков начала или окон­чания работы:

R i - j = T п.н i - j - T p.н i - j = T п.о i - j - T p.о i - j , (3.12)

R i - j = T п.о i - j - T p.н i - j – t i - j . (3.13)

Например, общий резерв времени для работы 4-6 составляет

или то же самое по событиям:

R i-j = T n j – T р i – t i-j ,

R 4-6 = T n 6 – T p 4 – t 4-6 = 19 – 2 - 4 = 13 (3.14)

Частный (свободный) резерв времени работы r i - j – максимальное количество времени, на которое можно перенести начало работы или увеличить ее продолжительность без изменения раннего начала последующих работ. Оно имеет место, когда в событие входят две работы и больше, и определяется разностью значений раннего начала последующей работы и раннего окончания данной работы.

Например, для работы 4-6 частный резерв

r i - j = T p .н j - k – T p . o i - j ,

r 4-6 = T p .н 6-8 - T p . o 4-6 = 16 – 6 = 10 , (3.15)

или в терминах событий

r i-j =T p j – T p i – t i-j (3.16)

Например, частный резерв времени для той же работы 4-6 составляет

R 4-6 = T p 6 - T p 6 – t 4-6 = 16 - 2 – 4 = 10.

Расчет сети непосредственно на графике. Расчет непосредствен­но на графике является самым простым и быстрым из ручных способов. При этом способе расчета строгое соблюдение правила кодирования со­бытий не обязательно. Для записи результатов расчета принимают одну из форм, показанных на рис. 3.20.

Рис. 3.20. Варианты формы записи результатов расчета: а – по секторам; б – в виде дроби; 1 – раннее начало работы Б; 2 – позднее окончание работы А

Расчет на сети требует проведения только чисто механических операций без обращения к формулам (рис. 3.21). Порядок расчета:

1. У исходного события под чертой (в знаменателе) ставят нуль.

2. Для каждого следующего события в знаменателе записы­вают число, равное сумме значения раннего срока свершения предыдущего события и продолжительности работы. Так, для события 2 записывают 2 (0+2=2), для со­бытия 4 – 8 (2+6=8) и т. д.

3. Если в событие входит две работы или больше, то рассчитывают значение каждой из них, записывая над стрелкой, но в знаменатель переносят только максимальное значение из всех полученных. Например, в событие 5 входят работы 2-5 и 2-3 (через зависимость). Первый путь дает значение 2+3=5, второй – 2 + 5=7. Принимают максимальное 7 и записывают в знаменатель. В событие 11 входит четыре работы, из них записывают максимальное значение 39.

4. В завершающем событии значение, записанное в знаменатель, определяющее длину критического пути, переносят над чертой (в числитель) (рис. 3.22).

5. Значение числителей определяют, ведя расчет от завершающего события к исходному, вычитая из значения поздних сроков свершения конечного события продолжительность предшествующих им работ. В отличие от расчета ранних сроков (знаменатель), если из события выходят две работы или более, принимают не максимальное, а минимальное значение. Например, из события 7 выходят две работы со значе­ниями 17 и 32; принимают минимальное 17.

6. Критический путь проходит через события, в которых значе­ния в числителе и знаменателе совпадают. Полный и частный резерв времени для работ критического пути равен нулю. На рис. 3.23 дан сетевой график с расчетными параметрами и показан критический путь.

7. Общий резерв времени для любой работы определяют вычитанием из значения числителя (конечного события данной работы) суммы значений знаменателя (начального события данной работы) и ее продолжительности. Так, для работы 9-10 полный резерв равен 34 (числитель конечного события) - 21 (знаменатель начального события) - 4 (продолжительность работы) = 9. Резерв времени события равен разности значений числителя и знаменателя. Соответственно для события 10 полный резерв равен 34 (числитель) - 25 (знаменатель) =9.

8. Частный резерв для любой работы определяют вычитанием из значения знаменателя конечного события данной работы суммы значений знаменателя начального события и продол­жительности данной работы. Для работы 4-8 частный резерв равен 17- (8+8) = 1.

Рис. 3.21. Расчет ранних начал работ сетевого графика

Рис. 3.22. Расчет поздних окончаний работ сетевого графика

Рис. 3.23. Сетевой график

Расчет сетевого графика табличным методом. При расчете СГ события кодируются в порядке возрастания (табл. 3). Сверху вниз за­полняют три первые колонки. По порядку номеров рассматривают каждое событие. Из первого события выходит работа 1-2, записывают ее код в гр. 2, продолжительность, равную 2, – в гр. 3, а так как предшествующих ей работ нет, в гр. 1 ставим прочерк.

Из события 2 выходят три работы: 2-3 с продолжительностью 5 дн; 2-4 с продолжительностью 6 дн; 2-5 с продолжительностью 3 дн. Записы­вают коды работ и их продолжительность в гр. 2 и 3, затем рассматривают работы, входящие в событие 2. Такой оказывается работа 1-2, так как только эта работа в гр. 2 оканчивается цифрой 2. Начальным событием этой работы является событие 1. Номер 1 записывают в гр. 1 для всех трех работ и т. д. Зависимость вносят в таблицу с нулевой продолжительностью (3-5, 7-8).

Если работа имеет несколько предшествующих событий, то записывают все их коды. Работе 5-7 предшествуют работы 2-5 и 3-5, имеющие начальные события 2 и 3, их коды 2 и 3 записывают в гр. 1.

