Статья описывает базовые понятия аберраций, классификацию аберраций, а также возможные методики устранения аберраций применительно к микроскопным объективам. В статье описана методика выбора микроскопных объективов исходя из задач исследователя.
Аберрации в оптических системах - погрешность изображения, вызванная любым отклонением реальных лучей от геометрических направлений по которым они должны были бы идти в идеальной оптической системе. Аберрации можно классифицировать на монохроматические (то есть присущие монохроматическим лучам – лучам одной длины волны) и хроматические.
Монохроматические аберрации
Монохроматические аберрации – погрешности, присущие любой реальной оптической системе. Возникновение связано с тем, что поверхности, преломляющие лучи неспособны собрать в точку широкие пучки лучей, падающие на них под большими углами. Монохроматические аберрации приводят к искажению изображения точки в некоторую фигуру рассеяния, что снижает четкость изображения и нарушает подобие изображения и предмета.
Монохроматические аберрации классифицируют пятью аберрациями Зейделя:
S I - сферическая аберрация
Сферическая аберрация оптической системы. Лучи, параллельные оси оптической системы сходится не в точке, а в перетяжке.
Сферическая аберрация оптических систем из-за несовпадения фокусов для лучей света проходящих на разных расстояниях от оптической оси. Нарушает гомоцентричность пучка света, но не нарушает симметричность.
Существует несколько путей исправления сферической аберрации:
Во-первых, снижение кривизны линзы (использование стекла с большим показателем преломления в совокупности с увеличением радиусов поверхностей линзы, сохраняя, тем самым, ее оптическую силу).
Во-вторых, применением комбинации из положительных и отрицательных линз. Обычно параллельно с исправлением сферической аберрации исправляют также хроматические аберрации.
В-третьих, применяют диафрагмирование – отсечение краевых лучей широкого пучка. Способ позволяет снизить значение рассеяния, но непригоден для оптических систем требующих высокой светосилы.
Полностью избавиться от сферической аберрации невозможно, но способы снизить ее эффективно применяются в микроскопии.
S II – кома
Аберрация Кома обусловлена тем, что лучи, приходящие под углом к оптической оси, собираются не в одной точке. Методика исправления Комы схожа с методикой исправления сферических аберраций и, в основном, строится на использовании комбинаций положительных и отрицательных линз.
S III – астигматизм
Астигматизм оптической системыАберрация, при которой изображение точки, лежащей вне оси и сформированное узким пучком лучей представляет собой два перпендикулярных отрезка расположенных на разном расстоянии плоскости Гаусса (плоскости безаберрационного фокуса).
Астигматизм не может быть исправлен диафрагмированием, т.к. проявляется и на узких пучках. Для коррекции астигматизма применяют дуплеты положительных и отрицательных линз.
S IV – кривизна поля изображения
Аберрация, при которой изображение плоского объекта, перпендикулярного оси оптической системы лежит на выпуклой или вогнутой (обычно сферической в случае симметричной оптики) поверхности относительно объектива.
Погрешность вносимая аберрацией, очень сильно сказывается в микроскопии, так как получаемое изображение плоского объекта не находится полностью в фокальной плоскости и, таким образом, на нескорректированной системе мы не можем наблюдать полностью резкое изображение объекта по всему полю.
Кривизна поля корректируется при помощи расчета системы содержащей две и более отрицательных линз, а также использующей воздушное пространство между линзами.
S V – дисторсия
Дисторсия – изменение коэффициента линейного увеличения оптической системы по полю зрения. Дисторсия не приемлема в микроскопии, так как система, подверженная дисторсии, не обеспечивает геометрическое подобие наблюдаемого объекта и его изображения. Дисторсия исправляется подбором линз на этапе проектировки объектива. Также возможно исправление дисторсии на этапе компьютерной обработки изображения.
Хроматические аберрации (ХА)
Хроматические аберрации – погрешности вносимые в изображение разницей коэффициента преломления для пучков с различными длинами волн.
При прохождении света через оптические материалы наблюдается дисперсия – разложение белого света на спектр. Именно явление дисперсии запечатлено на самой знаменитой обложке музыкального альбома 20 века - Pink Floyd – The Dark Side of the Moon.
Для любой оптической линзы коэффициент преломления синих лучей, как правило, больше, чем красных, поэтому точка фокуса синих лучей F blue расположена ближе к задней главной точке линзы, чем точка фокуса красных лучей F red . Отсюда следует, что лучи, полученные разложением белого света, будут иметь различное фокусное расстояние. Единого фокусного расстояния у одной линзы не существует, а есть совокупность фокусных расстояний - по одному фокусу на луч каждого цвета.
Разность F blue -F red это и есть «хроматизм положения» (или хроматической разностью положения, продольной хроматической аберрацией)
Диафрагмирование несколько уменьшает хроматизм положения. При этом изображения предмета в лучах разного цвета будут находиться на разных расстояниях от задней главной точки. Если наводить оптическую систему на резкость по красным лучам, изображение в синих лучах будет не в фокусе, и наоборот.
Конструкция микроскопных объективов рассчитана на устранение хроматических аберраций. Система линз, выполняющих сближение фокусов двух (например, синих и жёлтых) лучей, называется ахроматической, а при сближении фокусов трёх лучей -апохроматической системой.
Основное правило при исправлении ХА является исправление ХА суммарно для всей системы. Нет необходимости исправлять хроматизм каждого элемента. Важно, чтобы суммарная положительная и отрицательная дисперсия элементов системы была равна нулю.
Критерии при выборе микроскопных объективов
Рассмотрев основные типы различных оптических аберраций мы можем описать основные критерии при выборе объективов для лабораторного микроскопа, ведь именно характеристиками объектива определяются разрешающая способность микроскопа, дисторсия, возможность проведения точных измерений, возможность качественного получения большого поля изображения при сильном увеличении путем сшивки частичных полей.
В большинстве случаев при выборе объективов работает правило, что чем качественнее и дороже объектив – тем он лучше для решения любых задач. Но на самом деле, во-первых, это не всегда абсолютно достоверно, во-вторых – экономическую составляющую вопроса это правило не затрагивает. А ведь порой именно она играет решающую роль при выборе оборудования того или иного класса.
Объективы для микроскопов делятся на различные классы в зависимости от коррекции монохроматических и хроматических аберраций. Каждый производитель имеет свою классификацию и свои уникальные названия для каждого из классов, что крайне усложняет прозрачность выбора той или иной линейки.