В гр. 4, 5 записывают расчет ранних параметров работы – раннее начало и раннее окончание. Расчет ведут от исходного события до завер­шающего. Для простых событий, в которые входит только одна работа, раннее начало этой работы равно раннему окончанию предшествующей работы. Раннее окончание работы равно сумме ее раннего начала плюс продолжительность данной работы, т. е. данные гр. 4 плюс данные гр. 3 заносят в гр. 5.

Раннее начало исходной работы 1 -2 равно 0 (гр. 4); раннее оконча­ние работы 1-2 равно 2(0+2). Работе 2-3 предшествует работа 1-2, для ко­торой раннее окончание равно 2 (гр. 5). А так как раннее окончание пред­шествующей работы равно раннему началу последующей, число 2 запи­сывают в гр. 4 рассматриваемой работы 2-3. Прибавив к 2 продолжитель­ность работы 5 записывают в гр. 5 число 7.

Таблица 3.

Расчет параметров сетевого графика

Резервы работ

Код начальных событий предшествую-щи работ h

Код работы

Прдолжительность работы t i-j

начало работ

окончание работ (гр. 3 + гр. 4)

окончания работ

общие (гр. 6 - гр. 4) (гр. 7 - гр. 5)

Отметка критических работ

Ранние начала работ 2-4 и 2-5 также равны 2, так как им предшествует то же самое событие 2. В гр. 4 против кода этих работ записывают 2, а в гр. 5 заносят соответственно 8(2+6) и 5(2+3). Работам 3-5 и 3-6 также предшествует только одна работа 2 -3 с цифрой 7 в гр. 5. Переносят 7 в гр.4 и т. д.

При рассмотрении сложного события, т. е. когда ему предшествуют две работы и более, раннее начало последующей работы будет равно наибольшему значению их ранних окончаний предшествующих работ. В настоящей таблице работы 5-7, 7-8, 7-11 и 8-9 имеют по две предшест­вующие работы (см. гр. 1). Например, работе 5-7 предшествуют работы 2-5 и 3-5 с начальными событиями 2 и 3.

Так как ранние характеристики работ, в том числе и работ 2-5 и 3-5, рассчитаны, остается только сравнить их величины. Раннее окончание работы 2-5 равно 5, а работы 3-5 равно 7. Большее из этих чисел 7 перено­сим в гр. 4 строки работы 5-7, после чего определяют раннее окончание этой работы: 7+5=12.

В гр. 6, 7 записывают расчеты поздних параметров работ – позднее начало и позднее окончание. Расчет ведут в обратном порядке, т. е. от завершающих работ до исходной снизу вверх. Для простого события, из которого выходит только одна работа, позднее окончание предшествующей работы равно позднему началу рассматриваемой работы. Позднее начало данной работы равно разности между ее поздним окончанием и продолжительностью.

Для сложного события, из которого выходит несколько работ, позднее окончание предшествующих работ равно меньшему из поздних начал рассматриваемых работ. Так, для завершающей работы 10-11, как и для других работ, оканчивающихся завершающим событием сети (событие 11), позднее окончание работ равно наибольшей величине из всех ранних окончаний работ, т. е. работе 9-11 (гр. 5). Это число записывают в гр. 7 работ 10-11 и 9-11. Из гр. 7 вычитают продолжительность работы (гр. 3) и получают позднее начало для работы (гр. 6) 10-11, равное 39-5=34, и для работы 9-11, равное 39-18=21.

Работа 9-10 кончается событием 10; таким событием начинается работа 10-11, ее значение 34 из гр. 5 переносят в гр. 7 нашей работы. Вы­чтя из гр. 7 значение гр. 3, записывают в гр. 6 число 30. В этом же порядке продолжают расчет снизу вверх. При расчете сложных событий отличие заключается в необходимости выбора минимального значения из несколь­ких возможных. Позднее начало исходной работы должно быть равно ну­лю.

Гр. 8 – общий резерв времени определяют как разность между значениями гр. 6 и 4 или гр. 7 и 5. Так, для работы 1-2 полный резерв R| 1-2 =0(0-0=0) или 2-2=0; для работы 2-4 R 2 - 4 = 1(3-2=1) или 9-8=1 и т. д. до конца.

В гр. 9 записывают частный резерв времени, который определяют как разность между ранним началом последующей работы по гр. 4 и ран­ним окончанием данной работы по гр. 5.

Работы, не имеющие общего резерва, естественно, не имеют и ча­стного резерва, поэтому в гр. 9 ставят 0 всюду, где 0 имеется в гр. 8. Пер­вой работой, имеющей резерв, будет работа 2-4. Для определения раннего начала последующей работы надо найти в гр. 2 любую работу, начинаю­щуюся с последней цифры кода нашей работы, т. е. с цифры 4. Такой бу­дет работа 4-8, имеющая по гр. 4 раннее начало 8. Раннее окончание на­шей работы по гр. 5 тоже равно 8, значит, частный резерв равен

r 2-4 = t p.н 4-8 – t p.o 2-4 = 8-8=0.

Последующей по отношению к работе 2-5 будет работа 5-7 со зна­чением раннего начала 7. Раннее окончание работы 2-5 равно 5. Отсюда частный резерв r 2-5 = 7-5 = 2.

Гр. 10 – критический путь при табличном методе расчета лежит на работах, общий резерв времени которых равен 0. Отмечаем знаком "+" работы, лежащие на критическом пути. К таким работам относятся все, имеющие 0 в гр. 8. На графике критический путь должен представлять со­бой непрерывную последовательность работ от начального события до конечного.