Все производители различают три больших класса объективов: Ахроматы, Полу-апохроматы (или Флюотары) и Апохроматы. Критерием внесения объектива в тот или иной класс будет являться сходимость фокальных плоскостей для трех основных цветов: красного, зеленого и синего.
Компания Leica Microsystems предлагает следующую оценку критериев (она может незначительно отличаться от оценки других производителей – Zeiss, Olympus, Nikon и др). Эта оценка дает максимально прозрачное представление коррекции ХА в зависимости от класса объектива.
| Класс объективов | Коррекция хроматических аберраций | Применение |
| Ахроматы (Achromats) | Между F red и F blue < 2x DoF*. т.е. красный и синий лучи сведены в одну область, длиной менее 2 глубин резкости. Расстояние до фокуса зеленого луча не определено. |
Рутинная микроскопия в видимом световом диапазоне |
| Полу-Апохроматы (Semi-Apochromats) | F red , F blue и F green <2,5x DoF*. т.е. фокус красного, синего и зеленого лучей сведены в одну область шириной 2,5 глубины резкости. |
Для качественной визуализации в видимом световом диапазоне, а также достижения высококонтрастного изображения. |
| Апохроматы (Apochromats) | F red , F blue и F green <1x DoF*. т.е. фокус красного, синего и зеленого лучей сведены в одну точку. (Коррекция ХА по трем цветам) |
Для решения задач сверхточной микроскопии, измерительной микроскопии при большом увеличении, а также для работы в УФ и ИК диапазонах. |
* DoF – Depth of field – глубина резко изображаемого пространства
Каждый класс объективов делится на несколько групп в зависимости от задач применения. В основном речь идет о коррекции монохроматических аберраций, к примеру, План Ахромат и просто Ахромат будут отличаться наличием коррекции сферы, кривизны поля и дисторсии у объектива План Ахромат.
Дополнительно некоторые объективы имеют конструктивные отличия, к примеру, LD (Long distance) объективы – объективы с увеличенным рабочим расстоянием для работы с чашками Петри в биологии, или контроля объектов со сложной топографией в материаловедении. PH – объективы для фазового контраста с установленным фазовым кольцом (могут использоваться и в светлом поле, но светопропускание таких объективов ниже). OIL-объективы с использованием иммерсионного масла и т.д.
Аберрации оптических систем
Описываются аберрации оптических систем и методы их уменьшения или устранения.
Аберрации - общее название для погрешностей изображения, возникающих при использовании линз и зеркал. Аберрации (от лат. «аберрацио» - отклонение), которые проявляются только в немонохроматическом свете, называются хроматическими. Все остальные виды аберраций являются монохроматическими, так как их проявление не связано со сложным спектральным составом реального света.
Источники аберраций . В определении понятия изображения содержится требование того, чтобы все лучи, выходящие из какой-то точки предмета, сходились в одной и той же точке в плоскости изображения и чтобы все точки предмета отображались с одинаковым увеличением в одной и той же плоскости.
Для параксиальных лучей условия отображения без искажений соблюдены с большой точностью, однако не абсолютно. Поэтому первый источник аберраций состоит в том, что линзы, ограниченные сферическими поверхностями, преломляют широкие пучки лучей не совсем" так, как это принимается в параксиальном приближении. Например, фокусы для лучей, падающих на линзу на разных расстояниях от оптической оси линзы, различны и т. д. Такие аберрации называют геометрическими.
а) Сферическая аберрация - монохроматическая аберрация, обусловленная тем, что крайние (периферические) части линзы сильнее отклоняют лучи, идущие от точки на оси, чем ее центральная часть. В результате этого изображение точки на экране получается в виде светлого пятна, рис. 3.5
Этот вид аберрации устраняется путем использования систем, состоящих из вогнутой и выпуклой линз.
б) Астигматизм - монохроматическая аберрация, состоящая в том, что изображение точки имеет вид пятна эллиптической формы, которое при некоторых положениях плоскости изображения вырождается в отрезок.
Астигматизм косых пучков проявляется тогда, когда пучок лучей, исходящих из точки, падает на оптическую систему и составляет некоторый угол с ее оптической осью. На рис. 3.6а точечный источник расположен на побочной оптической оси. При этом возникают два изображения в виде отрезков прямых линий, расположенных перпендикулярно друг другу в плоскостях I и П. Изображение источника можно получить лишь в виде расплывчатого пятна между плоскостями I и П.
Астигматизм, обусловленный асимметрией оптической системы. Этот вид астигматизма возникает, когда симметрия оптической системы по отношению к пучку света нарушена в силу устройства самой системы. При такой аберрации линзы создают изображение, в котором контуры и линии, ориентированные в разных направлениях, имеют разную резкость. Это
наблюдается в цилиндрических линзах, рис. 3.6
Рис. 3.6. Астигматизм: косых лучей (а); обусловленный
цилиндрической линзой {б)
Цилиндрическая линза образует линейное изображение точечного объекта.
В глазу астигматизм образуется при асимметрии в кривизне систем хрусталика и роговицы. Для исправления астигматизма служат очки, которые имеют различную кривизну в разных направлениях.
направлениях.
в) Дисторсия (искажение). Когда лучи, посылаемые предметом, составляют большой угол с оптической осью, обнаруживается еще один вид аберрации - дисторсия. В этом случае нарушается геометрическое подобие между объектом и изображением. Причина состоит в том, что в действительности линейное увеличение, даваемое линзой, зависит от угла падения лучей. В результате изображение квадратной сетки принимает либо подушко-, либо бочкообразный вид, рис. 3.7
Рис. 3.7 Дисторсия: а) подушкообразная, б) бочкообразная
Для борьбы с дисторсией подбирают систему линз с противоположной дисторсией.
Второй источник аберраций связан с дисперсией света. Поскольку показатель преломления зависит от частоты, то, и фокусное расстояние и другие характеристики системы зависят от частоты. Поэтому лучи, соответствующие излучению различной частоты, исходящие из одной точки предмета, не сходятся в одной точке плоскости изображения даже тогда, когда лучи, соответствующие каждой частоте, осуществляют идеальное отображение предмета. Такие аберрации называются хроматическими, т.е. хроматическая аберрация заключается в том, что пучок белого света, исходящий из точки, дает ее изображение в виде радужного круга, фиолетовые лучи располагаются ближе к линзе, чем красные, рис. 3.8
Рис. 3.8. Хроматическая аберрация
Для исправления этой аберрации в оптике используют линзы, изготовляемые из стекол с разной дисперсией: ахроматы,
Глаз как оптический инструмент window.top.document.title = "3.4. Глаз как оптический инструмент";
Строение глаза . Глаз как оптическая система состоит из следующих элементов, см. рис. 3.9
1.Склера - достаточно прочная внешняя белковая оболочка белого цвета, защищающая глаз и придающая ему постоянную форму.
2. Роговица - передняя часть склеры, более выпуклая и
2. Роговица - передняя часть склеры, более выпуклая и прозрачная; действующая как собирающая линз, оптическая сила которой - примерно 40 дптр; роговица - наиболее сильно преломляющая часть (обеспечивает до 75 % фокусирующей способности глаза), толщина которой 0,6-1 мм, п = 1,38.
3. Сосудистая оболочка - с внутренней стороны склера выстлана сосудистой оболочкой (темные пигментные клетки, препятствующие рассеиванию света в глазу).
4. Радужная оболочка - в передней части сосудистая оболочка переходит в радужную.
5. Зрачок - круглое отверстие в радужной оболочке, диаметр, которого может изменяться в пределах от 2 до 8 мм (радужная оболочка и зрачок выполняют роль диафрагмы, регулирующей доступ света внутрь глаза), площадь отверстия изменяется в 16 раз.
6. Хрусталик - природная прозрачная двояковыпуклая линза диаметром 8-10 мм, имеющая слоистую структуру, наибольший показатель преломления в слоях хрусталика п = 1,41; хрусталик находится за радужной оболочкой, примыкает к зрачку, оптическая сила его равна 20-30 дптр.
7. Кольцевая мышца - она охватывает хрусталик и может изменять кривизну поверхностей хрусталика.
8. Передняя камера - камера с водянистой массой (n=1,33воды), которая находится в передней части глаза за роговицей, оптическая сила 2-4 дптр.
9. Зрительный нерв - подходя к глазу, разветвляется, образуя на задней стенке сосудистой оболочки светочувствительный слой - сетчатку.
10. Сетчатка - светочувствительный слой, она представляет собой разветвление зрительного нерва с нервными окончаниями в виде палочек и колбочек, из них колбочки (их примерно 10 млн. клеток) служат для различения мелких деталей предмета и восприятия цветов. Палочки же (20 млн. клеток) не дают возможности различать цвета и мелкие предметы, но они высокочувствительны к слабому свету. С помощью палочек человек различает предметы в сумерки и ночью. Палочки и колбочки очень малы. Диаметр палочки 2 10~3 мм, длина 6 10 -3 мм, диаметр же колбочки 7 10-3 мм, а длина около 35 10-3 мм. Палочки и колбочки распределены неравномерно: в средней части сетчатки преобладают колбочки, а по краям - палочки.
11. Стекловидное тело - объем части глаза (задняя глазная камера) между хрусталиком и сетчаткой, заполненный прозрачным стекловидным веществом, имеет оптическую силу до 6 дптр.
12. Желтое пятно - самое чувствительное место на сетчатке, то есть человек видит ясно те предметы, изображение, которых проектируется на желтое пятно.
13. Центральная ямка - наиболее чувствительная часть желтого пятна; это узкая область, в которой сетчатка углублена, здесь палочки совсем отсутствуют, а колбочки расположены очень плотно; особенно хорошо различимы детали, проектируемые на центральную ямку (глаз различает те детали объекта, угловое расстояние между которыми не меньше углового расстояния между соседними колбочками или палочками, в центральной ямке плотность палочек наибольшая, поэтому и различие деталей здесь оказывается наилучшим).
14. В том месте, где зрительный нерв входит в глаз, нет ни палочек, ни колбочек, и лучи, попадающие на эту область, не вызывают ощущения света, отсюда и название «слепое пятно».
15. Конъюнктива - наружная оболочка глаза, выполняет барьерную и защитную роль. Свет, действующий на колбочки и палочки, вызывает в них химические превращения. Благодаря этому в нервном волокне, соединяющем светочувствительные клетки глаза с мозгом, возникают электрические импульсы, которые все время передаются в мозг, пока свет действует на глаз. Рассматривание предмета целиком происходит следующим образом. Изображение отдельных деталей предмета фиксируются на желтое пятно и даже на центральную ямку. Поле зрения этих предметов не велико. Так, на желтое пятно одновременно может проектироваться картина, занимающая по горизонтальному направлению около 8°, а по вертикальному - около 6°. Поле зрения центральной ямки еще меньше и равно 1-1,5° по горизонтальному и вертикальному направлениям. Таким образом, из всей фигуры человека, стоящего на расстоянии 1 м, глаз может фиксировать на желтое пятно, например, только его лицо, а на центральную ямку - поверхность, немного большую глаза. Все остальные части фигуры проектируются на периферическую часть сетчатки и рисуются в виде смутных деталей. Однако глаз обладает способностью быстро перемещаться (поворачиваться) в своей орбите, так что за короткий промежуток времени глаз может последовательно (сканируя объект) фиксировать большую поверхность. Все изображение регистрируется за счет последовательного просматривания (яркий пример - чтение текста на странице - глаз последовательно просматривает каждую букву). Благодаря этой особенности глаза человек не замечает ограниченности поля ясного зрения. Общее поле зрения у глаза человека по вертикальному и горизонтальному направлениям составляет 120-150°, то есть больше чем у хороших оптических инструментов. Светопроводящая часть глаза образована роговицей, жидкостью передней камеры, хрусталиком, стекловидным телом. Спереди она ограничена воздухом, сзади - стекловидным телом. Главная оптическая ось проходит через центры роговицы, зрачка, хрусталика (глаз - центрированная оптическая система). Световоспринимающая часть (рецепторный аппарат) - сетчатка, в которой находятся светочувствительные зрительные клетки. Направление наибольшей чувствительности глаза определяет его зрительная ось, которая проходит через центры роговицы и желтого пятна. В направлении этой оси глаз имеет наилучшую разрешающую способность. Угол между оптической и зрительной осью составляет 5°. Оптическая сила глаза представляет собой алгебраическую сумму оптических сил всех основных преломляющих сред: роговица (D = 42-43 дптр), хрусталик (D = 19-33 дптр), передняя камера (D = 2-4 дптр), стекловидное тело (D = 5-6 дптр). Первые три среды подобны собирающим линзам, последняя - рассеивающей. В покое оптическая сила всего глаза - около 60 дптр, при напряжении (рассматривании близких предметов) D > 70 дптр.