Анализируя таблицу, мы получаем сведения о длине критического пути, ранних и поздних началах и окончаниях каждой из работ, общих и частных резервах времени.

Расчет сетевых графиков сводиться к численному определению его пара-метров. Поэтому сначала перечислим их.

При расчете сетевых графиков определяются следующие параметры:

Ранние начала и окончания работ;

Поздние начала и окончания работ;

Продолжительность критического пути;

Общие и частные резервы работ.

За расчетную схему (рис. 18.8) выберем расположение работ, закодирован­ных буквами: h - предшествующая работа, i - рассматриваемая работа,j - после­дующая работа.

Рис. 18.8 Расчетная модель

Раннее начало работы - самый ранний из возможных сроков начала рабо­ты, который обуславливается выполнением всех предшествующих работ.

Раннее начало работы (рис. 18.9) равно продолжительности максимально­го пути от исходного события графика до начального события данной работы:

​

Рис. 18.9 Модель расчета ранних начал

Раннее окончание работы - самый ранний из возможных сроков окончания работы. Оно равно сумме раннего начала работы и ее продолжительности:

​

Для начальных (исходных) работ:

Раннее начало принимается равным 0;

Раннее окончание численно равно продолжительности работы. Максимальное раннее окончание одной из завершающих работ определяет продолжительность критического пути.

Позднее начало работы - самый поздний допустимый срок начала работы, при котором планируемый срок достижения конечной цели не меняется.

Позднее окончание работы определяется разностью между продолжитель­ностью критического пути и продолжительностью максимального пути от ко­нечного события данной работы до завершающего события графика.

Позднее окончание любой работы (рис. 18.1 О) равно наименьшему из поздних начал последующих работ:

​

Рис. 18.10 Модель расчета поздних окончаний

Позднее начало работы равно разности между величинами ее позднего окончания и продолжительности.

Для завершающих работ сетевого графика:

Позднее окончание равно величине продолжительности критического пути:

​

Позднее начало завершающей работы равно разности между продол­жительностью критического пути и продолжительностью данной работы:

​

Общий (или полный) резерв времени работы R;-1 (рис. 18.11) - это макси­мальное время, на которое можно увеличить продолжительность данной рабо­ты или перенести ее начало без увеличения продолжительности критического пути. Он равен разности между одноименными поздними и ранними парамет­рами этой работы:

​

Рис. 18.11 Модель расчета общих резервов

Частный резерв времени (рис. 18.12) - это максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность данной работы или перенести ее начало без изменения ранних сроков начала последующих работ. Он равен разности между ранним началом последующей работы и ранним окончанием данной работы:

​

Рис. 18.12 Модель расчета частных резервов

Частный резерв времени отличается от нуля, если в конечное событие ра­боты входят две и более работы.

Методы расчета сетевых графиков

Сетевые графики можно рассчитывать с помощью компьютерной техники и вручную. В настоящее время известно несколько методов расчета сетевых графиков вручную: табличный метод; расчет на графике - четырехсекторный метод; метод дроби; метод потенциалов и др.

Классическим методом, положившим начало теории расчета сетевых гра­фиков, является табличный метод , или, как говорят, алгоритм расчета сетево­го графика по таблице.

Пример графика для расчета табличным методом приведен на рис. 18.13. В этом случае определение параметров сетевого графика выполняется в таблице.

​

Рис. 18.13 Пример графика для расчета табличным методом и методом потенциалов

Заполнение таблицы ведется в следующем порядке.

1) В первые три графы заносят исходные данные по каждой работе. Необходимо последовательно записывать все работы, выходящие из первого события (по часовой стрелке), затем - все работы, выходящие из второго события:, и т.д.

2) Производят расчет ранних параметров работ построчно сверху вниз.

­3) Определяют продолжительность критического пути, равная максималь­ному из ранних окончаний завершающих работ.

4) Рассчитывают поздние параметры работ. Расчет ведется построчно сни­зу вверх, от завершающих работ до исходных.

5) Определяют общие и частные резервы времени (их можно определить по каждой работе вразбивку).

Определяют перечень работ, составляющих критический путь, т.е. работ, не имеющих резервов времени.

При расчете сетевых графиков табличным методом заполняют следующую таблицу (табл. 18.1).

​

В графу 3 заносят шифр (код) каждой работы, запись ведут последова­тельно, начиная с первого события. Когда из события выходят несколько ра­бот, запись ведут в порядке возрастания номеров их конечных событий. После этой процедуры в графу 2 записывают номера событий, предшествующих каж­дой работе.

Следующей заполняют графу 4. Против каждой работы, записанной в гра­фе 3 из сетевого графика, проставляют её продолжительность t.

Графы 5 (раннее начало работы ТРН) и 6 (раннее окончание работы ТРН за­полняются одновременно. У работ 1-2 и 1-3 предшествующих событий нет; следовательно, их раннее начало равно нулю. Раннее окончание работы равно сумме его раннего начала и продолжительности . Таким образом, в графу 6 вно­сят сумму цифр граф 4 и 5. Для работы 2-4 раннее начало равно раннему окон­чанию предшествующей работы, т.е. работы 1-2 (в графе 2 записано предшест­вующее событие 1); следовательно, раннее начало работ, начинающихся с события 2 (2-3, 2-4), также равно 5 дням. Прибавляя к ранним началам работ их продолжительности, получим их раннее окончание. Если у работы есть два и более предшествующих события (например, работа 4-6), то в этом случае вы­бирают максимальное значение раннего окончания этих работ и заносят в гра­фу 5, и на ее основе определяют ранее окончание.