Аккомодация .
Из формулы линзы следует, что изображения предметов, удаленных от линзы на различные расстояния, получаются также на различных расстояниях от нее. Однако мы знаем, что для «нормального» глаза изображения различно удаленных предметов дают на сетчатке одинаково резкие изображения. Это означает, что существует механизм, позволяющий глазу приспосабливаться к изменению расстояния до наблюдаемых предметов. Этот механизм называется аккомодацией. Аккомодация - приспособление глаза к четкому видению различно удаленных предметов («наводка на резкость»). Аккомодацию можно осуществить двумя способами: первый - изменяя расстояние от хрусталика до сетчатки (по аналогии с фотоаппаратом); второй - изменяя кривизну хрусталика и, следовательно, меняя фокусное расстояние глаза. Для глаза реализуется второй способ, который обеспечивает четкое изображение предметов, удаленных от глаза на расстояния от 12 см до ос. Ближний предел аккомодации связан с максимальным напряжением кольцевой мышцы. В норме при приближении предмета к глазу на расстояние до 25 см аккомодация совершается без существенного напряжения. Это расстояние называется расстоянием наилучшего зрения - а 0 .Светочувствительность глаза изменяется в широких пределах благодаря зрительной адаптации - способности глаза приспосабливаться к различным яркостям.
Угол зрения .
Размер изображения на сетчатке зависит от размера предмета и его удаления от глаза, то есть от угла, под которым виден предмет (рис. 3.10). Этот угол называют углом зрения. Угол зрения - это угол между лучами, идущими от крайних точек предмета через узловую точку (оптический центр глаза).
Рис. 3.10. Изображение, даваемое глазом, и угол зрения /3
При построении изображения, даваемого глазом, используют узловую точку N, которая аналогична оптическому центру тонкой линзы. Разным телам (В и В 1) может соответствовать один и тот же угол зрения.
Из рис. 3.10 следует, что = B/L = b/l. Учитывая эти соотношения, можно записать следующую формулу для размера изображения:
(3.13)
Для малых углов зрения (/3 < 0,1 рад) справедлива приближенная формула: tgb »b. Принимается, что l» 17 мм.
Разрешающая способность .
Разрешающая способность - это способность глаза различать две близкие точки предмета раздельно. Для количественной характеристики разрешающей способности глаза используют величину - наименьший угол зрения . Наименьший угол зрения - такой угол зрения, при котором человеческий глаз еще различает две точки предмета по раздельности. Принято считать, что для нормального глаза наименьший угол зрения глаза равен (3*10 -4 рад). Поясним это значение. Две точки предмета будут восприниматься раздельно, если их изображения попадают в соседние колбочки сетчатки. В этом случае размер изображения (b) на сетчатке равен расстоянию между соседними колбочками, которое составляет около 5 мкм (5 10 -6 м). Используя рис. 3/10 и приближенное соотношение tgb »b, находим
Если изображение двух точек на сетчатке займет линию короче 5 мкм, то эти точки не будут разрешаться, то есть глаз их не различит. Наряду с наименьшим углом зрения используют и другую характеристику разрешающей способности глаза - предел разрешения. Предел разрешения (Z) глаза - это наименьшее расстояние между двумя точками предмета, рассматриваемого с расстояния наилучшего зрения, при котором они различимы как отдельные объекты. Предел разрешения глаза связан с наименьшим углом зрения простым соотношением:
(3.14)
b подставляют в радианах.
Для нормального глаза взрослого человека а 0 = 0,25 м, b= = 3 10 -4 рад., Z = 75- 10 -6 м. = 75 мкм.
Как уже было показано, ход лучей в реальной оптической системе и строение пучков значительно отличаются от того, которое имеет место в идеальной системе. В результате реальные оптические системы дают изображение, лишь более или менее приближающееся к идеальному. В связи с этим необходим критерий оценки, по которому можно судить о степени приближения реальной системы к идеальной и который оценивается качеством изображения.
Напомним три условия Максвелла для Геометрически совершенной системы:
1) все лучи, вышедшие из точки предмета О(х,у) и прошедшие через данную систему, должны сойтись в точке изображения I(x", y");
2) каждый элемент плоскости, нормальной к оптической оси и содержащей точку О(х,у), должен быть изображен элементом плоскости, нормальной к оптической оси и содержащей точку I(х",у");
3) высота изображения h" должна быть пропорциональна высоте предмета h, причем коэффициент пропорциональности должен быть постоянным независимо от местоположения точки О(х, у) в плоскости предмета.
Отклонения от первого условия и называются аберрациями или (в общем случае) искажениями изображения. Отклонения второго типа соответственно кривизна поля и изображения и отклонения третьего рода называемого дисторсией.
И так, Аберрации - это погрешности изображений, обусловлены отклонениями лучей от тех направлений, по которым они должны были бы идти в идеальной оптической системе.
Геометрические и волновые аберрации - это отклонения от первого условия Максвелла. Геометрические аберрации описывают смещения (относительно геометрически идеальных положений) точек пересечения лучей с поверхностью изображения. Волновые аберрации характеризуют ОРХ для каждого луча относительно того же параметра для главного луча.
Геометрические аберрации подразделяются на классы в зависимости от их порядка: 1-го порядка, 3-го порядка, 5-го порядка и т. д.
Разные типы аберраций не одинаково влияют на качество изображения. В рамках введенных Линфутом критериев оценки качества изображения аберрации, обладающие круговой или ортогональной симметрией, влияют на «структурное содержание» изображения, но не на его «правдоподобие». Асимметричные же аберрации даже в пределах допуска с точки зрения критерия структурного содержания сильно влияют на правдоподобие изображения. Такое понимание влияющих факторов, исходя из конечных целей использования данной системы, весьма существенно, поскольку в процессе расчета объектива возможна взаимная
компенсация отдельных типов аберраций. Различия же во влиянии разных типов можно показать уже на примере аберраций 1-го и 3-го порядков.
Аберрации оптических систем делят на монохроматические и хроматические:
- Монохроматическими аберрациями называют погрешности изображения, которые имеют место для лучей определенной длины волны. К ним относятся: сферическая, кома, астигматизм и кривизна изображения, дисторсия.
- Хроматические аберрации - при прохождении через преломляющие поверхности излучения сложного спектрального состава оно разлагается на составные спектральные части вследствие дисперсии света. В этом случае изображение представляет собой сумму большого числа монохроматических изображений, которые не совпадают между собой ни по положению, ни по размерам. Изображение становится окрашенным.
Поперечные аберрации (∆х / ∆у /)- это отклонение координат точки А / пересечения реального луча с плоскостью изображения от координат точки А 0 / идеального изображения в направлении, перпендикулярном оптической оси (рисунок 30).
Рисунок 29. Поперечные аберрации
Волновая аберрация –это отклонение реального волнового фронта от идеального, измеренное вдоль луча в количестве длин волн.
АБЕРРАЦИИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ (от латинского aberratio - уклонение), искажения изображений, создаваемых оптическими системами. Проявляются в том, что оптические изображения не вполне отчётливы, неточно соответствуют объектам или оказываются окрашенными. Существует несколько видов аберраций. Наиболее распространёнными являются хроматическая аберрация и следующие геометрические аберрации: сферическая, астигматизм, кома, дисторсия, кривизна поля изображения.
Сферическая аберрация заключается в том, что световые лучи, испущенные одной точкой объекта и прошедшие одни из них вблизи оптической оси, а другие через отдалённые от оси части системы, не собираются в одной точке. Вследствие этого изображение, создаваемое параллельным пучком лучей на перпендикулярном оси экране, имеет вид не точки, а кружка с ярким ядром и ослабевающим по яркости ореолом (так называемый кружок рассеяния). Специальным подбором линз (собирающих и рассеивающих) сферическую аберрацию можно почти полностью устранить.
Астигматизм проявляется в том, что изображение точки, не лежащей на главной оптической оси, представляет собой не точку, а две взаимно перпендикулярные линии, расположенные в разных плоскостях на некотором расстоянии друг от друга. Изображения точки в промежуточных между этими плоскостями сечениях имеют вид эллипсов (рис. 1). Астигматизм обусловлен неодинаковостью кривизны оптической поверхности в разных плоскостях сечения падающего на неё светового пучка и возникает либо вследствие асимметрии оптической системы (например, в цилиндрических линзах), либо в обычных сферических линзах при падении светового пучка под большим углом к оси. Астигматизм исправляют таким подбором линз, чтобы одна компенсировала астигматизм другой. Астигматизмом может обладать человеческий глаз (смотри Астигматизм глаза).
При наклонном падении лучей на оптическую систему в результате нарушения симметрии пучка возникает ещё одна аберрация - кома, при которой изображение точки имеет вид несимметричного пятна рассеяния. Её размеры пропорциональны квадрату угловой апертуры оптической системы и угловому удалению точки-объекта от оптической оси. Кома велика в телескопах с параболическими зеркалами. Исправляют кому подбором линз.
Для дисторсии характерно нарушение геометрического подобия между объектом и его изображением. Дисторсия обусловлена неодинаковым линейным увеличением оптической системы на разных участках изображения. Пример искажений, которые даёт система, обладающая дисторсией, приведён на рисунке 2. Слева от центрального квадрата показано его изображение, искажённое за счёт подушкообразной (положительной) дисторсии, справа - искажённое за счёт бочкообразной (отрицательной) дисторсии. Дисторсия устраняется подбором линз.
Кривизна поля - аберрация осесимметричной оптической системы, она заключается в том, что изображение плоского предмета получается плоским не в плоскости, как должно быть в идеальной системе, а на искривлённой поверхности. В сложных оптических системах кривизну поля исправляют, сочетая линзы с поверхностями разной кривизны.
Оптические системы могут обладать одновременно несколькими аберрациями, устранить их все сразу - очень сложная задача. Обычно аберрации устраняют частично в зависимости от назначения оптической системы. В некоторых случаях используют методы адаптивной оптики.
Хроматическая аберрация связана с зависимостью показателя преломления сред от длины волны света.
Несовершенства изображений, формируемых оптической системой, возникают также в результате дифракции света на оправах линз, диафрагмах и т.п. Такие аберрации принципиально неустранимы, хотя и могут быть уменьшены. Но они обычно не так сильно влияют на изображение, как геометрические и хроматические.
Лит.: Борн М., Вольф Э. Основы оптики. 2-е изд. М., 1973; Слюсарев Г. Г. Расчет оптических систем. 2-е изд. Л., 1975.
Министерство образования
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Курсовая работа
«Аберрации оптических систем»
Выполнил: студент 2-го
курса гр. 473
…………….
Проверил:
Тюмень 2009г.
Введение
1. Хроматическая аберрация
2. Волновые и лучевые аберрации; функции аберраций
3. Первичные аберрации (аберрации Зайделя)
3.1 Сферическая
3.3 Астигматизм и кривизна поля
3.4 Дисторсия
Список литературы
Введение
Аберрации оптических систем (от лат. Aberratio – уклонение), искажения, погрешности изображения, формулируемых оптическими системами. Аберрации оптических систем проявляются в том, что оптические изображения не вполне отчетливы, не точно соответствуют объектам, или оказываются окрашенными. Наиболее распространены следующие виды аберраций оптических систем: сферическая – недостаток изображения, при котором испущенные одной точкой объекта световые лучи, прошедшие вблизи оптической оси системы, и лучи, прошедшие через отдаленные от оси части системы, не собираются в одну точку: кома – аберрация, возникающая при косом прохождении световых лучей через оптическую систему. Если при прохождении оптической системы сферическая световая волна деформируется так, что пучки лучей, исходящих из одной точки объекта, не пересекаются в одной точке, а располагаются в двух взаимно перпендикулярных отрезках на некотором расстоянии друг от друга, то такие пучки называются астигматическими, а сама эта аберрация – астигматизмом . Аберрация называемая дисторсией , приводит к нарушению геометрического подобия между объектом и его изображением. К аберрациям оптических систем относится также кривизна поля изображения.
Оптические системы могут обладать одновременно несколькими видами аберраций. Их устранение производят в соответствии с назначением системы; часто оно представляет собой трудную задачу. Перечисленные выше аберрации оптических систем называются геометрическими. Существует еще хроматическая аберрация, связанная с зависимостью показателя преломления оптических сред от длины волны света.