Максимальное раннее окончание последней работы равно величине кри­тического пути.

Критический путь, а следовательно, и позднее окончание завершающей работы, равен 16 дням. Вносим эту цифру в строку 8 графы 8. Позднее начало работы равно разности его позднего окончания и продолжительности.

Общий резерв R (графа 9) определяют как разность между числами в гра­фах 8 и 6 или 7 и 5.

Частный резерв r (графа 10) подсчитывают как разность между ранним на­чалом последующей работы и ранним началом данной. При заполнении данной графы необходимо учитывать следующее, если в конечное событие данной ра­боты входит только одна стрелка, то частный резерв ее равен нулю. Для работ, не лежащих на критическом пути, но входящих в события, лежащие на нем, общие и частные резервы численно равны. Частные и общие резервы работ, лежащих на критическом пути, равны нулю.

Правильность расчета сетевого графика подтверждают проверкой:

Ранние параметры никогда не превосходят по численному значению поздние параметры;

Критический путь должен представлять собой непрерывную последова­тельность работ от исходного события до завершающего;

Величина частного резерва времени работы не должна превосходить ве­личину общего резерва времени;

Позднее начало одной из исходных работ обязательно должно быть ну­левым.

Расчет сетевых графиков методом потенциалов

Потенциалом i-го события (ТjП) называют величину наиболее продолжи­тельного пути от данного события до завершающего:

​

Потенциал события (рис. 18.14) показывает, сколько дней осталось от дан­ного события до завершения всех работ планируемой программы. Потенциал определяют последовательно, начиная от завершающего события сети.

В качестве примера рассмотрим тот же график, размещенный на рис. 18.13. Расчет (рис. 18.15) начинают с завершающего события 6, потенциал ко­торого равен О. В верхний сектор ставим прочерк, в правый записываем О и пе­реходим к последующему событию.

​

Рис. 18.14 Запись в секторах при расчете методом потенциалов

​

Рис. 18.15. Пример расчета методом потенциалов

(номера событий соответствуют рис. 18.1 З)

Потенциал события 5 (продолжительность работы 5-6) равен 5 дням. Циф­ру 5 записываем в правый сектор события 5, цифру 6 - в его верхний сектор.

Потенциал события 4 Т4П = 0 + 4 = 4. Для события 2 потенциал определяют следующим образом: от события 3 - Т2П = 11 + О = 11 и от события 4 - Т2П = 4

3 = 7; выбирают наибольшее значение 11. Аналогичным образом рассчиты­вают остальные события. Потенциал исходного события составляет 16 дней, т.е. равен величине критического пути.

Зная потенциал события, позднее окончание работ можно определить по формуле

​

Поскольку ранние начала работ записаны в левых секторах, а на графике показаны продолжительности работ, по уже приведенным формулам частного и общего резерва времени можно определить их значение.

Изменения, возникающие в ходе выполнения работ, не влияют на потен­циалы последующих событий; поэтому оперативный пересчет графика занимает мало времени. В этом заключается главное преимущество расчета методом потенциалов.

Четырехсекторпый,метод расчета сетевых графиков

При этом методе каждое событие (рис. 18.16) графиком делится на 4 сек­тора, в которых указываются необходимые расчетные данные.

​

Рис. 18.16 Условные обозначения при четырехсекторном методе расчета

Исходным графиком для расчета четырехсекторным методом служит гра­фик, приведенный на рис. 18.17.

​

Рис. 18.17 Исходный график для расчета четырехсекторным методом

Вначале от исходного события до завершающего определяют все ранние начала работ.

Для завершающего события графика значения в левом и правом секторах равны, поскольку максимальное из ранних окончаний завершающей работы равно позднему окончанию этой работы.

Затем рассчитывают поздние окончания работ от завершающего к начально­му событию. Рассчитанный график будет иметь вид показанный на рис. 18.18.

Дополнительным требованием к критическим работам является требова­ние по соблюдению условия

​

20-12 = 8; 25-5 = 20; 25-11 = 12; следовательно, работы нижнего пути- не­критические.

​

Рис. 18.18 График, рассчитанный четырехсекторным методом

Резервы времени работ графика можно отметить на самом графике в виде Rr, а рассчитать их следует по формулам:

​

Четырехсекторный способ расчета сетевых графиков позволяет быстрее осуществить расчет и определить продолжительность критического пути (ино­гда требуется прикидочный расчет), но при повторном расчете требуется пере­бирать данные на графике. Этого не требуется при табличном способе, где пе­ресчитывается сама таблица. Кроме того, в таблице наглядно прослеживаются все без исключения параметры сетевого графика (включая резервы времени).

Построение сетевых графиков «вершины-работы»

В последнее время построение сетевых графиков всё чаще выполняют по принципу «вершины-работы», а не по принципу «вершины-события», как это было в предыдущих примерах (рис.18.19).

Для расчета сетевого графика «вершины-работы>> прямоугольник, изобра­жающий работу, делят на 7 частей (рис. 18.20). В верхних трех частях прямо­угольника записывают раннее начало, продолжительность и раннее окончание работы, в трех нижних - позднее начало, резервы времени и позднее оконча­ние. Центральная часть содержит код (номер) и наименование работы.

Расчет сетевого графика начинают с определения ранних сроков. Раннее начало и окончание вычисляют последовательно от исходной до завершающей работы, раннее начало исходной работы равно О, раннее окончание - сумме раннего начала работы и ее продолжительности.