1. Хроматическая аберрация
Если пучок немонохроматического света падает на преломляющую поверхность, то он расщепляется на несколько лучей, каждый из которых имеет определенную длину волны. Поэтому, пересекая оптическую систему, лучи света с различными длинами волн будут распространяться после первого преломления не вполне одинаковыми путями. В результате изображение окажется нерезким, и в этом случае говорят, что система обладает хроматической аберрацией.
Рис. 1. Продольная и поперечная хроматические аберрации.
Мы ограничимся рассмотрением точек и лучей, расположенных вблизи оси, т. е. предположим, что для каждой длины волны отображение подчиняется законам параксиальной оптики. В этом случае говорят о хроматической аберрации первого порядка, или о первичной аберрации. Пусть и - отображения точки Р в различных длинах волн (рис. 1); тогда проекции на направления, параллельное и перпендикулярное оси, определяют соответственно продольную и поперечную хроматические аберрации.
Рассмотрим изменение фокусного расстояния тонкой линзы в зависимости от изменения показателя преломления . Величина (n - 1)f для такой линзы не зависит от длины волны. Следовательно
(1)
Величина
(2)
Рис.2. Типичные дисперсионные кривые для стекла различных сортов
I – тяжелый флинт; II – тяжелый бариевый крон;III – легкий флинт;IV – тяжелый крон; V – боросиликатный крон.
где , и - показатели преломления, соответствующие линиям Фраунгофера F, D и C ( 4861 , 5893 и 6563 ), служит грубой мерой дисперсии стекла и называется относительной дисперсией. Из (1) видно, что эта величина Приблизительно равна расстоянию между красным и синим изображениями, деленному на фокусное расстояние линзы. На рис. 2 показано изменение величин показателей преломления с изменением длины волны для стекла нескольких сортов, обычно используемых в оптических системах. Соответствующие значения лежат в пределах от 1/60 до 1/30.
Рис. 3. Ахроматический дуплет
Для получения изображения хорошего качества необходимо, чтобы как монохроматические, так и хроматические аберрации были малы. Обычно выбирают некоторое компромиссное решение, поскольку в общем случае невозможно устранить одновременно аберрации всех типов. Часто оказывается достаточным избавиться от хроматической аберрации для двух выбранных длин волн. Выбор этих длин волн зависит, естественно, от назначения той или иной оптической системы; например, фотообъективы, в отличие от приборов, служащих для визуальных наблюдений, обычно «ахроматизируют» для цветов, близких к синему концу спектра, так как обычная фотографическая пластинка более чувствительна к синей области спектра, чем человеческий глаз. Конечно, ахроматизация для двух длин волн не устраняет полностью цветовую ошибку. Остающаяся хроматическая аберрации называется вторичным спектром.
Рассмотрим теперь условия, при которых две тонкие линзы образуют комбинацию, свободную от хроматизма фокусного расстояния. Величина, обратная фокусному расстоянию комбинации двух тонких линз, расположенных на расстоянии l друг от друга, равна
(3)
Как мы видим,, когда
(4)
Если ахроматизация производится для линий C и F, то, используя (1) и (2) получим
(5)
Где и - относительные дисперсии обеих линз.
Один из методов уменьшения хроматической аберрации состоит в использовании двух соприкасающихся тонких линз (рис.3), одна из которых сделана из крона, а вторая из флинта. В этом случае, поскольку l = 0, получим из (5)
(6)
или, используя(3),
, 
(7)
соотношения (7) для данных сортов стекла и заданного фокусного расстояния однозначно определяют , и . Но , и зависят от трех радиусов кривизны, следовательно, величину одного из них можно выбрать произвольно. Эта дополнительная степень свободы позволяет иногда уменьшить до минимума сферическую аберрацию.
Другой способ создании ахроматической системы состоит в использовании двух гонких линз, изготовленных из одинакового стекла (), и расположенных друг от друга на расстоянии, равном полусумме их фокусных расстояний, т. е.
(8)
Ахроматичность такой комбинации линз следует непосредственно из (5).
В приборе, состоящем на нескольких частей, в общем случае нельзя одновременно устранить хроматизм положения и хроматизм увеличения, если это не сделано для каждой его части. Докажем последнее утверждение для случая двух центрированных тонких линз, разнесенных на расстояние l .
Отображение тонкой линзой является центральной проекцией из ее центра; следовательно (рис. 4),
Рис.4. Ахроматизация системы из двух тонких линз
Поскольку , находим для увеличения
Если длина волны изменится, то величина останется той же, величина также будет прежней, если допустить отсутствие хроматизма положения. Следовательно, условие отсутствия хроматизма увеличения системы можно записать в виде
(11)
Так как , , то (11) удовлетворяется лишь при 
, т.е. если каждая из этих линз ахроматизирована.
2. Волновые и лучевые аберрации, функции аберраций
Рассмотрим вращательно-симметричную оптическую систему. Пусть , и , - точки пересечения луча, выходящего из точки предмета , соответственно с плоскостью входного зрачка, плоскостью выходного зрачка и плоскостью параксиального изображения. Если -параксиальное изображение точки то вектор называется аберрацией луча или просто лучевой аберрацией (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Лучевая аберрация
Пусть и - точки пересечения луча с опорной сферой и волновым фронтом Wсоответственно.
Рис. 2.2.Волновая и лучевая аберрации
Оптическую длину пути Ф = можно назвать аберрацией волнового элемента в точке Qили просто волновой аберрацией и считать положительной, если и , расположены по разные стороны от Q. В обычных приборах волновые аберрации достигают 40-50 длин волн, однако в приборах, используемых для более точных исследований (например, в астрономических телескопах или микроскопах), они должны быть значительно меньше, порядка долей длины волны.
Выражения для волновой аберрации легко получить с помощью точечной характеристической функции Гамильтона системы.
Если пользоваться для обозначения оптической длины пути квадратными скобками , то
Здесь было использовано то обстоятельство, что точки
и
лежат на одном волновом фронте, т.е. 
.
Введем две прямоугольные системы координат со взаимно параллельными осями, начала которых находятся в осевых точках и плоскостей предмета и изображения, а оси Zсовпадают с осью системы. Точки в пространстве предмета будут рассматриваться в первой системе, а в пространстве изображения - во второй. Z -координаты плоскостей, в которых лежат зрачки, обозначены через и , (на рис 2.1 ) .