Раннее начало последующей работы равно раннему окончанию предыду­щей работы. Если работе непосредственно предшествует несколько работ, то ее раннее начало будет равно максимальному значению из ранних окончаний предшествующих работ.

​

Рис. 18.19 График типа "вершины-работы"

​

Рис. 18.20 Изображение работы в сетевом графике "вершины-работы"

Раннее окончание завершающей работы определяет продолжительность критического пути.

Расчет поздних сроков ведут в обратном порядке, от завершающей работы до исходной. Позднее окончание завершающей работы равно ее раннему окон­чанию, т.е. продолжительности критического пути.

Позднее начало определяют как разность позднего окончания и продолжи­тельности работы.

Полный (общий) резерв времени, равный разности поздних и ранних сро­ков, заносят в числитель середины нижней части.

Частный резерв времени, равный разности между минимальным ранним началом последующих работ и ранним окончанием данной работы, записывают в знаменатель середины нижней части.

Частный резерв всегда меньше полного резерва работы или равен ему. По­следовательность работ с нулевыми резервами времени является критическим путем сетевого графика.

Основными параметрами сетевых моделей являются планируемые стоимостные и временные показатели выполнения как отдельных процессов, так и всего комплекса работ. Каждая предусмотренная в сетевом графике работа требует на свое осуществление определенных затрат рабочего времени, материальных, трудовых, финансовых и других производственных ресурсов. Временны"е и стоимостные характеристики сетевых моделей являются важнейшими обобщающими показателями расходования экономических ресурсов, необходимых для выполнения всего комплекса работ или процессов. Для многих сетевых систем стратегического планирования и управления производственной деятельностью на предприятии необходимы прежде всего данные о потребности конкретных ресурсов в натуральном выражении. Все применяемые в сетевом планировании ресурсы принято подразделять на два вида - складируемые и нескладируемые.

К складируемым , или невозобновляемым , производственным ресурсам относятся сырье: материалы, полуфабрикаты, готовые товары, топливо и другие оборотные средства. К ним могут быть отнесены также и денежные или стоимостные ресурсы, а поэтому стоимость можно рассматривать как один из видов складиру емых ресурсов. Однако в сетевом планировании большим предпочтением пользуются такие модели, в которых стоимость выступает как общая экономическая характеристика комплекса выполняемых работ. Складируемые ресурсы расходуются непосредственно в процессе выполнения планируемых в сетевых графиках работ и не допускают повторного использования. Такие ресурсы, не будучи своевременно использованы, могут найти применение в дальнейших работах. Обычно предполагается, что количество или стоимость неиспользуемых складских ресурсов остаются неизменными, хотя при долгосрочном моделировании следует учитывать снижение не только количественных, но и качественных показателей ресурсов.

К нескладируемым , или возобновляемым , ресурсам относятся рабочая сила, средства производства, рабочий инструмент, производственная площадь и другие основные фонды. Т акие ресурсы в процессе работы должны эффективно использоваться. При долгосрочном моделировании следует также учитывать изменение первоначальной стоимости нескладируемых ресурсов, например, снижение производительности технологического оборудования, рост профессиональной квалификации персонала и т.п. В краткосрочных сетевых моделях потребность в нескладируемых ресурсах на выполнение запланированных технологических процессов или работ обычно принимается постоянной.

Планирование потребности различных ресурсов в сетевых моделях сводится в основном к разработке календарного плана поставки ресурсов, необходимых для выполнения предусмотренных комплексов работ. Всякий календарный план, соответствующий у словиям сетевой модели и ресурсным ограничениям, является допу стимым. Наилучший по выбранному критерию сравнения допустимый план можно считать оптимальным. В зависимости от выбранного критерия оптимальности и имеющихся ограничений ресурсов задачи их рационального распределения можно свести к минимизации отклонения от заданных сетевой моделью сроков выполнения проектных работ при соблюдении существующих ограничений по использованию производственных ресурсов.

Следовательно, к основным планируемым параметрам в сетевых моделях относятся такие временные показатели, как: продолжительность выполнения работ, критический путь, резервы времени свершения событий и др. Важнейшим параметром любого сетевого графика является критический путь. Путем в сетевом графике называется всякая последовательность работ (стрелок), связывающая между собой несколько событий. Путь, соединяющий исходное и завершающее событие сети, считается полным , а все другие - неполными. Каждый путь характеризуется своей продолжительностью, которая равняется сумме длительностей составляющих его работ. Полный путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим путем. Стало быть, критический путь - это наиболее протяженная по времени последовательная цепочка работ, ведущих от исходного к завершающему событию. На сетевом графике (см. рис. 4.3) критический путь проходит через цепочку событий и работ, обозначенных номерами 0-1-4-6-7-9-10-11-12, и равен 48 человеко-дням. Он выделен жирной линией.

Работы и события, лежащие на критическом пути, принято также называть критическими. Полная продолжительность всего комплекса работ, отображенных на сетевом графике, принимается всегда равной критическому пути. Изменение продолжительности любой работы, проходящей через критический путь, соответствующим образом сокращает или удлиняет не только время выполнения промежуточного события, но и всего срока наступления завершающего (конечного) события, т.е. планируемые сроки осуществления проектируемых работ. Поэтому расчетные показатели, характеризующие продолжительность критических работ, а также экономические возможности, которые открываются экономистам-менеджерам при использовании планово-управленческих решений, в значительной мере определяют и всю эффективность систем и методов сетевого планирования.

В сетевых графиках имеется еще много других полных путей, которые могут либо полностью, либо частично совпадать с критическим путем, а также проходить вне критического пути. Поэтому в сетевом планировании принято выделять напряженные и ненапряженные пути. Напряженный путь - это критический путь. Ненапряженные пути - это полные пути сетевого графика, которые по своей продолжительности меньше критического пути. Ненапряженные пути имеют на участках, не совпадающих с критическими работами, резервы времени свершения событий. Это значит, что задержка в выполнении тех событий, которые не проходят через критический путь, до определенного этими резервами времени не будет оказывать влияния на расчетные или плановые сроки завершения всего проекта работ. Критические пути такими резервами времени не располагают. Это означает, если расчетное время свершения какого-либо события, находящегося на критическом пути, будет задержано, то этим самым будут отодвинуты на этот же период планируемые сроки наступления завершающего события.

Резервы времени свершения событий существуют во всех сетевых графиках, когда имеется больше одного пути разной продолжительности. Величину резервов времени надо уметь рассчитывать и анализировать ответственным исполнителям и руководителям работ. Из ненапряженных путей сетевого графика наибольший интерес должны представлять подкритические пути - ближайшие по продолжительности к критическому, а также остальные, менее напряженные пути. Все они могут стать критическими при сокращении продолжительности работ, находящихся на критическом пути. Такие пути могут быть потенциально опасными с точки зрения соблюдения установленных планом сроков завершения проектных работ и входят в критическую зону сетевых графиков, которая не имеет своих резервов времени.

Резерв времени выполнения события - это такой промежуток времени, на который может быть отсрочено свершение этого события без нарушения планируемых сетевым графиком сроков окончания проектных работ. Резерв времени свершения каждого события определяется разностью между поздним и ранним сроками выполнения этого события по следующей формуле:

где R. - резерв времени выполнения /-го события; Т - поздний срок свершения /-го события; Т р - ранний срок наступления /-го события.

Ранний срок наступления события характеризует наиболее раннее из возможных время свершения определенного события, запланированного в сетевом графике. Поскольку каждое событие является результатом выполнения одной или нескольких предшествующих работ, то срок его наступления определяется величиной наиболее длительного отрезка пути от исходного (нулевого) до рассматриваемого (/-го) события. Расчет ранних сроков выполнения событий ведется от исходного до завершающего таким образом:

где max/ 0 / . - максимальное время выполнения всех работ, ведущих к данному событию.

Поздний срок свершения события - это такой период допу сти- мого времени, превышение которого вызывает соответствующую задержку наступления завершающего события. Если установлен плановый срок завершения всего комплекса работ сетевого графика, то каждое событие должно наступать не позже расчетного критического срока. Этот период и является предельно допу стимым сроком выполнения работ. Расчет позднего срока свершения событий ведется от завершающего к исходному. Позднее время наступления конечного события принимается равным критическому пути. Поздний срок свершения событий определяется разностью между продолжительностью критического пути и максимальной длительностью следующих за данным (/-ым) событием путей к завершающему (с) по следующей формуле

где L vn - продолжительность критического пути; шах „ - мак-

симальная длительность пути от данного события до завершающего.

Можно следующим образом сформулировать общее правило определения раннего (Т р) и позднего (Т п) сроков свершения любого события: ранние и поздние сроки определяются по максимальному из путей (Г тах), проходящих через данное событие. При этом ранний срок (Г р) равен продолжительности максимального из предшествующих данному событию путей. А поздний срок (Г п.) составляет разность между продолжительностью критического пути и длительностью максимального из последующих за данным событием путей до завершающего.

Расчет ранних сроков свершения событий проводится в прямой последовательности от исходного до конечного.

Ранний срок свершения события 12 соответствует критическому пути сетевого графика: L Kp = 48 дням.

Остальные полные пути равны:

Расчет поздних сроков свершения событий проводится в обратном порядке от конечного к исходному.

Резервы времени свершения отдельных событий представляют собой разность между поздними и ранними сроками их выполнения.

Расчет резервов времени подтверждает, что критический путь проходит в сетевом графике через события 0-1-4-6-7-9-10-11-12 с нулевыми значениями резервов времени. В табл. 4.2 приведены основные параметры сетевого графика, характеризующие продолжительность выполняемых работ, ранние и поздние сроки свершения событий, а также имеющиеся в сетевой модели резервы времени (см. рис. 4.3).

Таблица 4.2

Расчетные параметры сетевого графика (в человеко-днях)

работ	Продолжительность,	события	Показатели событий
			Ранний срок, Г р	Поздний срок,	Резерв времени,

Резервами времени располагают не только события, но и все пути сетевой модели, кроме критического, а также работы, лежащие на некритических путях. Разница между длиной критического пути и любого другого пути называется полным резервом времени.

Полный резерв пути показывает, насколько в сумме может быть увеличена продолжительность всех работ, принадлежащих данному пути. В соответствии с ранее выполненными расчетами полных путей нашего сетевого графика найдем полные резервы времени всех четырех путей.

Важным плановым свойством полного резерва времени является тот факт, что его можно использовать частично или полностью для увеличения длительности выполнения какой-либо работы. При этом, естественно, уменьшается резерв времени всех остальных работ, лежащих на этом пути, поскольку полный резерв времени принадлежит всем работам, находящимся на данном пути.

Выполненные расчеты основных параметров сетевых графиков должны быть использованы при анализе и оптимизации сетевых стратегических планов.