Согласно (1) волновая аберрация выражается через точечную характеристику V следующим образом:
где () - координаты точки , и (X,Y,Z) - координаты точки Q. Координаты (X,Y,Z) уже не являются независимыми; они связаны соотношением, учитывающим, что точка Qлежит на опорной сфере, т. е,
Координаты точки параксиального изображения, М - гауссово поперечное увеличение и R - радиус опорной сферы Гаусса
Величину Z в выражении (2) можно исключить с помощыо (3), в результате чего Ф стонет функцией только , , и , т. е,
Лучевые аберрации связаны с функцией аберраций Ф (, ; X, Y ) простыми соотношениями. Из (2) имеем
(6)
Если , и - углы, которые образуют луч , с осями, а (X, Y, Z) и () - координаты точек и то, на рис. 2.2, получим
есть расстояние от до , и - показатель преломления среды в пространстве изображения. Далее из (3) имеем
(9)
Подставляя (7) и (9) в соотношение (6), находим для компонент лучевой аберрации
(10)
Последние соотношения являются точными, но стоящая справа величина
сама зависит от координат точки , т. е. от лучевых аберраций. Тем не менее для большинства практических целей можно заменять на радиус опорной сферы R
или на другое приближенное выражение (см. ниже, уравнение (15)). Легко показать, что в силу симметрии задачи величина Ф зависит от четырех переменных, входящих только в трех комбинациях, а именно: , и 
.
В самом деле, если ввести в плоскостях XY полярные координаты, т. е. положить
то окажется, что Ф зависит только от , , и , или, что то же самое, Ф зависит от , , и 0. Предположим теперь, что оси X и Y систем с началами в и поворачивается на один и тот же угол и в одном и том же направлении относительно оси системы.
При этом , , не изменяются, а угол 0 увеличивается на угол поворота. Поскольку функции Ф инвариантна относительно таких поворотов, она не должна зависеть от последней переменной, т. е. зависит только от , , и . Следовательно, функции аберраций Ф является функцией трех скалярных произведений
двух векторов и .
Отсюда вытекает, что при разложении Ф в ряд по степеням четырех координат нечетные степени будут отсутствовать. Поскольку Ф (0, 0; 0, 0) = 0, то членов нулевой степени тоже не будет. Более того, не будет и членов второй степени, так как, согласно (10), они соответствуют лучевым аберрациям, линейно зависящим от координат, а это противоречит тому, что , является параксиальным изображением точки . Таким образом, наше разложение имеет вид
где с - константа, а - полином степени 2k по координатам и содержит их только в виде трех скалярных инвариантов (12). Говорят, что член степени 2k описывает волновую аберрацию порядка 2k. Аберрации наинизшего порядка (2k = - 4) обычно называются первичными аберрациями или аберрациями Зайделя.
Для оценки порядка величин некоторых выражений и точности наших вычислений удобно ввести параметр . Этим параметром может служить любая величина первого порядка, скажем, угловая апертура системы. Тогда можно допустить, что все лучи, проходящие через систему, составляют с оптической осью углы О(), где символ О() означает, что величина угла порядка .
Оценим погрешность, возникающую при замене в основном уравнении (10) на величины, не зависящие от и . Из (3) и (5) имеем
тогда вместо (8) можем написать
Соотношения (10) для компонент лучевой аберрации принимают вид
(16)
(17)
3. Первичные аберрации (аберрации Зайделя)
Используя рассуждения, совершенно аналогичные тем, которые относились к функции аберраций, можно показать, что разложение в степенной ряд возмущенного эйконала Шварцшильда имеет в силу симметрии задачи следующий вид:
Где - полином степени 2 k по четырем переменным; более того, эти переменные входят только в трех комбинациях:
В соотношении (1) отсутствует член второй степени, так как в противном случае это противоречило бы тому, что, , , и в приближении параксиальной оптики.
Поскольку переменные входят только в комбинациях (2), член должен иметь вид
где А, В,... - постоянные. Знаки и числовые множители в (3) общепринятые; выражения для лучевых аберраций в этом случае принимают простой вид.
Конечно, разложение в степенной ряд функции имеет такой же вид, как и (1), но оно не содержит члена нулевого порядка (), и главный член отличается от тем, что в нем отсутствует слагаемое . Таким образом, общее выражение для волновой аберрации наинизшего (четвертого) порядка записывается следующим образом:
где В, С,. - те же коэффициенты, что и в (3).
Общее выражение для компонент лучевой аберрации наинизшего (третьего) порядка в виде
(5)
Коэффициент А не входит в выражения (4) и (5), т. е. существуют только пять типов аберрации наинизшего порядка, характеризуемых пятью коэффициентами В, С, D, E и F. Как указывалось выше, эти аберрации называются первичными аберрациями или аберрациями Зайделя.
При исследовании аберраций Зайделя удобно выбрать оси таким образом, чтобы плоскость yz проходила через точку предмета; тогда . Если затем ввести полярные координаты
то (4) примет вид
В частном случае равенства нулю всех коэффициентов в (7) волновой фронт, проходящий через выходной зрачок совпадает (в рассматриваемом приближении) с опорной сферой Гаусса (см. рис. 2.2). В общем случае эти коэффициенты отличны от нуля. Тогда каждый член в (7) описывает определенный тип отклонения мы нового фронта от правильной сферической формы; на рис. 3.1 показаны пять различных типов аберраций.
Важность лучевых аберраций, связанных с определенной точкой предмета, можно проиллюстрировать графически с помощью так называемых аберрационных (или характеристических) кривых. Эти кривые являются геометрическим местом точек пересечения лучей, выходящих из фиксированной зоны =const выходного зрачка, с плоскостью изображения. Тогда поверхность, образованная аберрационными кривыми. соответствующими всем возможным значениям , представляет собой неидеальное изображение.
Рис.3.1 Первичные волновые аберрации.