Расчёт сетевого графика табличным способом производится по формулам, ранее изложенным в разделе 4 (1-10). При определении параметров сетевых моделей аналитическим способом расчёт выполняется в форме таблицы. Рассмотрим особенности расчёта сетевых моделей данным способом (приожениие 1) на примере расчёта параметров сетевого графика, изображенного в задании к данной курсовой работе (вариант 15).

На начальном этапе необходимо описать исходную сетевую модель. При этом в первую графу таблицы заносятся шифры всех работ и зависимостей, начиная с работы, выходящей из первого события. Шифры работ должны быть включены в таблицу последовательно, произвольный порядок включения работ и зависимостей в таблицу недопустим. Во вторую графу таблицы вносятся продолжительности всех работ и зависимостей.

Расчёт сетевого графика начинается с определения значений ранних параметров работ. Раннее начало работы 1-2 равно нулю (формула 1), а её раннее окончание по формуле 2.

Раннее начало работ 2-6 и 2-7 (в соответствии с формулой 3) равно раннему окончанию работы 1-2.

Максимальное значение раннего окончания работы 19-21, равное 36, определяет продолжительность критического пути и, следовательно, общую продолжительность выполнения всех работ по исходной сетевой модели. Полученное значение раннего окончания данной работы 19-21 = 36 переносится в графу позднего окончания завершающей работы 20-21.

Позднее начало работы 20-21 определяется в соответствии с формулой 5 (= 34)

Позднее начало работы 20-21 является поздним окончанием предшествующей ей работы 15-20 (=).

Далее расчёт поздних параметров выполняется аналогично, за исключением случаев, когда у работы имеется несколько последующих работ (например, у работы 6-9 имеется две последующих - 9-10 и 9-14). В этом случае, в соответствии с формулой 4, позднее окончание работы 6-9 равно минимальному значению поздних начал последующих работ 9-10 и 9-14.

Для нахождения положения критического пути необходимо определить значения общего и частного резервов времени для каждой работы и зависимости сетевого графика и занести их значения соответственно в 7 и 8 графы расчётной таблицы.

Общий резерв времени работ, согласно формулам 8-9, определяется как разность позднего и раннего окончания либо как разность позднего и раннего начал соответствующих работ. Полезно определить значение общего резерва времени обоими способами, совпадение полученных значений может рассматриваться как дополнительная проверка. Например, для работы 6-7:

Частный резерв времени работы, согласно формуле 10, определяется как разность значения раннего начала последующей работы и значения раннего окончания для данной работы. Например, для работы 6-7:

Критический путь характеризуется равенством нулю резервов времени. Сопоставление параметров сетевой модели, полученных секторным и табличным способами должно выявить их полную идентичность, наличие расхождений свидетельствует об ошибочности расчётов.

Графический метод расчета сетевых графиков

Расчёт сетевого графика графическим способом ведется аналогично табличному методу (формулы 1-10) , однако графический или секторный способ расчёта параметров сетевого графика предполагает их запись непосредственно на модели (приложение 2). При этом каждое событие (кружок) делится на четыре сектора. Обозначение секторов приведено на следующем рисунке:

Для работ критического пути значения общего и частного резерва времени равны нулю, он выделяется на сетевом графике двойной линией.

Для проверки правильности выполненных расчётов следует убедиться в том, что:

• * выявлен непрерывный критический путь;
• * рассчитанные резервы времени имеют неотрицательное значение;
• * значение частного резерва времени для всех работ меньше или равно значению общего резерва времени для данных работ;
• * хотя бы одно значение позднего начала работ (работы), выходящих из первого события, равно нулю.

Сети или сетевые модели имеют широкое практическое применение. Из всего разнообразия методов и моделей рассмотрим здесь лишь метод критического пути (МКП). Сеть в этом случае – это графическое отображение комплекса работ. Основными элементами сети здесь являются события и работы.
Событие – это момент завершения процесса, отображающий отдельный этап выполнения проекта. Комплекс работ начинается с исходного и заканчивается завершающим событием.
Работа – это протяжённый во времени процесс, необходимый для свершения события и, как правило, требующий затрат ресурсов.
События на сетевом графике обычно изображаются кружками, а работы – дугами, соединяющими события. Событие может свершиться только тогда, когда закончатся все работы, ему предшествующие.
В сетевом графике не должно быть "тупиковых" событий, за исключением завершающего, не должно быть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (кроме исходного), не должно быть замкнутых контуров и петель, а также параллельных работ.
Рассмотрение основных понятий и положений МКП будем вести на основе следующего примера. Пусть задана следующая последова­тельность работ с их временными характеристиками: Построим сетевой график так, чтобы все дуги работы были
направлены слева направо (рис.2). Над дугами проставлены длительности работ.

Рис. 2. Сетевой график примера

Критический путь представляет собой путь от начальной до конечной работы, имеющий наибольшую длительность. Любое замедление в выполнении работ критического пути неизбежно приведёт к срыву выполнения всего комплекса работ, поэтому критическому пути и уделяется столько внимания.
Рассмотрим основные понятия, связанные с критическим путём .
Ранний срок наступления события (ЕТ). Он определяется для каждого события при движении по сети слева направо от начального к конечному событию. Для начального события ЕТ = 0. Для других определяется по формуле, где ЕТ 1 – ранний срок наступления события i, предшествующего событию j; t ij – продолжительность работы (ij).