А) сферическая. Б) кома. В) астигматизм. Г) кривизна поля. Д) дисторсия
Рассмотрим отдельно каждую из аберраций Зайделя
3.1 Сферическая аберрация ( )
Если все коэффициенты, за исключением В, равны нулю, то (8) принимает вид
Аберрационные кривые в этом случае имеют форму концентрических окружностей, центры которых расположены в точке параксиального изображения, а радиусы пропорциональны третьей степени радиуса зоны , но не зависят от положения () предмета в зоне зрения. Такой дефект изображения называется сферической аберрацией.
|
Сферическая аберрация, будучи независимой от искажает как осевые, так и внеосевые точки изображения. Лучи, выходящие из осевой точки предмета и составляющие существенные углы с осью, пересекут её в точках, лежащих перед параксиальным фокусом или за ним (рис. 5.4). Точка, в которой пересекаются с осью лучи от края диафрагмы, назывался краевым фокусом. Если экран в области изображения помещен под прямым углом к оси, то существует такое положение экрана, при котором круглое пятно изображения на нем минимально; это минимальное «изображение» называется наименьшим кружком рассеяния.
3.2 Кома ( )
Аберрация, характеризующаяся отличным от нуля коэффициентом F, называется комой. Компоненты лучевой аберрации в этом случае имеют, согласно (8). вид
|
Как мы видим, при фиксированных и радиусе зоны точка , (см. рис. 2.1) при изменении от 0 до дважды описывает в плоскости изображения окружность. Радиус окружности равен , а её центр находится на расстоянии от параксиального фокуса в сторону отрицательных значений у . Следовательно, эта окружность касается двух прямых, проходящих через параксиальное изображение , и составляющих с осью у углы в 30°. Если прибегает все возможные значения, то совокупность подобных окружностей образует область, ограниченную отрезками этих прямых и дугой наибольшей аберрационной окружности (рис. 3.3). Размеры получающейся области линейно возрастают с увеличением расстояния точки предмета от оси системы. При выполнении условия синусов Аббе система дает резкое изображение элемента плоскости предмета, расположенного в непосредственной близости от оси. Следовательно, в этом случае разложение функции аберрации не может содержать члены, линейно зависящие от . Отсюда вытекает, что если условие синусов выполняется, первичная кома отсутствует.
3.3 Астигматизм ( ) и кривизна поля ( )
Аберрации, характеризующиеся коэффициентами С и D, удобнее рассматривать совместно. Если все остальные коэффициенты в (8) равны нулю, то
Чтобы продемонстрировать важность таких аберраций, предположим вначале, что пучок, формирующий изображение, очень узок. Согласно § 4.6 лучи такого пучка пересекают два коротких отрезка кривых, одна из которых (тангенциальная фокальная линия) ортогональна меридиональной плоскости, а другая (сагиттальная фокальная линия) лежит в этой плоскости. Рассмотрим теперь свет, исходящий от всех точек конечной области плоскости предмета. Фокальные линии в пространстве изображения перейдут в тангенциальную и сагиттальную фокальные поверхности. В первом приближении эти поверхности можно считать сферами. Пусть и - их радиусы, которые считаются положительными, если соответствующие центры кривизны расположены по ту сторону от плоскости изображения, откуда распространяется свет (в случае, изображенном на рис. 3.4. и ).
Радиусы кривизны можно выразить через коэффициенты С и D . Для этого при вычислении лучевых аберраций с учетом кривизны удобнее использовать обычные координаты, а не переменные Зайделя. Имеем (рис. 3.5)
(12)
где u - малое по величине расстояние между сагиттальной фокальной линией и плоскостью изображении. Если v - расстояние от этой фокальной линии до оси, то
если еще пренебречь и по сравнению с , то из (12) находим
(14)
Аналогично
(15)
Запишем теперь эти соотношения через переменные Зайделя. Подставляя в них (2.6) и (2.8), получим
(16)
и аналогично
(17)
В последних двух соотношениях можно заменить на и тогда, используя (11) и (6), получим
Величину 2С + D обычно называют тангенциальной кривизной поля , величину D - сагиттальной кривизной поля , а их полусумму
которая пропорциональна их среднему арифметическому значению,- просто кривизной поля .
Из (13) и (18) следует, что на высоте от оси расстояние между двумя фокальными поверхностями (т.е. астигматическая разность пучка, формирующего изображение) равно
(20)
Полуразность
(21)
называется астигматизмом . В отсутствие астигматизма (С = 0) имеем . Радиус R общей, совпадающей, фокальной поверхности можно в этом случае вычислить с помощью простой формулы, в которую входят радиусы кривизны отдельных поверхностей системы и показатели преломления всех сред.
3.4 Дисторсия ( )
Если в соотношениях (8) отличен от нуля лишь коэффициент Е , то
Поскольку сюда не входят координаты и , отображение получится стигматическим и не будет зависеть от радиуса выходного зрачка; однако расстояния точек изображения до оси не будут пропорциональны соответствующим расстояниям для точек предмета. Эта аберрация называется дисторсией.
При наличии такой аберрации изображение любой прямой в плоскости предмета, проходящей через ось, будет прямой линией, но изображение любой другой прямой будет искривленным. На рис. 3.6, а показан предмет в виде сетки прямых, параллельных осям х и у и расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга. Рис. 3.6. б иллюстрирует так называемую бочкообразную дисторсию (Е>0 ), а рис. 3.6. в - подушкообразную дисторсию (Е<0 ).
Рис. 3.6. Дисторсия А) предмет. Б) бочкообразная. В) подушкообразная
Ранее указывалось, что из пяти аберраций Зайделя три (сферическая, кома и астигматизм) нарушают резкость изображения. Две другие (кривизна поля и дисторсия) изменяют его положение и форму. В общем случае невозможно сконструировать систему, свободную как от всех первичных аберраций, так и от аберраций более высокого порядка; поэтому всегда приходится искать какое-то подходящее компромиссное решение, учитывающее их относительные величины. В некоторых случаях аберрации Зайделя можно существенно уменьшить за счет аберраций более высокого порядка. В других случаях необходимо полностью уничтожить некоторые аберрации, несмотря на то, что при этом появляются аберрации других типов. Например, в телескопах должна быть полностью устранена кома, потому что при наличии ее, изображение будет несимметричным и все прецизионные астрономические измерения положения потеряют смысл. С другой стороны, наличие некоторой кривизны поля идисторсии относительно безвредно, поскольку от них можно избавиться с помощью соответствующих вычислений.
оптический аберрация хроматический астигматизм дисторсия
Список литературы:
1. Савельев И.В. Курс общей физики, т.3, оптика, атомная физика.
2. Ландсберг Г. С. Оптика.
3. Сивухин Д. В. Общий курс физики, т.4, оптика.
4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики
5. Физический энциклопедический словарь, под ред. А. М. Прохорова.