Поздний срок наступления события (LТ) – это наиболее позд­ний срок, в который может наступить событие без задержки выполнения всего комплекса работ. Определяется он при движении по сети справа нале­во от конечного события к начальному по формуле:

Для критического пути ранние и поздние сроки наступления событий совпадают. Для конечного события эта величина равна длине критического пути. Расчёт показателей сетевого графика можно производить непосредственно по вышеприведённым формулам. Сначала надо найти ранние сроки наступления событий (при движении по сети слева направо, от начала к концу), (остальное выполнить самостоятельно).

Затем расчёты выполнить в обратном направлении и найти поздние сроки наступления событий.
Положить ЕТ 10 = LT 10 . LT 9 = LT 10 – t 9,10 = 51 –11 = 40.
LT 8 = LT 10 – t 89 = 51 – 9 = 42, и т.д.
Возможен и другой способ вычисления показателей – табличный.
События отмечаются в квадратах "главной" диагонали. Работы отмечаются дважды в верхних и нижних "побочных" квадратах отно­сительно главной диагонали таблицы. В верхних "побочных" квад­ратах таблицы номер строки соответствует предыдущему событию, номер столбца – последующему. В нижних "побочных" квадратах на­оборот.
Порядок заполнения таблицы

1. Сначала заполняются числители верхних и нижних побочных квадратов. В них записываются продолжительности соответствующих работ.
2. Заполняются знаменатели верхних "побочных" квадратов как суммы числителя главного квадрата и числителя верхнего "по­бочного" в той же строке.
3. Числитель первого главного квадрата принимается равным нулю, числители остальных главных квадратов равны максимуму знаменателей верхних "побочных" квадратов в том же столбце.
4. Знаменатель последнего главного квадрата принимается равным числителю этого квадрата. Знаменатели нижних "побочных" квадратов равны разности знаменателя главного и числителя "ниж­него" побочного в той же строке.
5. Знаменатели главных квадратов равны минимуму знаменате­лей "нижних" побочных в том же столбце.
Расчёт показателей сетевого графика

Из таблицы находятся показатели графика:
1. Ранние сроки наступления событий (числители главных квадратов).
2. Поздние сроки наступления событий (знаменатели главных квадратов).
3. Резервы времени событий (разность между знаменателем и числителем главного квадрата). В нашем случае критическими событиями (не имеющими резер­вов) являются 1, 3, 4, 6, 7, 8, 10. Они составляют критический путь. Продолжительность критического пути равна 51 (числитель или знаменатель последнего главного квадрата).
4. Ранний срок окончания работ (знаменатели верхних "по­бочных" квадратов).
5. Поздний срок наступления работ (знаменатели соответс­твующих нижних "побочных" квадратов).

6. Общие резервы времени работ (разность между знаменателем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" в том же столбце).
7. Свободные резервы времени работ (разность между числите­лем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" квадра­та в том же столбце).

Воспроизведём график сети, проставив над каждым событием слева – ранний, а справа – поздний сроки наступления события (рис.3).

Рис. 3. Сетевой график с временными характеристиками

Итак, критический путь проходит вдоль работ 1–3–4–6–7–8–10, и его длительность равна 51.
Резерв времени события определяется как разность между их LT и ET. Ясно, что резервы времени событий вдоль критического пути равны нулю. Для нашего примера резерв времени, например, события 2 равен 28–10 = 18, а события 9 равен 40–36 = 4. На эти промежутки времени может быть задержано выполнение соответствующих работ без риска задержать проект в целом.
Это были временные характеристики событий. Рассмотрим вре­менные характеристики работ. К ним относятся свободный и общий (полный) резервы времени работ.
Общий резерв времени работы (ТS) определяется из соотноше­ния

TS ij = LT j – ET i – t ij

и показывает, на сколько можно увеличить продолжительность ра­боты при условии, что срок выполнения всего комплекса работ не изменится.
Свободный резерв времени работы (FS) определяется из соотношения

FS ij = ET j – ET i – t ij

и показывает часть полного резерва времени, на которое можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока её конечного события.
Если свободный резерв времени работ может быть использован по всем работам сети одновременно (тогда все работы становят­ся критическими), то для полных резервов этого сказать нельзя; его можно использовать или для одной работы пути полностью, или для разных работ частями.
Для критических работ ТS и FS равны нулю. ТS и FS могут быть использованы при выборе календарных сроков выполнения нек­ритических работ и для частичной оптимизации сетевых графиков.
Окончательно имеем: Временные характеристики работ

Некритические работы	Продолжительность	Общий	Свободный резерв FS
1-2	10	18	0
1-4	6	5	5
2-5	9	18	0
4-5	3	23	5
3-6	8	9	9
4-7	4	15	15
5-8	5	18	18
6-9	7	12	8
7-9	6	4	0
7-10	8	13	13
9-10	11	4	4

Задачи для контрольных заданий №4

По следующим данным построить сеть, аналогичную рассмотренной в примере, определить временные характеристики ее работ и событий, критический путь и его длину. При выполнении данной задачи подставьте вместо n номер своего варианта и полученное число округлить до целого.

Работа	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(2,5)	(2,4)	(3,4)	(3,6)	(4,5)	(4,6)
Продолжительность	5+n/3	6+n/3	7+ n/3	4+n	8+ n/3	3+n	4+n/2	10+ n/3	2+n
(4,7)	(5,7)	(5,8)	(6,7)	(6,9)	(7,8)	(7,9)	(7,10)	(8,10)	(9,10)
8+ n/3	9+n/2	10+ n/3	12+n/2	9+n	7+ n/3	5+n	9+n	11+n/2	8+ n/3